26.1锐角三角函数（2）

26.1锐角三角函数（2）教学目标【知识与能力】1.经历正弦、余弦概念的形成过程,理解三角函数的定义,并能根据正弦、余弦的概念进行计算.2.经历探索30,45,60角的正弦、余弦值的过程,能够进行有关推理,并能进行含有30,45,60角的三角函数值的计算.【过程与方法】1.结合正切概念探索锐角正弦、余弦概念的形成,培养学生类比推理的能力及归纳总结的能力.2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,学会综合运用数学知识解决问题的能力.【情感态度价值观】1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证问题,提高数学思维能力.3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.教学重难点【教学重点】1.理解正弦、余弦的概念,并会求锐角的正弦值、余弦值.2.熟记30,45,60角的三角函数值,能熟练计算含有30,45,60角的三角函数的代数式的值.【教学难点】 类比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30,45,60角的正弦、余弦值的推导过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律?2.什么是正切?如何求一个角的正切?3.含30,45的直角三角形有哪些性质?4.你还记得我们探究正切概念时所得的30,45角的正切吗?导入二:观察两个不同大小的三角板,当角是30,45,60时,它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律?谈谈你的看法.过渡语类比探究正切的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的吗?这就是我们这节课要学习的内容.设计意图通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的对边与斜边、邻边与斜边的比值,观察、归纳规律,很自然地引出本节课的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.二、新知构建：共同探究一直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值思路一【课件展示】如图所示,在RtAB1C1和RtAB2C2中,C1=C2=90.【思考】(1)RtAB1C1与RtAB2C2之间有什么关系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)B1C1AB1与B2C2AB2,AC1AB1与AC2AB2之间各有什么关系?B1C1AB1=B2C2AB2,AC1AB1=AC2AB2(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3AC1,垂足为C3,则B1C1AB1与B3C3AB3,AC1AB1与AC3AB3之间有什么关系?B1C1AB1=B3C3AB3,AC1AB1=AC3AB3(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的)(5)如果改变A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.【师生活动】教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.思路二【课件展示】如图所示,BAC为任意给定的一个锐角,B1,B2为射线AB上的任意两点,过点B1,B2分别作AC的垂线B1C1,B2C2,垂足分别为C1,C2.【探究】类比上节课探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”的方法,请你探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的”.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展示进行点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是确定的,我们把确定值定义为什么呢?【课件展示】在RtABC中,C=90.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sin A,即sin A=A的对边斜边=ac.A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=A的邻边斜边=bc.【思考】(1)当锐角的大小变化时,sin ,cos ,tan 是否变化?(2)对于锐角的每一个确定的值,sin ,cos 和tan 是否有唯一的值和它对应?(3)sin ,cos 和tan 是不是的函数?【师生活动】学生思考回答,教师引导点评.归纳:我们把锐角正弦、余弦和正切统称为的三角函数.为方便起见,今后将(sin )2,(cos )2,(tan )2分别记作sin2,cos2,tan2.大家谈谈:如图所示,在RtABC中,C=90.(1)B的正弦与余弦分别是哪两边的比值?B的正弦是ACAB=bc,B的余弦是BCAB=ac(2)由ac,bc,说一说sin A和cos A的值与“1”的关系.(sin A1,cos A1,sin2A+cos2A=1)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,对于“A的正弦、余弦的平方和等于1”这一结论,学生不容易想到,教师要引导学生发现结论,并对学生的展示作出点评.设计意图教师根据上边的总结验证,类比正切概念的形成,引导学生认识理解正弦、余弦的概念,让学生体会类比思想在数学中的应用,培养学生归纳总结能力.通过大家谈谈,加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握,提高学生发现问题、解决问题的能力.