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2.4 等比数列,1,如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？,情境一:折纸,问题情境:,2,对折一次,对折二次,对折三次,对折四次,.,对折 次,对折纸的 次数,纸的 层数,.,.,3,情境二:庄子天下篇中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。,4,设木棰长度为1,木棰长度,第一天取半,第二天取半,第三天取半,第四天取半,第 天取半,5,观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点?,2, 4, 8, 16, ;,共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数,-2, 2, -2, 2, . ,6,讲授新课,1. 等比数列的定义:,一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示.,(q0),7,2.等比数列定义的符号语言:,(q为常数，且q0 ；nN*),8,(1) 1，3，9，27，,(3) 5， 5， 5， 5，,(4) 1，-1，1，-1，,(2),(5) 1，0，1，0，,练 习,判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由。,是,是,是,是,a1=1, q=3,a1=5, q=1,a1=1, q= -1,不是,9,(6) 0，0，0，0，,(7) 1, a, a2, a3 , ,(8) x0, x, x2, x3 , ,(9) 1，2，6，18，,不是,不是,小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：,a1=x0, q=x,是,不是,看 是不是同一个常数？,10,注意：,(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不 能用前项比后项来求，且q0；,(1) 等比数列an中, an0；,(3)若q1，则该数列为常数列,(4)常数列 a, a , a , a , ,时,既是等差数列，又是等比数列;,时,只是等差数列，而不是等比数列.,11,思考：,如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G应该满足什么条件？,反之，若,即a,G,b成等比数列.,a, G, b成等比数列,则,分析：,由a, G, b成等比数列得：,(ab0),12,如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.,3.等比中项：,即：,注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.,13,练习：,14,一、等比数列的通项公式:递推法,15,等比数列的通项公式：叠乘法,等比数列注： （1）等比数列的首项不为0；,（2）等比数列的每一项都不为0，即,（3） q=1时，an为常数列；,16,以a1为首项，q为公比的等比数列an的通项公式为：,4.等比数列的通项公式：,5.等比数列通项公式的推广：,7.等比数列通项公式的应用：知三求一,6.等比数列的公比公式：,17,例、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.,解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么,解得， ，,因此,答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.,18,课堂互动,（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.,(1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项；,解得，,答：它的第一项是36 .,解：设它的第一项是 ，则由题意得,解：设它的第一项是 ，公比是 q ，则由题意得,答：它的第一项是5，第4项是40.,，,因此,19,答案：,20,课堂小结,从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,公差(d ),d 可正、可负、可零,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,公比(q ),q可正、可负、不可零,21,精讲精练、创新,课后作业,已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,求a2=？,22,练习在等比数列an中，,且q=2，求a1和n.,23,A,练习:,24,若数列an的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是： ,an=2 n1,上式还可以写成,可见，表示这个等比数列 的各点都在函数 的图象上，如右图所示。,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,通项公式法:an= bcn,25,判断等比数列的方法:,1、(定义法)利用an / an-1是否是一个与n无关的常数,2、(通项公式法)判断an= bcn (bc 0 为常数),26,例、有三个数成等比数列，若它们的积 等于64，和等于14，求此三个数？,注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27， 它们的立方和为81，求这三个数。,2，4，8或者8，4，2,3，3，3,27,例、有四个数，若其中前三个数成等比数列， 它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们 的和等于12，求此四个数？,注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为,因为这种设法表示公比大于零！,练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。,可以设这四个数为a,b,c,d,15,9,3,1或0,4,8,16,答案：9，6，4，2,28,某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？,放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期,29,30,1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金（1+利率存期）,例如：存入10000元，利率为0.72%,特点：每一项与前一项的差是同一个常数,31,2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利） 本金和=本金（1+利率）存期,例如：存入10000元，利率为1.98%,特点：后一顶与前一项的比是同一个常数,32,33,结论：如果 是项数相同的等比数列，那么 也是等比数列,证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列,特别地，如果是 等比数列，c是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,34,探究,对于例中的等比数列 与 ，数 列 也一定是等比数列吗？,是,35,a若anbn是项数相同的等比数列，,都是等比数列,则anbn和,b若an是等比数列，c是不等于0的常数， 那么can也是等比数列,等比数列的性质,36,性质 : 在等比数列 中， 为公比， 若 且,那么：,等比数列的性质,特殊地:,37,小组展示任务分配表,典型例题：,除,38,小组展示任务分配表,典型例题：,变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成 等比数列,39,小组展示任务分配表,典型例题：,变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成 等比数列,40,小组展示任务分配表,典型例题：,例2、已知数列 的通项公式为 ,试问这个数列是 等比数列吗？为什么？,41,小组展示任务分配表,典型例题：,例2、已知数列 的通项公式为 ,试问这个数列是等比数列吗？为什么？,42,
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