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2.3 等差数列的前n项和,第二章 数列,目标定位,【学习目标】,1掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 2经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验 从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思； 3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中三个求另外两个,【重、难点】,重点：探索并掌握等差数列前n项和公式. 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得,学习目标和重难点,2,知识链接,在等差数列an中，若m+n=p+q，则aman_ . 特别地，若m+n=2p，则aman_.,apaq,2ap,3,自主探究,（一）要点识记,1. 教材推导等差数列前n项和的方法是：_ 2. 等差数列的前n项和公式是： （1）_； （2）_.,倒序相加法, = + () , = ( + ) ,4,新知探究,等差数列前n项和的性质,等差数列 的公差为，前n项和为 . （1）当 的项数为奇数 21 时， 21 =(21) ； 奇 偶 = ； 奇 偶 = +1 .,（二）深层探究,5,自主探究,（2）当 的项数为偶数 2 时， 2 = 1 + 2 = 2 + 21 = + +1 偶 奇 =； 偶 奇 = +1 . （3） ， 2 ， 3 2 也成等差数列，且公差为 2 .,（二）深层探究,6,典例突破,例1. 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”的工程通知某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,（一）等差数列的前n项和公式的应用,7,典例突破,【解析】依题意，从20012010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元. 建立一个等差数列an，表示从2001年起各年投入的资金， 其中，a1500，d50. 则到2010年(n10)，投入的资金总额为 10 =10500+ 10(101) 2 50=7250 (元) 从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250 万元,（一）等差数列的前n项和公式的应用,8,典例突破,【解题反思】如何建立等差数列模型？,答：建立等差数列的模型，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应,（一）等差数列的前n项和公式的应用,典例突破,（一）等差数列的前n项和公式的应用,9,典例突破,变式1. 一支车队有15辆车，某天依次出发执行运输任务. 第一辆车于下午2时出发，第二辆车于下午2时10分出发，第三辆车于下午2时20分出发，以此类推. 假设所有的司机都连续开车，并都在下午6时停下来休息. (1) 到下午6时，最有一辆车行驶了多长时间？ 如果每辆车的形式速度都是60 km/h，这个车队当天一共 行驶了多少km.,（一）等差数列的前n项和公式的应用,10,典例突破,【解析】(1) 依题意，从第2辆车到最后一辆车，每辆车都比前一辆车少行驶 1 6 小时. 建立等差数列an，用an表示第n辆车的行驶时间，则 1 =4，= 1 6 . 15 = 1 +14=4+14 1 6 = 5 3 (h)，即到下午6时， 最有一辆车行驶了 5 3 h.,（一）等差数列的前n项和公式的应用,11,典例突破,(2) 记 为到下午6时，所有车辆的形式时间，则 15 = 1 + 2 + 3 + 15 = 15 4+ 5 3 2 = ( 85 2 h) 记 为到下午6时，所有车辆的行驶路程，则 =60 =60 85 2 =2550（km） 这个车队当天一共行驶了2550 km.,（一）等差数列的前n项和公式的应用,12,典例突破,例2. 设等差数列 的公差为，前n项和为 . （1）若 8 = 1 2 11 +6，则 9 =_.,（二）等差数列前n项和性质的应用,【解析】由 8 = 1 2 11 +6得 2 8 11 =12，即 5 =12 9 =9 5 =108,13,变式2-1. 若 1 + +1 2 =0， 21 =38，则=_.,【解析】由 1 + +1 2 =0得 2 2 =0， 解得 =0（舍）或 =2. 21 = 21 =38 由得=10,（二）等差数列前n项和性质的应用,典例突破,14,（2）若 11 10 1， 有最大值，则当 取小正值时，=（） A10 B11 C19 D20,【解析】由“ 11 10 0，0得 19 0；由 11 0得 21 0； 由 10 + 11 0得 20 0. 故选C,C,（二）等差数列前n项和性质的应用,典例突破,15,再设等差数列 的前n项和为 . （3）若 S T = 5+2 +3 ，则 =_；,【解析】 = (2n1) (2n1) = S 21 T 21 = 103 2+2,变式2-3. 若 = 5+2 +3 ，则 S 5 T 5 =_；,【解析】 S 5 T 5 = 5 3 5 3 = 3 3 = 53+2 3+3 = 17 6, +, ,（二）等差数列前n项和性质的应用,典例突破,16,（4）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与 奇数项和之比为3227，则公差d =_.,【解析】由条件 奇 + 偶 =354 偶 奇 = 32 27 ，解得 偶 =192 奇 =162 由 偶 奇 =6得 =5,（二）等差数列前n项和性质的应用,典例突破,17,变式2-4. 已知 是等差数列，且其前四项的和为21，后四项 的和为67，且所有项的和为286，则其项数为_.,【解析】由题意 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 + =21+67=88 1 + = 88 4 =22 由 = ( 1 + ) 2 得 11=286，解得=26,（二）等差数列前n项和性质的应用,典例突破,18,【解析】将 1 = 5 6 ，= 1 6 ， S =5代入 = 1 + (1) 2 ， 得5= 5 6 + 1 2 ( 1 6 )，解得=15. = 5 6 + 151 1 6 = 3 2,例3. 已知等差数列an， 1 = 5 6 ，= 1 6 ， S =5，求 及 .,（三）等差数列前n项和中基本量的确定,典例突破,19,答：在这5个基本量中，知其三能求其二,（三）等差数列前n项和中基本量的确定,【解题反思】 在构成等差数列前n项和公式的5个基本量a1，d，n，an，Sn中，至少要知道几个才能求出其他的量？,典例突破,20,典例突破,变式3. 已知等差数列an，= 1 3 ，=37， =629， 求 1 及 .,【解析】将 = 1 3 ，=37， =629代入 = 1 + 1 ， = ( 1 + ) 2 ， 得 = 1 +12 37( 1 + ) 2 =629 ，解得 1 =11， =23.,（三）等差数列前n项和中基本量的确定,21,新知探究,（一）等差数列的前n项和公式,问题1. （1）等差数列an中，若 3 + 4 + 5 =60，则 4 =_； （2）等差数列an中，若 2 + 3 + 4 + 5 =60，则 3 + 4 = _； （3）等差数列an中，若 1 + 100 =101，你会求 1 + 2 + 3 + 100 的值吗？,22,新知探究,（一）等差数列的前n项和公式,【解析】 （1） 3+5=24 3 + 5 = 4 3 + 4 + 5 =3 4 =60 4 =20,（2） 2+5=3+4 2 + 5 = 3 + 4 2 + 3 + 4 + 5 =2 3 + 4 =60 3 + 4 =30,（3） 1+100=2+99=3+98=50+51 1 + 2 + 3 + 100 = 1 + 100 + 2 + 98 + 50 + 51 =50101=5050 .,23,新知探究,（一）等差数列的前n项和公式,（4）等差数列an中，若 1 + =，如何求 1 + 2 + 3 + + + 的值呢？,【解析】 1+=2+(1)=3+(2)= 2( 1 + 2 + 3 + ) = 1 + + 2 + 1 + 1 + 2 + + 1 = 1 + = 1 + 2 + 3 + = 2,24,新知探究,【解题反思】 问题1中的几个问题都是对等差数列“序号和相等，则项数和相等”这一性质的应用. 对称是求解（1）（2）（3）的主题思想，这一思想常用来研究等差数列前n项和的性质；求解（4）的方法称为倒序相加法.,（一）等差数列的前 n 项和公式,25,
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