反比例函数综合题..doc

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反比例函数综合题1如图,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为( )A3 B4 C5 D6【答案】A解:设P(0,b),直线ABx轴,A,B两点的纵坐标都为b,而点A在反比例函数y=的图象上,当y=b,x=,即A点坐标为(,b),又点B在反比例函数y=的图象上,当y=b,x=,即B点坐标为(,b),AB=()=,SABC=ABOP=b=3故选:A2如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为( )A2 B4 C2 D4【答案】D解:点A、B在反比例函数y的图象上,SAOM=|k|,OM=MN=NC,AM=2BN,SAOM=SAOC,SACM=4SBCN,SACM=2SAOM,四边形AMNB的面积是3,SBCN=1,SAOM=2,|k|=4,反比例函数y=的图象在第二四象限,k=4,故选D3如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为2,当y1y2时,x的取值范围是( )Ax2或x2 Bx2或0x2 C2x0或0x2 D2x0或x2【答案】D解:反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称,A、B两点关于原点对称,点A的横坐标为2,点B的横坐标为2,由函数图象可知,当2x0或x2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方,当y1y2时,x的取值范围是2x0或x2故选D4如图,A、B是双曲线y=上的两点,过A点作ACx轴,交OB于D点,垂足为C若ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为( )A B C3 D4【答案】B解:过点B作BEx轴于点E,D为OB的中点,CD是OBE的中位线,即CD=BE设A(x,),则B(2x,),CD=,AD=,ADO的面积为1,ADOC=1,()x=1,解得k=,故选:B5如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=(x0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且ODE的面积是9,则k=( )A B C D12【答案】C解:四边形OCBA是矩形,AB=OC,OA=BC,设B点的坐标为(a,b),BD=3AD,D(,b),点D,E在反比例函数的图象上,=k,E(a,),SODE=S矩形OCBASAODSOCESBDE=ab(b)=9,k=,故选C6如图,正方形OABC,ADEF的顶点A,D,C在坐标轴上,点F在AB上,点B,E在函数y=(x0)的图象上,则点E的坐标是( )A B C D【答案】A解:正方形OABC中,点B在反比例函数上,设点B的坐标为(),则(负值舍去),设点E的横坐标为,则纵坐标为,代入反比例函数中,则解得(负值舍去),则点E的坐标为故选A7下列图形中,阴影部分面积最大的是( )A B、 C、 D、【答案】C解:A项阴影部分面积=3,B项阴影部分面积=3,C项阴影部分面积,D项阴影部分面积=3,故选C8(2015本溪)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A(2,0),与x轴夹角为30,将ABO沿直线AB翻折,点O的对应点C恰好落在双曲线y=(k0)上,则k的值为( )A4 B2 C D【答案】D解:设点C的坐标为(x,y),过点C作CDx轴,作CEy轴,将ABO沿直线AB翻折,CAB=OAB=30,AC=AO=2,ACB=AOB=90,CD=y=ACsin60=2=,ACB=DCE=90,BCE=ACD=30,BC=BO=AOtan30=2=,CE=x=BCcos30=1,点C恰好落在双曲线y=(k0)上,k=xy=1=,故选D9如图,反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6,则k的值为() A4 B3 C2 D1【答案】B解:由题意得:E、M、D位于反比例函数图象上,则SOCE=,SOAD=,过点M作MGy轴于点G,作MNx轴于点N,则SONMG=|k|,又M为矩形ABCO对角线的交点,则S矩形ABCO=4SONMG=4|k|,由于函数图象在第一象限,k0,则+6=4k,k=2故选B10下列图形中,阴影部分面积最大的是( )【答案】C解:A、根据反比例函数系数k的几何意义,阴影部分面积和为:xy=3,B、根据反比例函数系数k的几何意义,阴影部分面积和为:3,C、如图:根据反比例函数系数k的几何意义,以及梯形面积求法可得出:阴影部分面积为:,D、根据M,N点的坐标以及三角形面积求法得出,阴影部分面积为:16=3,阴影部分面积最大的是4故选:C11如图,点A(3,n)在双曲线y=上,过点A作ACx轴,垂足为C线段OA的垂直平分线交OC于点M,则AMC周长的值是( ) A3 B4 C5 D6【答案】B解:根据反比例函数的性质可得点A的坐标为(3,1),则AC=1,OC=3,根据中垂线的性质可得:AM=OM,则AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=412如图,是直角三角形,=,点在反比例函数的图象上若点在反比例函数的图象上,则的值为( )A、 B、 C、 D、【答案】A解:过点A,B作ACx轴,BDx轴,分别于C,D设点A的坐标是(m,n),则AC=n,OC=m, AOB=90, AOC+BOD=90, DBO+BOD=90, DBO=AOC, BDO=ACO=90, BDOOCA, OB=2OA, BD=2m,OD=2n, 因为点A在反比例函数的y=图象上,则mn=1, 点B在反比例函数y=的图象上,B点的坐标是(-2n,2m),k=-2n2m=-4mn=-4 故选A考点:1.