14.3实数（1）

14.3实数（1）教学目标【知识与能力】1.理解和掌握无理数和实数的概念.2.能正确识别无理数.3.能正确地对实数进行分类.【过程与方法】通过实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.【情感态度价值观】经历从有理数逐步扩充到实数的过程,体会人类对数的认识是不断发展的,认识到数学的发展源于生活实际,又作用于生活实际.教学重难点【教学重点】了解无理数和实数的概念.【教学难点】 对无理数的认识.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习提问:(1)正数的平方根怎样表示?平方根的性质是什么?(2)什么叫做算术平方根?什么样的数有算术平方根?(3)立方根的概念是什么?它有怎样的性质?2.(教材第69页一起探究)如图(1)所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图(2)所示的正方形. 这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等的?面积是多少?让学生求出面积,提问:如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?引导学生说出:x2=2,因为正方形的边长是正数,所以x是2的算术平方根,即2.2是一个什么样的数呢?设计意图通过复习使前后知识衔接,为学习后续知识做铺垫;学生通过动手操作,培养学生的动手能力,学生在回答问题的过程中积极思考,加深对无理数的认识.导入二:几千年来,人们为了寻求圆周率的精确的近似值付出了巨大的努力,我国南北朝时期伟大的数学家祖冲之,第一个将圆周率精确到小数点后的第七位,这一记录保持了近一千年.进入电脑时代,圆周率的计算突飞猛进,1999年,日本学者金田安政及合作者在一台日立SR800计算机上算得的的值竟然精确到了2061亿多位.现在,计算的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标,那么到底是一个什么样的数呢?设计意图利用圆周率 这个学生早已熟悉的数,把数进一步扩充,使学生认识到这个数与以前学过的有理数不同,增加神秘感和学生的好奇心,使学生产生浓厚的学习兴趣.导入三:师:随着年龄的增长、学习的深入,我们对数的认识也在不断地更新,请同学们回忆一下,到目前为止,我们已经认识了哪些数?(举一个具体的例子)生:(学生可能说出的数)自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数(让学生大胆地说,一个学生讲完,其他学生补充,教师在黑板上记录)师:不得了,我们已经认识了这么多数,那么这些数与数之间有什么关系,你能不能帮我整理一下,理出一个思路呢?比如:整数(板书),你能把属于整数的都找出来吗?生:正整数、负整数、0、自然数、素数(质数)、合数、奇数、偶数.(在开始记录的数的前方编号)师:同样,分数(板书),你能把属于分数的都找出来吗?生:正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数.(在开始记录的数的前方编号)师:剩下还有一些数,它们是整数吗?是分数吗?如果学生说到“小数”:首先小数有哪几类?有限小数可以化为分数(如1.3);无限循环小数可以化为分数(如0.3);还有没有其他的小数呢?(学生举例:)它是整数吗?是分数吗?那到底是什么数呢?如果学生说到“无限不循环小数”,它是整数吗?是分数吗?谁知道是多少?3.1415926(追问:后面呢?)课件展示,尽可能位数多一点,让学生观察其特点(无限、不循环).这样的数,生活中还有吗?我们来玩一个拼图游戏.设计意图使学生重新认识以前学过的数,了解数的发展和扩充,逐步深化,最后引出无限不循环小数,即本节课要研究的内容无理数.二、新知构建：活动一:无理数的初步感知思路一过渡语2这个数是客观存在的,导入一中直角边长是2的等腰直角三角形的斜边上的高以及边长是1的正方形的对角线长都是2.1.大家谈谈初步感知【课件1】1.2是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?2.2是分数吗?-53,-23,-13,-12,12,13,23,53的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?3.2会是有理数吗?说明:引导学生在小组内交流,使学生认识到:(1)整数的平方是整数,没有平方后得2的整数.(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以2不是以前熟悉的有理数.想一想:2到底是什么样的数呢?2.计算机计算强化认识让学生用计算机计算,展示计算机计算的结果,学生观察,说出自己的看法.可设置如下问题:(1)小数可以分成几类?学生得出:小数有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数(2)2是什么样的小数?(2是无限不循环小数)教师展示圆周率=3.1415926535897932384626433832795028841971.实际上,圆周率也是一个无限不循环小数.设计意图对无理数有个初步的认识,2和都是无限不循环小数,让学生了解它们不是以前学过的有理数,渗透知识的形成过程.思路二(针对导入一)1.活动:请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀,将小正方形沿着对角线剪开,设法重新拼成一个大正方形,大家动手试一试.师:经过同学们的努力,基本都完成了任务,请一位学生把自己拼的图在黑板上展示出来.师:你们知道这个大正方形的面积是多少吗?为什么?生:它的面积为2,因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的.师:你知道了这个图形的面积,对这个正方形,你还想知道它的一些什么信息呢?生:边长.师:你知道它的边长是多少吗?如果有学生说出2,先表扬(看来你对数学是很有兴趣的,肯钻研),那么2是什么数呢?