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第16章 二次根式,16.2 二次根式的乘除,1,1.什么叫二次根式？,2.二次根式的两个基本性质:,复习回顾,=a,(a0),(a0),=,=a,(a0),被开方数a0；,根指数为2.,0；,形如：,表示a的算术平方根,双重 非负性,先开方再平方：,先平方再开方：,a,-a,2,复习:,3.填空:,4.计算:,2、二次根式有哪些性质?,1、什么叫二次根式？,3,内容：课本 P67 要求： 1.填写“探究”内容，总结二次根式的乘法法则 2.二次根式的乘法公式的逆运用的作用是什么？ 3.例2你有其他解法吗？ 4.完成P7练习1-3 时间：10分钟,读书指导,4,计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律,1、 =_,用你发现的规律填空,并用计算器验算,思考：,(a0,b0),合作学习,6,6,20,20,一般地,对于二次根式的乘法规定:,5,注意:,a、b必须都是非负数！,算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根,(a0,b0),6,一、二次根式乘法法则：一般地有,二次根式与二次根式相乘，等于各被开数的积的算术平方根。,扩充：,7,8,(a0,b0),算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根,9,练习:计算,解:,10,在本章中， 如果没有特别说明，所有的字母都表示正数,11,12,想一想？,成立吗？为什么？,非 负 数,13,例题 计算：,同学们自己来算吧！ 看谁算得既快又准确！,14,化简二次根式的步骤：,1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.,2.应用,3.将平方项应用 化简.,15,的值是（ ）,的值是（ ）,的值是（ ）,A,B,A,当堂检测,16,4. 估计,的运算结果应在（ ） A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间,C,当堂检测,5. 比较大小,17,当堂检测,7.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.,A,18,思考题：,已知,19,=,探索与交流,填空：,=,=,=,比较左右两边的等式，你发现了什么？,你能用语言和字母表示你发现的规律吗？,(a0，b0),(a0，b0),6,6,4.472135955,4.472135955,0.75,0.75,1.224744871,1.224744871,性质3：,性质4：,20,探索发现：,6,6,35,35,于是我们得到：,特 别 提 醒,1，记住二次根式的存在条件；,2，性质的逆运用；,3，推广式：,积的算术平方根等于各因式算术平方根的积,21,（a0，b0）,根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。,二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。,22,把 反过来，就可以得到:,（a0，b0）,利用它可以对二次根式进行化简.,探究,23,例题讲解,化简:,化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。,24,两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数,计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?,规律:,25,于是我们得到：,特别注意：1，条件； 2，逆运用。,探索发现：,商的算术平方根等于算术平方根的商,26,思考：,(1) 若 成立, 则 满足条件_.,-2x3,(2) 若 成立, 则 满足条件 .,-2x3,27,？,一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号外面.,提问1： 与 相等吗？为什么？,观察思考,28,如何化去 中被开方数中 的分母呢?,思考与探索,29,例1 化去根号内的分母:,注意： 如果被开方数是带分数，应先化成假分数。,30,如何化去 中被开方数中 的分母呢?(方法2),思考与探索,31,例2：计算,解：,在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式. (2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.,把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。,32,试一试,1.化简 (1) (2),1、把被开方数分解因式(或因数) ；,2. 把分解的因式(或因数)尽可能写成平方数或偶次方因式.,3. 应用,4. 将平方项应用 化简,33,提问2： 与 相等吗？为什么？,观察思考,将分子和分母同乘一个不等于零的代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的正平方根代替后移到根号外作新的分母.,34,把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，,或者化去被开方数的分母的过程，,称为“化简二次根式”,通常把形如 的式子也叫做二次根式。,35,(a0，b0),(a0，b0),化简二次根式的一般步骤如何？,(1) 分解质因数；,化带分数为假分数；,处理好被开方数中的符号；,(2)根号内分数的分子、分母同乘一个数，使 分母成一个正整数的平方；,(3)运用二次根式的性质化简。,性质3： 性质4：,36,例1.利用性质,化简下列二次根式,解:由,得,a0,挖掘隐含条件,原式=,例题吧,37,解:由,先挖掘隐含条件 a和b同号,原式=,38,试一试,1.化简 (1) (2) (3),如果被开方数是带分数，应先化成假分数。,39,化成假分数,例2.利用性质,化简二次根式,解: 由,原式=,得x0,40,将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”,化简的步骤,1、把被开方数分解因式(或因数) ；,2.把分解的因式(或因数)尽可能写成几个平方数或（式）.（分母必须化为平方数或偶次方因式）,4.将平方项应用 化简,3.应用,如何化简二次根式,41,例：计算,解：,把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分母有理化。,最简二次根式。,42,例6：计算,解：,在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式. (2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.,把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。,43,4.化简下列各式：,注意： 如果被开方数是带分数，应先化成假分数。,解：,44,练习,5. 化简下列各式：,45,问题1： ？,问题2： ？,注意：,46,=_;,=_,2.化简下列各式（1）,=_,(2),(3),=_;,(4),(5)-,=_,=_;,(6),=_,(7),286,47,三、请你帮忙:,小明在学习本节内容后，做一道化简题作业。第二天作业发下来后，小明知道做错了，可他百思不得其解，你能帮小明找出错的原因吗?,解:原式=,请大家从观察被开方数，想一想？,分析:,也就是说我们应该先把带分数化成假分数!再运用商的算术平方根的性质!,很显然小明理解错带分数的意义,48,正确解法：,解：原式=,总结：遇到被开方数是带分数，化带分数为假分数,训练题：,49,.,.,结果是 .,11,50,分母有理化,把分母中的根号化去,使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。,2. 分母有理化的关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。,注意,1. 在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。,51,最简二次根式的特点,被开方数不含分母。 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。,以上各例题的最后结果：,52,分母中不含二次根式。 被开方数不能含有小数或分数。 分子分母不能约分。 最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。,在二次根式的运算中， 最后结果的一般要求,53,1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.,2.应用,3.将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。,化简二次根式的步骤,54,
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