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一、概率的统计定义,二、概率的公理化定义,三、概率计算,3.1.2事件的概率,通常，我们认为概率是事件出现的可能性大小。,如果事件一定出现，则它的概率为1；,如果事件肯定不出现，则它的概率为0。,一次投掷硬币掷出正面的可能性大小是？,方法一：根据对称性。,方法二：反复做试验，统计频率。,实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率f呈现出稳定性,一、概率的统计定义,从上述数据可得,抛硬币次数n较小时,频率的随机波动幅度较大,但随着n的增大,频率呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.,重要结论,频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件A的概率记作P(A)。,二、概率的公理化定义及其基本性质,定义,设E是随机试验,其样本空间为,对于E的每一,若满足下列三个条件:,1.对每一个事件A,有,3.若,是两两互不相容的事件，,个事件A赋予一个实数,记为P(A),则称,为事件A的概率.,则有,概率的性质,解,若随机试验满足：,三、概率的计算,（等概性）每个基本事件发生的可能性相同;,（有限性）所有可能的试验结果（基本事件）只有有限个;,古典概型,1、古典概型,2、概率的古典定义,在古典概型中,A为任意一个事件，则,3.古典概率的计算,例1摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,古典概型之一：摸球模型,基本事件总数,例1摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,所求事件中包含的基本事件总数,例1摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,古典概型之二：取次品模型,有10件产品，其中3件次品，无放回地取出3件，求：（1）这三件产品全是正品的概率；（2）这三件产品恰有2件次品的概率；（3）这三件产品至少有一件次品的概率。,(1)基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,(2)基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,“至少”一类的问题都可以转化为先求对立事件。,小贴士,(3),所求事件与(1)中事件互为对立事件,古典概型之三：生日问题模型,某班有n个学生，设一年365天,则至少有两人生日相同的概率是多少?,至少有两人生日相同的概率为,每个人生日都不相同的概率为,古典概率模型之四：抽签问题（抽签的公平性）,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。,基本事件总数,A事件中包含的基本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外9个学生抽取剩下9张,3.1.3条件概率与事件的独立性,一、条件概率,二、全概公式,三、事件的独立性,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.,A=第1个抽签的学生抽到入场券B=第2个抽签的学生抽到入场券,若A已发生,则B发生的概率为:,若A不发生,则B发生的概率为:,以上事件B发生的概率有什么不同的意义?,条件概率,一、条件概率,在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加条件下求事件的概率.,如在事件A发生的条件下,求事件B发生的概率，由于增加了新的条件：“事件A已发生”，所以称之为条件概率，记作,抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况，此随机试验的样本空间为：,正正，正反，反正，反反,B=正正，正反，反正,A=正正，反反,引例：抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况。设事件B为“至少有一次为正面”，事件A为“两次抛出为同一面”。求,故,事件B发生后，样本空间变为,正正，正反，反正,压缩样本法,条件概率定义（条件概率和原概率的关系）,计算条件概率的方法,a)在缩减的样本空间B中求事件A的概率,b)在总的样本空间中,先求事件P(A)和P(AB),再按定义计算,例如:在抛掷骰子的试验中,记事件A=2点,B=偶数点,在宿减的样本空间中A所含的样本点数,B发生后的缩减样本空间所含样本点数,袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？,解列表,设A为任取一球，取得木球，B为取得白球.,解,1、压缩样本空间法,原样本空间的样本点总数10，B发生后，样本空间压缩后，样本点总数7，A事件所含样本点数4,设A表示任取一球，取得木球；B表示任取一球，取得白球.,P(A)=,P(B)=,P(AB)=,例：一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验2件，若2件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解：,A=第一次抽到正品B=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为AB,例：一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件，若3件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解：,A=第一次抽到正品B=第二次抽到正品,C=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为ABC,二、全概公式,例：皇上给囚犯出了个难题：给他两个碗，一个碗里装50个小黑球，另一个装50个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，让他选一个碗，并从碗里拿出一个球。如果是黑色的，就要继续关监狱，如果是白色的，就重获自由。但是蒙住眼睛之前，允许用任何方式把球进行混合。如果你是囚犯，怎么混合？,解：,如果不混合，则挑一个碗拿出一个白球的几率是1/2.,如果把所有的球混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，则重获自由的几率是？,A=取出的是白球Bi=从第i个碗中取球,因为取出的是白球，它可能是第一个碗中取出的，也可能是第二个碗中取出的，故A=AB1AB2,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.,A=第1个人抽到入场券B=第2个人抽到入场券,敌方军事目标被炸中的概率,有三架飞机去执行轰炸敌方某军事目标的任务。其中一架主机上装有导航设备，另外两家僚机若离开主机，则无法单独到达目的地。一旦到达目的地之后，各飞机将独立执行轰炸任务。这时各飞机能完成炸中目标任务的概率都是0.3。但是飞临目的地之前各飞机都必须经过敌方的高射炮阵地上空，而每架飞机被高射炮集中的概率为0.1。求敌方某军事目标能被炸中的概率。,三、事件的独立性,则有,引例,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A表示“抽到K”,B表示“抽到的牌是黑色的”,求,A的发生并不影响B发生的可能性的大小,B的发生并不影响A发生的可能性的大小,如果两个事件A和B，其中任何一个是否发生，都不影响另一个发生的概率，则称A，B相互独立。,从直观上讲，,说明：,在实际中，两个事件是否独立，是根据实际意义来判断的。如,甲乙两人同时向一目标射击，彼此互不影响，（1）“甲击中”与“乙击中”，（2）“甲击不中”与“乙击中”，（3）“甲击中”与“乙击不中”（4）“甲击不中”与“乙击不中”,这四组事件都是相互独立的。,定义：,若两事件A，B满足,则称A，B独立，或称A，B相互独立.,1、设P(AB)=0,则()A、A和B独立B、A和B不相容C、P(A)=0或P(B)=0D、P(A-B)=P(A)-P(B),课堂练习：,A、B相互独立,A、B互斥,两事件相互独立与互斥的关系,说明：,A、B相互独立，其实质是事件A发生的概率与事件B是否发生无关；,A、B互不相容，实质是事件A的发生，必然导致事件B的不发生，从而事件B发生的概率与事件A是否发生密切相关。,例：设甲乙两射手彼此独立地向同目标射击一次，已知他们命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率。,解：设A=甲击中目标B=乙击中目标，则P(A)=0.9，P(B)=0.8。,
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