随机变量的数字特征ppt课件

第四章 随机变量的数字特征,4.1 数学期望,2,4.1 数学期望,布莱士帕斯卡,两个赌徒甲、乙向他提出了一个问题：甲乙两个人赌博，两人获胜的机率相等，约定谁先赢满5局，谁就获得100法郎。甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？,甲的期望所得值就是00.25+1000.75=75 乙的期望所得值就是00.75+1000.25=25,一、数学期望的由来,设X为甲获得的法郎，Y为乙获得的法郎,3,4.1 数学期望,二、离散型随机变量的数学期望,定义：设离散型随机变量X的分布律为 P(X=xk) =pk, k=1,2, 若级数 绝对收敛，则称级数 为随机 变量X的数学期望，记为E(X),即,4,4.1 数学期望,关于定义的几点说明,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,5,4.1 数学期望,例1：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,6,4.1 数学期望,例2：某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。,8:10 8:30 8:50 到站时刻 9:10 9:30 9:50 概率,7,4.1 数学期望,例3：,8,4.1 数学期望,三、连续型随机变量的数学期望,9,4.1 数学期望,例4：,10,例5：设X的概率密度为 求 解：,4.1 数学期望,11,4.1 数学期望,几种重要分布的数学期望,12,4.1 数学期望,四、随机变量函数的数学期望,1. 离散型随机变量函数的数学期望,若 Y=g(X), 且,则有,13,4.1 数学期望,例6 设,X,-2 0 2,0.4 0.3 0.3,P,则 E(X)=-20.4+00.3+20.3=-0.2,E(X 2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8,E(3X 2+5)= 3E(X 2) +5=13.4（思考）,14,4.1 数学期望,2. 连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型r.v, 其密度为 f (x) , 则g(X)的期望为,15,例7：,4.1 数学期望,16,4.1 数学期望,1. 设 C 是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证明,例如,五、数学期望的性质,17,4.1 数学期望,4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有,一般地， E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),18,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,4.1 数学期望,六、小结,19,4.2 方差,20,4.2 方差,现有两批灯泡，第一批灯泡寿命为:一半约950小时,另一半约1050小时,平均寿命为1000小时;第二批灯泡寿命为一半约1300小时,另一半约700小时,平均寿命为1000小时。 问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定),单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。,21,4.2 方差,一、 方差的定义,1、方差是一个特殊的函数 g(X) =X-E(X)2 的期望； 2、方差用来度量随机变量与其数学期望（即均值） 的偏离程度。,22,4.2 方差,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,二、方差的计算,(1) 利用定义计算,23,4.2 方差,证明,(2) 利用公式计算,24,4.2 方差,证明,三、方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,25,4.2 方差,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,注：相互独立时，乘积的期望等于期望的乘积。,26,4.2 方差,综上：设 X, Y 相互独立, E(X),E(Y),D(X), D(Y) 存在, a,b,c是常数,则,注意：对任意的随机变量X、Y都有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),27,例1：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：,解：,4.2 方差,28,4.2 方差,例2：,解：,29,4.2 方差,解,例3：,30,4.2 方差,解,例4：,于是,31,4.2 方差,解,例5：,32,4.2 方差,33,4.2 方差,34,4.2 方差,35,4.2 方差,契比雪夫不等式,36,4.2 方差,四、小结,1. 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量.,2. 方差的计算公式,37,