四川省成都龙泉驿区高三 5月数学学科押题试卷（理）

四川省成都龙泉驿区2013届高三 5月数学学科押题试卷（理）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|xa(1)i(aR，i是虚数单位)，若AR，则aA1 B1 C1 D02为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为1718岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在56.5，64.5的学生人数是A40B400C4000 D44003. 对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有A0个B1个 C2个 D3个4.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1上的图像，则A3B2C1 D05若如下框图所给的程序运行结果为S20，那么判断框中应填入的关于k的条件是Ak9 Bk8Ck8 Dk86各项均为正数的等比数列的前n项和为，若2，14，则等于A80 B30 C26 D167二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A180 B90 C45 D3608如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值为A3 B. C2 D.9已知抛物线C的方程为，过点A(0，1)和点B(，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是A(，1)(1，) B(，)(，)C(，2)(2，) D(，)(，)10. 若矩阵满足下列条件：每行中的四个数所构成的集合均为1，2，3，4；四列中至少有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为A.48 B.72 C.168 D.312二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.11.已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_12已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆4在区域D内的弧长为_13.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为_cm2.14.直线axbyc0与圆9相交于两点M、N，若c2a2b2，则 (O为坐标原点)等于_15.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是_三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. (本小题满分12分）已知a2(，)，b(，)(其中01)，函数ab，若直线是函数图象的一条对称轴()试求的值；()若函数y的图象是由y的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，求y的单调递增区间17. (本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234设随机变量表示密码中不同数字的个数()求P(2)； ()求随机变量的分布列和它的数学期望18. (本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，3，前项和为，等比数列中，1，64，是公比为64的等比数列()求与； ()证明：b0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(，0)，且其短轴上的一个端点到F的距离为.()求椭圆C的方程和其“准圆”方程；()点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由21. (本小题满分14分）已知函数，为自然对数的底数）.()当时,求的单调区间；()若函数在上无零点,求最小值；()若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.参考答案1.【答案】C 【解析】因为AR，所以A中的元素为实数所以10.即a1.故应选C.2.【答案】C 【解析】依题意得，该地区高三男生中体重在56.5，64.5的学生人数是10000(0.0320.050.07)24000. 故应选C.3.【答案】B 【解析】中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面中条件一定能推出三条直线共面故只有是空间中三条不同的直线共面的充分条件故应选B.4.【答案】A 【解析】由于是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(67031)f(67131)f(1)f(1)，而由图像可知f(1)1，f(1)2，所以123. 故应选A.5.【答案】D 【解析】据算法框图可得当k9时，S11；k8时，S11920.所以应填入k8. 故应选D.6.【答案】B 【解析】设a，b，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以b30. 故应选B.7.【答案】A 【解析】因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n10，令50，则r2，180. 故应选A.8.【答案】B 【解析】(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得.故应选B.【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以的值不随M、N的位置变化而变化.9.【答案】D 【解析】据已知可得直线AB的方程为1，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得10，由于直线与抛物线无公共点，即方程10无解，故有8或.故应选D.10. 【答案】C 【解析】若恰有两列的上下两数相同，取这两列有种，从1，2，3，4中取2个数排这两列，有种，排另外两列有种，所以共有=144种；若恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同，有=24种(只要排其中一行即可). 故一共有144+24=168种. 故应选C.11.【答案】(4，8)【解析】由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)12.【答案】 【解析】作出可行域D及圆4如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求易知图中两直线的斜率分别是，得，1得得弧长2 (为圆半径)13.【答案】2【解析】由俯视图可得，该正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，该正方体的棱长为2，正四面体的主视图为三角形，则其面积为2(cm2)14.【答案】7【解析】记、的夹角为.依题意得，圆心(0，0)到直线axbyc0的距离等于1，121，37.15.【答案】4【解析】方法一取ab1，则，由余弦定理得c2a2b2，所以c，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得，又，所以4.方法二由6cos C，得6，即a2b2c2，所以tan C4.16. 解() ab2(，)(，)1cos 2xsin 2x12sin. 2分因为直线x为对称轴，所以sin1，所以k(kZ)所以k(kZ)4分因为01，所以k，所以k0，所以.6分()由()得，得12sin，所以12sin12sin12cos x. 8分由2kx2k(kZ)，得4k2x4k(kZ)，10分所以的单调递增区间为4k2，4k(kZ)12分17. 解：()密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码所以P(2).4分()由题意可知，的取值为2，3，4三种情形若3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.所以P(3).6分P(4). 8分所以的分布列为：234P8分所以E()234.12分18. 解：()设的公差为，为正数，的公比为，则3(1)，. 2分依题意有，由知为正有理数，4分又由知，d为6的因数1，2，3，6之一，解之得2，8.故1，. 6分()证明：由()知Snn(n2)，7分0)，所以AB. 7分()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等设G(0，m,0)(其中0m4t)则(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m； 由|，得(4tm)2m2t2. 由、消去t，化简得m23m40. 由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等12分解法二：()同解法一：()()以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD，在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t.所以E(0,3t,0)，C(t,3t,0)，D(0,4t,0)(1,1,0)，(0,4t，t)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由n，n，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)，又(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos60，即，解得t或t4(舍去，因为AD4t0)，所以AB.()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等由GCGD，得GCDGDC45，从而CGD90，即CGAD，所以GDCDcos451.设AB，则AD4，AGADGD3.在RtABG中，GB 1，这与GBGD矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B，C，D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等20. 解：()由题意可知c，b2c2()2，则a，b1，所以椭圆方程为y21. 2分易知准圆半径为2，则准圆方程为x2y24. 4分()当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x，当l1的方程为x时，此时l1与准圆交于点(，1)，(，1)，此时经过点(，1)或(，1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y1或y1，即l2为y1或y1，显然直线l1，l2垂直；6分同理可证直线l1的方程为x时，直线l1，l2也垂直7分当l1，l2的斜率都存在时，设点P(x0，y0)，其中xy4.设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为yt(xx0)y0，由消去y，得(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230.由0化简整理得，(3x)t22x0y0t1y0. 因为xy4，所以有(3x)t22x0y0tx30. 10分设直线l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆只有一个公共点，所以t1，t2满足方程(3x)t22x0y0tx30，所以t1t21，即l1，l2垂直12分综合知，l1，l2垂直 13分21.解：()当时, ()，则. 1分由得；由得. 3分故的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，). 4分()因为在区间上恒成立是不可能的, 5分故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.即对，恒成立. 6分令，则，再令，则.故在为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，8分故要使恒成立，只要.综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.9分()，所以在上递增，在上递减.又，所以函数在上的值域为.10分当时，不合题意；当时， .当时，由题意知，在上不单调，故，即11分此时，当变化时，的变化情况如下：0+最小值又因为当时，所以，对任意给定的，在上总存在两个不同的），使得成立，当且仅当满足下列条件：， 12分令，则，故当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，对任意的，有，即(2)对任意恒成立，则(3)式解得 (4) . 13分综合(1)与(4)可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的），使得成立.14分15