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7.5 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、柱面,四、二次曲面,三、旋转曲面,五、小结,1,水桶的表面、台灯的罩子面等.,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.,1、曲面方程的定义,曲面的实例:,一、曲面方程的概念,若曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足此方程;,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足此方程,则称方程 F( x, y, z ) = 0 为曲面 S 的方程, 而曲面 S 称 为方程 F ( x, y, z ) = 0 的图形.,2,2、常见曲面的方程,解,则由题意知,所求球面方程为,若球心在原点, 则球面方程为,例 1 建立球心在点 M0 (x0 , y0 , z0)、半径为 R 的球 面的方程.,设 M (x, y, z) 是球面上的任一点,即,3,则由题意知,所求平面方程为,解,例 2 设有点 A (1, 2, 3) 和 B (2, -1, 4), 求线段 AB 的垂直平分面的方程.,设 M (x, y, z) 为所求平面上的任一点,即,4,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面 的方程;,以上几例表明, 研究空间曲面有两个基本问题:,(2) 已知坐标 x、y 和 z 间的一个方程时, 研究这方 程所表示的曲面的形状.,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,5,例 3 方程 表示怎样的曲 面?,原方程可化为,解,原方程表示球心在点 M0 (1, -2, 0)、半径为 R = 的球面.,6,说明: 如下形式的三元二次方程,都可通过配方来研究它的图形,其图形可能是一个球面,或者点, 或者虚轨迹.,7,二、柱面,引例 方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解,表示圆 C,沿圆周 C 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为,故在空间,过此点作,圆柱面.,对任意 z, 点,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面.,在圆 C 上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,在 xOy 面上,8,播放,定义: 直线 L 沿定曲线 C 平行移动形成的轨迹称 为柱面. 定曲线 C 称为柱面的准线, 动直线 L 称为柱面 的母线.,观察柱面的形成过程:,9,柱面举例,抛物柱面,平面,10,柱面的特征:,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,只含 x、y 而缺 z 的方程 F (x, y) = 0 在空间直角 坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面, 其准线是 xOy 面上的曲线 C: F (x, y) = 0.,11,三、旋转曲面,定义: 以一条平 面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲 面,旋转曲线和定直线 分别称为旋转曲面的 母线和轴.,播放,12,设 M1(0, y1, z1)为曲线 C 上的任一点,设在 yOz 坐标面上有一已知曲线 C, 它的方程为,将这曲线绕 z 轴旋一周, 就得到一个以 z 轴为轴的旋转 曲面.,则有,当曲线 C 绕 z 轴旋转 时, 点 M1 (0, y1, z1) 绕 z 轴 转到另一点 M (x, y, z),13,这时,(1) z = z1;,(2) 点 M 到 z 轴的距离为,将 代入 f (y1 , z1) = 0, 得,这就是所求旋转曲面的方程.,14,同理, 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为,由此可知, 在曲线 C 的方程 f (y, z) = 0 中将 y 改成 , 便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的 方程.,15,例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面 的顶点, 两直线的夹角 ( ) 称为圆锥面的半 顶角. 试建立顶点在坐标原点 O, 旋转轴为 z 轴, 半顶 角为 的圆锥面的方程.,16,解,所求圆锥面的方程为,在 yOz 坐标面上, 直线 L 的方程为,旋转轴为 z 轴,或,其中 a = cot.,17,例 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求所生 成的旋转曲面的方程.,旋转双曲面,(1) 双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴;,若绕 x 轴旋转, 则得,若绕 z 轴旋转, 则得,18,旋转椭球面,旋转抛物面,(2) 椭圆 分别绕 y 轴和 z 轴;,若绕 y 轴旋转, 则得,若绕 z 轴旋转, 则得,(3) 抛物线 绕 z 轴.,若绕 z 轴旋转, 则得,19,四、二次曲面,三元二次方程 F (x, y, z) = 0 所表示的曲面称为二 次曲面.,相应地, 平面被称为一次曲面.,1、二次曲面的定义,其基本类型:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面.,2、研究二次曲面性状的截痕法,平面 z = t 与曲面 F (x, y, z) = 0 的交线称为截痕. 通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕 法.,20,1、椭球面,(1) 范围,由方程可知,即,这说明椭球面包含在由平面 x = a, y = b, z = c 围 成的长方体内.,21,椭圆,(2) 椭球面与三个坐标面的交线:,22,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,(3) 截痕:,同理, 椭球面与平面 x = x1 和 y = y1 的交线为椭圆,椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆,23,椭球面的几种特殊情况:,(旋转椭球面),由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为, 若 a = b, 则椭球面变为,24,(球面),截面上圆的方程,方程可写为, 若 a = b = c, 则椭球面变为,旋转椭球面与椭球面的区别:,与平面 的交线为圆,25,2、抛物面,原点也叫椭圆抛物面的顶点., 用坐标面 xOy (z = 0) 与曲面相截, 得坐标原点 O (0, 0, 0).,与平面 z = z1 (z1 0) 的交线为椭圆,与平面 z = z1 (z1 0) 不相交.,(1) 椭圆抛物面,当 z1 变动时, 这种椭圆的中心都在 z 轴上.,26, 用坐标面 xOz (y = 0) 与曲面相截, 得抛物线,与平面 y = y1 的交线为抛物线,它的轴平行于 z 轴,顶点为, 用坐标面 yOz (x = 0), 平面 x = x1 与曲面相截, 均可得抛物线.,27,综上所述, 椭圆抛物面的图形如下:,28,特别地, 当 a = b = 时, 方程变为,旋转抛物面,由 zOx 面上的抛物线 x 2 = 2pz 绕它的轴旋转而成的.,与平面 z = z1 (z1 0) 的交线为圆,当 z1 变动时, 这种圆的中心都在 z 轴上.,29,双曲抛物面又称马鞍面,也可用截痕法讨论, 其图形如下:,(2) 双曲抛物面,30,3、双曲面, 用坐标面 xOy (z = 0) 与曲面相截, 得中心在原点 O (0, 0, 0) 的椭圆,与平面 z = z1 的交线为椭圆,(1) 单叶双曲面,当 z1 变动时, 这种椭圆的中心都在 z 轴上.,31,实轴与 轴相合, 虚轴与 轴相合., 用坐标面 xOz (y = 0) 与曲面相截, 得中心在原 点 O (0, 0, 0) 的双曲线,与平面 y = y1 (y1 b) 的交线为双曲线,双曲线的中心都在 轴上.,32,则截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线,(i) 若 | y1 | b,则实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行;,(ii) 若 | y1 | b,则实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行;,(iii) 若 | y1 | = b,33,综上所述, 单叶双曲面的图形如下:,平面 x = a 与曲面的截痕是两对相交直线., 用坐标面 yOz (x = 0), 平面 x = x1 与曲面相截, 均可得双曲线.,34,(2) 双叶双曲面,35,1、曲面方程的概念,2、柱面的概念 (母线、准线).,3、旋转曲面的概念及求法.,五、小结,4、椭球面、抛物面、双曲面、锥面、截痕法.,（熟知这几个常见曲面的特性）,36,思考题一,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何 中分别表示什么图形？,37,思考题一解答,平面解析几何中,空间解析几何中,方程,平行于 y 轴的直线,平行于 yOz 面的平面,圆心在 (0, 0), 半径 为 2 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,斜率为 1 的直线,平行于 z 轴的平面,38,思考题二,方程,表示怎样的曲线？,39,思考题二解答,表示双曲线.,40,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,41,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,42,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,43,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,44,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,45,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,46,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,47,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,48,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,49,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,50,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,51,三、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,
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