反比例函数图象上点的坐标特征;2.相似三角形的判定与性质13如图,一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是( )A、x1 B、x2C、1x0或x2 D、x1或0x2【答案】D【解析】试题分析:由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是x-1,或0x2故选D考点:一次函数与反比例函数的图象14如图,在x轴的上方,直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若BOA的两边分别与函数y=、y=的图象交于B、A两点,则OAB的大小的变化趋势为( )A逐渐变小 B逐渐变大 C无法确定 D保持不变【答案】D【解析】试题解析:如图,分别过点A、B作ANx轴、BMx轴;AOB=90,BOM+AON=AON+OAN=90,BOM=OAN,BMO=ANO=90,BOMOAN,;设B(-m,),A(n,),则BM=,AN=,OM=m,ON=n,mn=,mn=;AOB=90,tanOAB=;BOMOAN,由知tanOAB=为定值,OAB的大小不变,故选D考点:1相似三角形的判定与性质;2反比例函数图象上点的坐标特征15如图,过点O作直线与双曲线(k0)交于A、B两点,过点B作BCx轴于点C,作BDy轴于点D在x轴上分别取点E、F,使点A、E、F在同一条直线上,且AE=AF设图中矩形ODBC的面积为S1,EOF的面积为S2,则S1、S2的数量关系是(A)S1=S2 (B)2S1=S2 (C)3S1=S2 (D)4S1=S2【答案】B【解析】试题解析:设A点坐标为(m,-n),过点O的直线与双曲线交于A、B两点,则A、B两点关与原点对称,则B的坐标为(-m,n);矩形OCBD中,易得OD=n,OC=m;则S1=mn;在RtEOF中,AE=AF,故A为EF中点,由中位线的性质可得OF=2n,OE=2m;则S2=OFOE=2mn;故2S1=S2故选B考点:反比例函数系数k的几何意义16如图,点A是反比例函数y=(x0)的图象上任意一点,ABx轴交反比例函数y=-的图象于点B,以AB为边作ABCD,其中C、D在x轴上,则SABCD为( )A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】试题解析:设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b把y=b代入y=得,b=,则x=,即A的横坐标是;同理可得:B的横坐标是:-则AB=-(-)=则SABCD=b=5故选D考点:反比例函数综合题17(2015秋滦县期末)如图,函数y=和y=的图象分别是l1和l2,设点P在l1上,PCx轴,垂足为C,交l2于点A,PDy轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为( )A8 B9 C10 D11【答案】A【解析】试题分析:设P的坐标是(a,),推出A的坐标和B的坐标,求出APB=90,求出PA、PB的值,根据三角形的面积公式求出即可解:点P在y=上,|xp|yp|=|k|=1,设P的坐标是(a,)(a为正数),PAx轴,A的横坐标是a,A在y=上,A的坐标是(a,),PBy轴,B的纵坐标是,B在y=上,代入得:=,解得:x=3a,B的坐标是(3a,),PA=|()|=,PB=|a(3a)|=4a,PAx轴,PBy轴,x轴y轴,PAPB,PAB的面积是:PAPB=4a=8故选A考点:反比例函数系数k的几何意义第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(题型注释)18如图,点,点,都在函数的图象上,P1OA1,P2A1A2,P3A2A3都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3都在轴上,已知点P1的坐标为(1,1),则点P3的坐标为 【答案】【解析】试题分析:如图,作轴于,作轴于,作轴于,都是等腰直角三角形,设点的坐标为(1,1),则解得或(舍)解得或,考点:1、反比例函数图象上点的坐标特征;2、等腰直角三角形19如图所示,点、在轴上,且,分别过点、作轴的平行线,与反比例函数的图象分别交于点、,分别过点作轴的平行线,分别与轴交于点,连接,那么图中阴影部分的面积之和为,则的值为 【答案】4【解析】试题分析:本题利用特殊值法进行求解,首先假设=1,然后用含k的代数式分别得出,的坐标,从而求出各个面积,根据题意列出方程求出k的值.