共同探究二特殊角的三角函数值过渡语类比上节课的30,45,60角的正切值的探究方法,你能得到30,45,60角的三角函数值吗?思路一动手操作:画出含有30,45角的直角三角形,分别求出30,45,60角的所有三角函数值.【师生活动】学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一个边长,然后计算各三角函数值.对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.【课件展示】304560sin 122232cos 322212tan 3313【思考】观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?【师生活动】学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说的有理,就给予肯定和鼓励.结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30=cos 60,sin 60=cos 30,sin 45=cos 45,由此可知sin =cos (90-),cos =sin (90-).(3)0sin A1,0cos A1.思路二【思考】如图所示.(1)在直角三角形中,30角所对的直角边和斜边之间有什么关系?(2)设30角的对边为a,你能用a表示三角形的各边长吗?(3)用三角函数的定义,分别求出30,60角的各三角函数值.(4)含有45角的直角三角形有什么特点?(5)设等腰直角三角形的腰长为a,你能用a表示直角三角形的斜边吗?(6)用三角函数的定义,求出45角的各三角函数值.【师生活动】学生逐一回答教师提出的问题,通过计算得出30,45,60角的各三角函数值.师生共同完成下表:【课件展示】304560sin 122232cos 322212tan 3313【思考】(1)观察表格中数据,当锐角增大时,它的正弦、余弦、正切值怎样变化?(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?(3)根据(2)猜想正确结论.【师生活动】学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就给予肯定和鼓励.结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.(2)sin 30=cos 60,sin 60=cos 30,sin 45=cos 45.(3)sin =cos (90-),cos =sin (90-).设计意图学生通过画图,根据特殊直角三角形三边之间的关系及三角函数的定义,计算完成特殊角的三角函数值的推导,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.例题讲解【课件展示】(教材107页例2)求下列各式的值:(1)2sin 30+3tan 30-tan 45;(2)(sin 45)2+tan 60sin 60.教师引导思考:(1)cos 60,sin 60,cos 45,sin 45,tan 45各等于什么值?(2)将各三角函数值代入,化简计算各代数式的值.【师生活动】教师引导学生记忆各特殊角的三角函数值,将各特殊角的三角函数值代入各式计算即可,学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书解答过程,教师进行点评,并强调计算过程中的易错点.解:(1)2sin 30+3tan 30-tan 45=212+333-1=3.(2)(sin 45)2+tan 60sin 60=222+332=12+32=2.(教材107页例3)如图所示,在RtABC中,C=90,AC=5,BC=12.求sin A,cos A,tan A的值.【思考】(1)根据各三角函数的定义,要求sin A,cos A的值,必须求出哪个边的值?(2)怎样求出AB的值?【师生活动】学生思考回答问题后,独立完成解答过程,小组交流结果,小组代表板书过程.【课件展示】解:AB=AC2+BC2=52+122=13,sin A=BCAB=1213,cos A=ACAB=513,tan A=BCAC=125.设计意图在教师的引导下,学生独立思考完成后,小组交流答案,让学生熟记特殊角的三角函数值,并能够根据概念求出直角三角形中锐角的各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数的概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.知识拓展1.正弦和余弦都是一个比值,没有单位.2.正弦值和余弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.sin A,cos A是一个整体符号,不能写成sinA,cosA.4.当用三个字母表示角时,角的符号“”不能省略,如sinABC.5.在RtABC中,C=90,由于sin A=BCAB=ac,cos A=ACAB=bc,sin B=ACAB=bc,cos B=BCAB=ac,tan A=BCAC=ab,tan B=ACBC=ba,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan Atan B=1.6.在RtABC中,C=90,a2+b2=c2,sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab,sin2A+cos2A=1,tan A=sinAcosA.三、课堂小结：1.在直角三角形中,当锐角A的度数确定时,无论这个直角三角形的大小如何,A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个确定值.2.正弦、余弦的定义:3.三角函数的定义:锐角的正弦,余弦,正切统称为的三角函数.4.特殊角的三角函数值:304560sin 122232cos 322212tan 3313- 7 -