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第2章 2.4.2 第1课时一、选择题(每小题5分，共20分)1已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A.B1C2 D4解析：圆的标准方程为(x3)2y216，圆心(3,0)到抛物线准线x的距离为4，1，p2，故选C.答案：C2边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2x Dy2x解析：当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y22px(p0)A，p，即p.y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2x.答案：B3已知抛物线y22px(p0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关系是()A相交 B相离C相切 D不确定解析：如图，|PP2|PP1|P1P2|(|MM1|FF1|)|P1P2|(|MM2|M1M2|FO|OF1|)P1P2(|MM2|OF|)|MM1|MF|，该圆与y轴相切答案：C4设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：y2ax(a0)的焦点坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0，得y.4，a264，a8，所以抛物线方程为y28x，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5抛物线的焦点与双曲线1的焦点重合，则抛物线的准线方程是_解析：在双曲线1中，a216，b29，c5，焦点坐标是F1(5,0)，F2(5,0)当抛物线焦点是F1(5,0)时，5，准线方程是x5；当抛物线焦点是F2(5,0)时，5，准线方程是x5，所以应填x5或x5.答案：x56已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_解析：如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意设AB的方程为yk(x1)(k0)，由，消去y得k2x2(2k24)xk20，xAxB1，又3，xA3xB4，解得xA3，xB，AB的中点M到准线的距离|MN|.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若OA4，求点A的坐标解析：由y24x，知F(1,0)点A在y24x上，不妨设A，则O，A.代入OA4中，得y(y)4，化简得y412y2640.y24或16(舍去)，y2.点A的坐标为(1,2)或(1，2)8已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y22px(p0)，则焦点F，直线l为yx.设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p，代入式得：3p6p，p.所求抛物线标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y23x.综上，抛物线方程为y23x.尖子生题库9(10分)已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解析：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，则x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4.所以|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.- 6 -
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