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第7讲 离散型随机变量的均值与方差A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ()A. B. C. D2解析由题意，知a012351，解得，a1.s22.答案D2签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为 ()A5 B5.25 C5.8 D4.6解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)5.25.答案B3若p为非负实数，随机变量的分布列为012Ppp则E()的最大值为()A1 B. C. D2解析由p0，p0，则0p，E()p1.答案B4(2013广州一模)已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E()，D()分别是()A6和2.4 B2和2.4 C2和5.6 D6和5.6解析由已知随机变量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为_解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.答案0.4(2013温州调研)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X1012Pabc解析由题意知解得答案三、解答题(共25分)7(12分)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数(1)求方差D(X)的最大值；(2)求的最大值解随机变量X的所有可能的取值是0.1，并且有P(X1)p，P(X0)1p.从而E(X)0(1p)1pp，D(X)(0p)2(1p)(1p)2ppp2.(1)D(X)pp22.0p1，当p时，D(X)取最大值，最大值是.(2)2.0p1，2p2.当2p，即p时取“”因此当p时，取最大值22.8(13分)(2013汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)X的分布列为X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D(X)，得a22.7511，即a2.又E()aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()A. B. C. D.解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值为，故选D.答案D2(2012上海)设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2)DD(1)与D(2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解析利用期望与方差公式直接计算E(1)0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2(x1x2x3x4x5)E(2)0.20.20.20.2(x1x2x3x4x5)E(1)E(2)，记作，D(1)0.2(x1)2(x2)2(x5)20.2xxx522(x1x2x5)0.2(xxx52)同理D(2)0.22225 2.2，2，222D(2)答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E()，则D()的值是_解析根据已知条件：解得：a，b，c，D()222.答案4(2013滨州一模)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E()_.解析当l的斜率k为2时，直线l的方程为2xy10，此时坐标原点到l的距离d；当k为时，d；当k为时，d；当k为0时，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()1.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2013大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0a1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望；(2)在概率P(i)(i0,1,2,3)中，若P(1)的值最大，求实数a的取值范围解(1)P()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0,1,2,3.P(0)(1a)2(1a)2，P(1)(1a)2a(1a)(1a)a(1a2)，P(2)a2(1a)aa(1a)(2aa2)，P(3).所以的分布列为0123P(1a)2(1a2)(2aa2)的数学期望为E()0(1a)21(1a)22(2aa2)3.(2)P(1)P(0)(1a2)(1a)2a(1a)，P(1)P(2)(1a2)(2aa2)，P(1)P(3)(1a2)a2.由及0a1，得0a，即a的取值范围是.6(13分)(2013福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位：万元)为.(1)求的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率解(1)由于1件产品的利润为，则的所有可能取值为6,2,1，2，由题意知P(6)0.63，P(2)0.25，P(1)0.1，P(2)0.02.故的分布列为6212P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E()60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E()60.72(10.7x0.01)1x(2)0.014.76x.由E()4.73，得4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
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