考点:反比例函数的性质评卷人得分三、计算题(题型注释)评卷人得分四、解答题(题型注释)20如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4)(1)求反比例函数的解析式;(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;(3)连接OF,OE,探究AOF与EOC的数量关系,并证明【答案】(1)y=;(2)(2,4)(3)AOF=EOC见解析【解析】试题分析:(1)设反比例函数的解析式为y=,把点E(3,4)代入即可求出k的值,进而得出结论;(2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D(4,3),由点D在直线y=x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标;(3)在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,由全等三角形的判定定理可知OAFOCG,EGBHGC(ASA),故可得出EG=HG设直线EG的解析式为y=mx+n,把E(3,4),G(4,2)代入即可求出直线EG的解析式,故可得出H点的坐标,在RtAOF中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5,可知OH=OE,即OG是等腰三角形底边EF上的中线所以OG是等腰三角形顶角的平分线,由此即可得出结论解:(1)设反比例函数的解析式y=,反比例函数的图象过点E(3,4),4=,即k=12反比例函数的解析式y=;(2)正方形AOCB的边长为4,点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4点D在反比例函数的图象上,点D的纵坐标为3,即D(4,3)点D在直线y=x+b上,3=4+b,解得b=5直线DF为y=x+5,将y=4代入y=x+5,得4=x+5,解得x=2点F的坐标为(2,4)(3)AOF=EOC证明:在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点HAO=CO=4,OAF=OCG=90,AF=CG=2,OAFOCG(SAS)AOF=COGEGB=HGC,B=GCH=90,BG=CG=2,EGBHGC(ASA)EG=HG设直线EG:y=mx+n,E(3,4),G(4,2),解得,直线EG:y=2x+10令y=2x+10=0,得x=5H(5,0),OH=5在RtAOE中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5OH=OEOG是等腰三角形底边EH上的中线OG是等腰三角形顶角的平分线EOG=GOHEOG=GOC=AOF,即AOF=EOC考点:反比例函数综合题21如图,已知点A(4,0),B(0,4),把一个直角三角尺DEF放在OAB内,使其斜边FD在线段AB上,三角尺可沿着线段AB上下滑动其中EFD=30,ED=2,点G为边FD的中点(1)求直线AB的解析式;(2)如图1,当点D与点A重合时,求经过点G的反比例函数y=(k0)的解析式;(3)在三角尺滑动的过程中,经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,说明理由【答案】(1)y=-x+4;(2)y=;(3)y=【解析】试题分析:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A、B的坐标代入,组成方程组,解方程组求出k、b的值即可;(2)由RtDEF中,求出EF、DF,在求出点D坐标,得出点F、G坐标,把点G坐标代入反比例函数求出k即可;(3)设F(t,-t+4),得出D、G坐标,设过点G和F的反比例函数解析式为y=,用待定系数法求出t、m,即可得出反比例函数解析式试题解析:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,A(4,0),B(0,4),解得:,直线AB的解析式为:y=-x+4;(2)在RtDEF中,EFD=30,ED=2,EF=2,DF=4,点D与点A重合,D(4,0),F(2,2),G(3,),反比例函数y=经过点G,k=3,反比例函数的解析式为:y=;(3)经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F;理由如下:点F在直线AB上,设F(t,-t+4),又ED=2,D(t+2,-t+2),点G为边FD的中点G(t+1,-t+3),若过点G的反比例函数的图象也经过点F,设解析式为y=,则,整理得:(-t+3)(t+1)=(-t+4)t,解得:t=,m=,经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F,这个反比例函数解析式为:y=考点:反比例函数综合题22如图,已知,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,OA=OB,函数y=的图象与线段AB交于M点,且AM=BM,过点M作MCx轴于点C,MDy轴于点D(1)求证:MC=MD;(2)求点M的坐标;(3)求直线AB的解析式【答案】(1)见解析;(2)点M的坐标为(,)(3)y=x+4【解析】试题分析:(1)先根据AM=BM得出点M为AB的中点,再根据MCx轴,MDy轴,故MCOB,MDOA得出点C和点D分别为OA与OB中点,根据OA=OB即可得出结论;(2)由(1)知,MC=MD,设点M的坐标为(a,a)把M (a,a)代入函数y=中求出a的值即可;(3)根据点M的坐标得出MC,MD的长,故可得出A、B两点的坐标,利用待定系数法即可得出直线AB的解析式(1)证明:AM=BM,点M为AB的中点MCx轴,MDy轴,MCOB,MDOA,点C和点D分别为OA与OB中点,OA=OB,MC=MD(2)解:由(1)知,MC=MD,设点M的坐标为(a,a)把M (a,a)代入函数y=中,解得a=2点M的坐标为(,)(3)解:点M的坐标为(,),MC=,MD=,OA=OB=2 MC=,A(,0),B(0,)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A(,0)和点B(0,)分别代入y=kx+b中,解得,直线AB的解析式为y=x+4考点:反比例函数综合题23如图,已知反比例函数和一次函数y=2x1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点(1)求反比例函数的解析式;(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点A的坐标;(3)利用(2)的结果,请问:在x轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由【答案】(1)y=(2)点A的坐标为(1,1);(3)符合条件的点有4个,分别是(,0),(,0),(2,0),(1,0)【解析】试题分析:(1)把过一次函数的两个点代入一次函数,即可求得k,进而求得反比例函数的解析式(2)同时在这两个函数解析式上,让这两个函数组成方程组求解即可(3)应先求出OA的距离,然后根据:OA=OP,OA=AP,OP=AP,分情况讨论解决解:(1)由题意得得k=2反比例函数的解析式为y=(2)由,解得,点A在第一象限,点A的坐标为(1,1)(3),OA与x轴所夹锐角为45,当OA为腰时,由OA=OP1得P1(,0),由OA=OP2得P2(,0);由OA=AP3得P3(2,0)当OA为底时,OP4=AP4得P4(1,0)符合条件的点有4个,分别是(,0),(,0),(2,0),(1,0)考点:反比例函数与一次函数的交点问题;等腰三角形的性质24如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点(1)求一次函数的解析式;(2)根据图象直接写出使kx+b成立的x的取值范围;(3)求AOB的面积【答案】(1)y=2x+8;(2)0x1或x3;(3)8【解析】试题分析:(1)先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值;然后将其分别代入一次函数解析式,列出关于系数k、b的方程组,通过解方程组求得它们的值即可;(2)根据图象可以直接写出答案;(3)分别过点A、B作AEx轴,BCx轴,垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点SAOB=SAODSBOD,由三角形的面积公式可以直接求得结果解:(1)点A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数y=(x0)的图象上,m=1,n=2,即A(1,6),B(3,2)又点A(m,6),B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上,解得,则该一次函数的解析式为:y=2x+8;(2)根据图象可知使kx+b成立的x的取值范围是0x1或x3;(3)分别过点A、B作AEx轴,BCx轴,垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点令2x+8=0,得x=4,即D(4,0)A(1,6),B(3,2),AE=6,BC=2,SAOB=SAODSBOD=4642=8考点:反比例函数与一次函数的交点问题25(2015秋娄星区期末)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,3),B(3,n)两点(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b的解集 ;(3)过点B作BCx轴,垂足为C,求ABC的面积【答案】(1)y=,y=x+1;(2)x2或3x0(3)5【解析】试题分析:(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出反比例函数的解析式,求出B的坐标,把A、B的坐标代入一次函数的解析式,即可求出一次函数的解析式;(2)根据A、B的 坐标结合图象得出即可(3)设AB与x轴交点为D,根据一次函数的解析式即可求得D的坐标,根据SABC=SACD+SBDC就可求得三角形的面积解:(1)从图象可知A的坐标是(2,3),B的坐标是(3,n),把A的坐标代入反比例函数的解析式得:k=6,即反比例函数的解析式是y=,把B的坐标代入反比例函数的解析式得:n=2,即B的坐标是(3,2),把A、B的坐标代入一次函数的解析式得:,解得:k=1,b=1即一次函数的解析式是y=x+1;(2)由图象可知使一次函数的值大于反比例函数的值的x取值范围是x2或3x0不等式kx+b的解集为x2或3x0(3)设AB与x轴交点为D,则D(1,0),则SABC=SACD+SBDC=5考点:反比例函数与一次函数的交点问题26(2005沈阳)如图,已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线(x0)分别交于点C、D,且C点的坐标为(1,2)(1)分别求出直线AB及双曲线的解析式;(2)求出点D的坐标;(3)利用图象直接写出:当x在什么范围内取值时,y1y2?