《定积分在几何、物理中的应用》参.ppt

1.7.1定积分在几何中的应用,一.定积分的几何意义是什么？,1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。,曲边梯形的面积,复习引入,曲边梯形的面积的负值,2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,二、微积分基本定理内容是什么？,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则，,这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).,例1计算由曲线y2=x，y=x2所围图形的面积S。,分析首先画草图（1.7-1）.从图中可以看出，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积S。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。,解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:,即两曲线的交点为(0,0),(1,1),直线y=x-4与x轴交点为(4,0),解:作出y=x-4,的图象如图所示:,点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,定积分在几何中的应用,1.求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.,解:,求两曲线的交点:,8,2,解:,求两曲线的交点:,于是所求面积,思考题：在曲线y=x2(x0)上某点A处作切线,使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。求过点A的切线方程.,三.小结,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限),(3)确定积分变量及被积函数;,(4)列式求解.,设物体运动的速度v=v(t)(v(t)0)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,一、变速直线运动的路程,解：由速度时间曲线可知：,二、变力沿直线所作的功,1、恒力作功,2、变力所做的功,问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:,例2如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L米处，求克服弹力所作的功,解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力（x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比,即：F(x)=kx,所以据变力作功公式有,L,1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求F(x)所作的功.,练一练,40,2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在35s间行进的路程.,解,所求功为,