若回答1.414(后面呢?);若回答无限不循环小数(你怎么知道的呢?).2.为了便于探究这个问题,我们假设拼成的大正方形的边长为x,那么x2=2.探究:(1)x是整数吗?生:因为12=1,22=4,x是1和2之间的数,1x2,所以x不可能是整数.(2)x是分数吗?通过EXCEL,让学生寻找是否有这样的一个分数,它的平方正好是2?找不到这样的一个分数,它的平方正好是2(直观感受),x也不是分数.换个角度:如果x是分数,那么两个相同的分数相乘,积一定还是分数,不可能是2的.(3)x是怎样的数?1.51.5=2.25,1.411.41=1.9881,1.41.4=1.96,1.421.42=2.0164,1.4x1.5,1.41x1.42,1.414x1.415探索中,得到1.4x1.5,1.41x1.42,1.414x1.415由此可以得到:x是一个无限小数,它总介于两个有限小数之间,但永远找不到这样的一个有限小数等于x,同时,这些小数都不是循环小数.按照这种方法探索下去,x的值是1.414213562373095048801688724209698078569.师:你们发现这个数和有什么共同点吗?生:无限、不循环.设计意图通过拼图得到2,然后采用逐步逼近的方法,通过计算与类比让学生发现这个数是无限不循环小数,在操作的过程中,着重学生动手能力和计算能力的培养,让学生主动发现问题、研究问题,体现了知识的获取过程.活动二:无理数概念的形成1.形成概念过渡语通过刚才的探究和计算,我们已经知道了2和都是无限不循环小数,那么有理数可以化成怎样的小数呢?想一想:(1)什么叫做有理数?(2)整数和分数都可以化成怎样的小数?说明:整数可以写成小数部分是0的小数.如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0等.师:任何分数都可以化成怎样的小数?让学生把-1100,-35,72,316,-13,23,722化成小数,并观察其特点.归纳:分数可以写成有限小数或无限循环小数.思考:任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数吗?请你利用计算器再计算几个分数.得出结论:有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.那么我们思考一下2,3是不是有理数?为什么?通过前面的学习,学生可以知道2=1.41421356,它是一个无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.其实,无理数有很多,很多数的平方根和立方根都是无理数,如:3=1.732,5=2.23606,32=1.25992,310=2.15443等都是无限不循环小数,它们都是无理数.知识拓展(1)判断一个数是不是无理数,一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数,满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数.(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:特殊意义的数:如圆周率及含的一些数,如2-等;开方开不尽的数,如5,-2,39等;特殊结构的数,如2.01001000100001(每两个1之间依次多一个0)等.(3)带根号的数不一定是无理数,如0=0,9=3,它们不是无理数,而是有理数,无理数也不一定带根号,如.学习了有理数和无理数两个概念后,下面我写几个数,你们来判断一下,它是有理数还是无理数?-3,1.1414,2,0.1010010001(每两个1之间依次多一个0),-0.1010010001(每两个1之间依次多一个0).师:你还能写出一个无理数吗?教师说明:无理数包括正无理数和负无理数,你们可以举出一些实例吗?强调:一般a是一个正无理数,那么-a是一个负无理数.我们把有理数和无理数统称为实数.想一想:有理数与无理数有什么区别?(1)有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式,而无理数是无限不循环小数.(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能化成分数的形式.设计意图引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念.了解数的扩充的必要性和实数的意义,提高学生对数的理解.2.历史背景过渡语实际上,第一个发现无理数的人却被抛进大海,你想知道这其中的故事吗?【课件2】小故事:2500年前,当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”,拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的,他所说的一切都是真理.但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,为此希伯索斯被投入大海.他为真理献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的.后来人们正视了希伯索斯的发现,也就是我们前面谈到的x2=2中的x不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些知识,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样,科学就会停滞不前,要向希伯索斯学习,学习他为追求真理而大无畏的精神.设计意图通过史实介绍,让学生受到思想教育,培养学生追求真理的精神,从而体现数学课堂中对学生的思想教育.三、课堂小结：1.实数有理数:总可以化成有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数2.无理数满足的三个条件:(1)首先是小数;(2)其次是小数中的无限小数;(3)并且是无限小数中的不循环小数.- 5 -