【答案】(1)y1=x+3,;(2)(2,1);(3)当2x1时,y1y2【解析】试题分析:(1)因为两个函数的图象都过C点,将C点坐标代入求得m、k的值,所以易求它们的解析式;(2)解由两个函数的解析式组成的方程组,得交点坐标D;(3)看在哪些区间y1的图象在上方解:(1)y1=x+m与过点C(1,2),m=3,k=2,y1=x+3,;(2)由题意,解得:,或,D点坐标为(2,1);(3)由图象可知:当2x1时,y1y2考点:反比例函数综合题27(2014汕头)如图,已知A(4,),B(1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m0,m0)图象的两个交点,ACx轴于C,BDy轴于D(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若PCA和PDB面积相等,求点P坐标【答案】(1)当4x1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)y=x+,2;(3)(,)【解析】试题分析:(1)观察函数图象得到当4x1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y=可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t,t+),利用三角形面积公式可得到(t+4)=1(2t),解方程得到t=,从而可确定P点坐标解:(1)当4x1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)把A(4,),B(1,2)代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=x+,把B(1,2)代入y=得m=12=2;(3)设P点坐标为(t,t+),PCA和PDB面积相等,(t+4)=1(2t),即得t=,P点坐标为(,)考点:反比例函数与一次函数的交点问题28如图,已知反比例函数(x0,k 是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中m1,AMx 轴,垂足为 M,BNy轴,垂足为N,AM与BN的交点为C(1)写出反比例函数解析式;(2)求证ACBNOM;(3)若ACB与NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式【答案】(1)y=;(2)证明见解析;(3)B(3,),AB的解析式为y=-x+【解析】试题分析:(1)把 A 点坐标代入可得k的值,进而得到函数解析式;(2)根据A、B两点坐标可得AC=4-n,BC=m-1,ON=n,OM=1,则,再根据反比例函数 解析式可得=n,则,而,可得,再由ACB=NOM=90,可得ACBNOM;(3)根据ACB 与NOM 的相似比为2可得m-1=2,进而得到m的值,然后可得B点坐标,再利用待定系数法求出AB的解析式即可试题解析:(1)(x0,k 是常数)的图象经过点A(1,4),k=4,反比例函数解析式为y=;(2)点 A(1,4),点 B(m,n),AC=4-n,BC=m-1,ON=n,OM=1,B(m,n)在y=上,=n,而,ACB=NOM=90,ACBNOM;(3)ACB 与NOM 的相似比为 2,m-1=2,m=3, B(3,),设AB所在直线解析式为 y=kx+b,解得,AB的解析式为y=-x+考点:反比例函数综合题29如图,反比例函数的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中m1,AMx轴,垂足为M,BNy轴,垂足为N,AM与BN的交点为C(1)写出反比例函数解析式; (2)求证:ACBNOM; (3)若ACB与NOM的相似比为2,求出B点的坐标【答案】(1),(2)证明见解析,(3)【解析】试题分析:(1)把点A(1,4)代入求出k的值即可;(2)根据点B(m,n),A(1,4)用m、n表示出个线段的长,证明,且,即可得出结论;(3)根据ACB与NOM的相似比为2,求出m的值,从而得出点B的坐标,用待定系数法求函数解析式即可试题解析:(1)的图象经过点A(1,4),k=4反比例函数解析式为(2) B(m,n),A(1,4),AC=4n,BC=m1,ON=n,OM=1点B(m,n)在上,又又ACB =NOM=90, ACBNOM(3) ACB与NOM的相似比为2,m1 =2m=3B点坐标为设AB所在直线的解析式为y=kxb, ,解得AB所在直线的解析式为考点:1反比例函数的性质2待定系数法求函数解析式3相似三角形的判定与性质30(2015乐山)如图,正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直x轴于点C,连结BC若ABC的面积为2(1)求k的值;(2)x轴上是否存在一点D,使ABD为直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)k=2(2)点D的坐标为(5,0)或(5,0)或(,0)或(,0)【解析】试题分析:(1)首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征,可知A、B两点关于原点对称,则O为线段AB的中点,故BOC的面积等于AOC的面积,都等于1,然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义,可知AOC的面积等于|k|,从而求出k的值;(2)先将y=2x与y=联立成方程组,求出A、B两点的坐标,然后分三种情况讨论:当ADAB时,求出直线AD的关系式,令y=0,即可确定D点的坐标;当BDAB时,求出直线BD的关系式,令y=0,即可确定D点的坐标;当ADBD时,由O为线段AB的中点,可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D点的坐标解:(1)反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,A、B两点关于原点对称,OA=OB,BOC的面积=AOC的面积=22=1,又A是反比例函数y=图象上的点,且ACx轴于点C,AOC的面积=|k|,|k|=1,k0,k=2故这个反比例函数的解析式为y=;(2)x轴上存在一点D,使ABD为直角三角形将y=2x与y=联立成方程组得:,解得:,A(1,2),B(1,2),当ADAB时,如图1,设直线AD的关系式为y=x+b,将A(1,2)代入上式得:b=,直线AD的关系式为y=x+,令y=0得:x=5,D(5,0);当BDAB时,如图2,设直线BD的关系式为y=x+b,将B(1,2)代入上式得:b=,直线AD的关系式为y=x,令y=0得:x=5,D(5,0);当ADBD时,如图3,O为线段AB的中点,OD=AB=OA,A(1,2),OC=1,AC=2,由勾股定理得:OA=,OD=,D(,0)根据对称性,当D为直角顶点,且D在x轴负半轴时,D(,0)故x轴上存在一点D,使ABD为直角三角形,点D的坐标为(5,0)或(5,0)或(,0)或(,0)考点:反比例函数与一次函数的交点问题31如图,已知反比例函数和一次函数y=2x1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点(1)求反比例函数的解析式;(2)如下图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点A的坐标;(3)利用(2)的结果,请问:在x轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由【答案】(1)反比例函数的解析式为y=(2)点A的坐标为(1,1)(3)(,0),(-,0),(2,0),(1,0)【解析】试题分析:(1)把过一次函数的两个点代入一次函数,即可求得k,进而求得反比例函数的解析式(2)同时在这两个函数解析式上,让这两个函数组成方程组求解即可(3)应先求出OA的距离,然后根据:OA=OP,OA=AP,OP=AP,分情况讨论解决试题解析:(1)由题意得 -得:k=2反比例函数的解析式为y=(2)由,解得,点A在第一象限,点A的坐标为(1,1)(3)OA=,OA与x轴所夹锐角为45,当OA为腰时,由OA=OP1得P1(,0),由OA=OP2得P2(-,0);由OA=AP3得P3(2,0)当OA为底时,OP4=AP4得P4(1,0)符合条件的点有4个,分别是(,0),(-,0),(2,0),(1,0)考点:反比例函数综合题32如图,已知反比例函数和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点。(1)求反比例函数的解析式;(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上, 求点A的坐标;(3)利用(2)的结果,请问:在x轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由。【答案】(1)y=;(2)(1,1);(3)符合条件的点有4个,分别是(,0),(-,0),(2,0),(1,0)【解析】试题分析:(1)把过一次函数的两个点代入一次函数,即可求得k,进而求得反比例函数的解析式;(2)同时在这两个函数解析式上,让这两个函数组成方程组求解即可;(3)应先求出OA的距离,然后根据:OA=OP,OA=AP,OP=AP,分情况讨论解决试题解析:(1)由题意得 ,-得:k=2,反比例函数的解析式为y=;(2)由,解得,点A在第一象限,点A的坐标为(1,1);(3)OA=,OA与x轴所夹锐角为45,当OA为腰时,由OA=得(,0),由OA=得(-,0);由OA=得(2,0)当OA为底时,=得(1,0)符合条件的点有4个,分别是(,0),(-,0),(2,0),(1,0)考点:反比例函数综合题33如图是函数与函数在第一象限内的图象,点是的图象上一动点,轴于点A,交的图象于点,轴于点B,交的图象于点(1)求证:D是BP的中点;(2)求出四边形ODPC的面积【答案】(1)证明见试题解析;(2)3【解析】试题分析:(1)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得P、D点坐标,根据线段中点的定义,可得答案;(2)根据图象割补法,可得面积的和差,可得答案试题解析:(1)点P在函数上,设P点坐标为(,m),点D在函数上,BPx轴,设点D坐标为(,m),由题意,得BD=,BP=2BD,D是BP的中点;(2)S四边形OAPB=m=6,设C点坐标为(x,),D点坐标为(,y),SOBD=,SOAC=,S四边形OCPD=S四边形PBOASOBDSOAC=3考点:反比例函数与一次函数的交点问题34如图,已知反比例函数和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点(1)求反比例函数的解析式;(2)如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点A的坐标;(3)利用(2)的结果,请问:在x轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2)A(1,1);(3)(,0),(,0),(2,0),(1,0)【解析】试题分析:(1)把过一次函数的两个点代入一次函数,即可求得k,进而求得反比例函数的解析式(2)同时在这两个函数解析式上,让这两个函数组成方程组求解即可(3)应先求出OA的距离,然后由:OA=OP,OA=AP,OP=AP,分情况讨论试题解析:(1)由题意得,得:k=2,反比例函数的解析式为;(2)由,解得:,点A在第一象限,点A的坐标为(1,1);(3)OA=,OA与x轴所夹锐角为45,当OA为腰时,由OA=OP1得P1(,0),由OA=OP2得P2(,0);由OA=AP3得P3(2,0);当OA为底时,OP4=AP4得P4(1,0),符合条件的点有4个,分别是(,0),(,0),(2,0),(1,0)考点:1反比例函数综合题;2分类讨论;3存在型35如图,已知点A的坐标(,3),ABx轴,垂足为B,连接OA,反比例函数y=(k0)的图象与线段OA、AB分别交于C、D两点,若AB=3BD以C点为圆心,2CA长为半径作圆C(1)求k的值;(2)求点C坐标;(3)判断C与x轴的位置关系【答案】(1);(2)C(1,);(3)C与x轴相交【解析】试题分析:(1)根据A(,3),AB=3BD求出点D的坐标,故可得出k的值;(2)由(1)中k的值求出反比例函数的解析式,用待定系数法求出直线OA的解析式,把反比例函数与一次函数的解析式组成方程组即可求出C点坐标;(3)由(2)中C点坐标可求出点C与x轴的距离及CA的长,由圆与直线的位置关系即可得出结论试题解析:(1)A(,3),AB=3,AB=3BD,BD=AB=3=1,D(,1)点D在反比例函数y=(k0)的图象上,1=,解得k=;(2)k=,反比例函数的解析式为y=,设直线OA的解析式为y=kx,A的坐标(,3),k=3,解得k=,直线OA的解析式为y=x,解得x=1或x=-1(舍去),C(1,);(3)C(1,),点C到x轴的距离为,A(,3),OA=2,OC=2,CA=OA-OC=2-2,2CA=4-4,4-4-=3-40,C与x轴相交考点:反比例函数综合题36如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线x+3交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图象经过点M,N(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在y轴上,且OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标【答案】(1)反比例函数的解析式是;(2)点P的坐标是(0,4)或(0,4)【解析】试题分析:(1)求出,将代入求出,得出M的坐标,将M坐标代入反比例函数解析式即可求出答案;(2)利用,求出OP的值,即可求出P点坐标试题解析:(1),四边形OABC是矩形,将代入得,将M坐标代入,反比例函数的解析式是由题意得,点P的坐标是(0,4)或(0,4)考点:反比例函数综合题37如图,已知A(4,),B(1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m0,m0)图象的两个交点,ACx轴于C,BDy轴于D(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若PCA和PDB面积相等,求点P坐标【答案】(1)4x1;(2)y=x+,m=-2;(3)P点坐标是(,)【解析】试题分析:(1)一次函数图象都在反比例函数图象上方,观察函数图象即可得-4x-1;(2)利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y=可计算出m的值;(2)设P(x,x+),根据PCA和PDB面积相等列出方程解方程即可试题解析:解:(1)由图象得一次函数图象在上的部分,4x1,当4x1时,一次函数大于反比例函数的值; (2)设一次函数的解析式为y=kx+b,y=kx+b的图象过点(4,),(1,2),则,解得一次函数的解析式为y=x+,反比例函数y=图象过点(1,2),m=12=2; (3)连接PC、PD,如图,设P(x,x+)由PCA和PDB面积相等得(x+4)=|1|(2x),x=,y=x+=,P点坐标是(,)考点:反比例函数、一次函数的综合题38如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3)双曲线y=(x0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是y轴上一点,且FBC与DEB相似,求直线FB的解析式【答案】(1)3,(2,);(2)y1=;y2=x;y3=;y4=【解析】试题分析:(1)根据B的坐标,以及四边形ABCO为矩形,确定出BC中点D坐标,代入反比例解析式求出k的值;根据E在反比例图象上,且B与E横坐标相同,确定出E坐标即可;(2)分类讨论,即可确定出直线FB解析式试题解析:(1)矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,BCx轴, BAy轴,BCx轴,点B的坐标为(2,3),BC=2,点D为BC的中点,CD=1,点D的坐标为(1,3),代入双曲线y=(x0)得k=13=3;BAy轴,点E的横坐标与点B的横坐标相等,为2,点E在双曲线y=上,y=点E的坐标为(2,);(2)点E的坐标为(2,),B的坐标为(2,3),点D的坐标为(1,3),BD=1,BE=,BC=2当点F在点C的下方时,若FBCDEB,则即:FC=OF=3-=点F1的坐标为(0,)设直线F1B的解析式y1=kx+b(k0)则解得:k=,b=直线F1B的解析式y1= 若FBCEDB,则即:FC=3OF=3-3=0点F2的坐标为(0,0) 设直线F2B的解析式y2=mx(k0)则2m=3,解得:m=,直线F2B的解析式y2=x 当点F在点C上方时,同理可得:y3=;y4= 综上所述,直线FB的解析式有4种可能,分别是:y1=;y2=x;y3=;y4= 考点:反比例函数综合题39如图,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,2),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标;(3)若点P是反比例函数图象上的一点,OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标【答案】(1)反比例函数解析式为y=,一次函数解析式为y=x+1;(2)M(2,3);(3)P(18,)或P(18,)【解析】试题分析:(1)求得C点坐标是求出反比例函数解析式的关键由四边形ABCD为正方形,可知BC=AB=3,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,2),所以C(3,2),把C(3,2)代入y=得出k值,即可求得反比例函数解析式;然后把C(3,2),A(0,1)代入y=ax+b中求得a,b值,再代回解析式即可;(2)把反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组求解,即可得出M点坐标;(3)先求出正方形ABCD的面积,再用P点横坐标表示出三角形OAP的面积,即可求出P点坐标试题解析:(1)点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,2),AB=1+2=3,四边形ABCD为正方形,BC=3,C(3,2),把C(3,2)代入y=得k=3(2)=6,反比例函数解析式为y=,因为A,C点都在y=ax+b上,所以把C(3,2),A(0,1)代入y=ax+b中得:3a+b=-2,b=1两个式子组成二元一次方程组,解得a=-1,b=1,一次函数解析式为y=x+1;(2)因为M,C点是两个函数的交点,所以解方程组,得:或,M点的坐标为(2,3);(3)先求出正方形ABCD的面积,正方形ABCD的面积等于33=9再用P点横坐标表示出三角形OAP的面积,设P点横坐标为x,因为OA=1,所以SOAP=1|x|=9,解得x=18,分别代入y=,得y1=-,y2=,于是P点坐标为P(18,)或P(18,)考点:1确定反比例函数与一次函数解析式;2求反比例函数与一次函数交点坐标;3三角形,正方形面积计算40如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点C在x轴正半轴上,顶点B在第一象限,过点B作BDy轴于点D,线段OA,OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根,BC=4,BAC=45(1)求点A,C的坐标;(2)反比例函数y=的图象经过点B,求k的值;(3)在y轴上是否存在点P,使以P,B,D为顶点的三角形与以P,O,A为顶点的三角形相似?若存在,请写出满足条件的点P的个数,并直接写出其中两个点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)A(-6,0),C(6,0);(2)k=16(3)(0,2)或(0,6)或(0,12)或(0,4+2)或(0,-2-4)【解析】试题分析:(1)解一元二次方程x2-12x+36=0,求出两根即可得到点A,C的坐标;(2)过点B作BEAC,垂足为E,由BAC=45可知AE=BE,设BE=x,用勾股定理可得CE=,根据AE+CE=OA+OC,解方程求出BE,再由AE-OA=OE,即可求出点B的坐标,然后求出k的值;(3)分类讨论,根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标试题解析:(1)解一元二次方程x2-12x+36=0,解得:x1=x2=6,OA=OC=6,A(-6,0),C(6,0);(2)如图1,过点B作BEAC,垂足为E,BAC=45,AE=BE,设BE=x,BC=4,CE=,AE+CE=OA+OC,x+=12,整理得:x2-12x+32=0,解得:x1=4(不合题意舍去),x2=8BE=8,OE=8-6=2,B(2,8),把B(2,8)代入y=,得k=16(3)存在如图2,若
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