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- 1 - 绝密启封并使用完毕前 试题类型：A 2015 全国高考数学试题及答案（纯 word 版） 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 新课标 1 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1） 设复数 z 满足 1+=i，则|z|= （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 【答案】A （2）sin20cos10-con160 sin10= （A） 32 （B ） 32 （C） 12 （D） 【答案】D 【解析】原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30= ，故选 D. （3）设命题 P： nN， 2 n，则 P 为 （A） n N, （B） nN, 2 n （C） n N, 2 n （D） n N, = - 2 - 【答案】C 【解析】 p: 2,nN，故选 C. （4）投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试。已知某同学每次 投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概 率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 2330.64.C=0.648， 故选 A. （5）已知 M（x 0， y0）是双曲线 C： 21xy 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个 焦点，若 1F 2 0，则 y0 的取值范围是 （A） （- 3， ） （B） （- 36， ） （C ） （ 2， ） （D） （ 2， ） 【答案】A （6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米 堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 - 3 - A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【答案】B 【解析】 设圆锥底面半径为 r，则 12384r= 16，所以米堆的体积为 2163()54=3209 ，故堆放的米约为 091.6222，故选 B. （7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则 （A） = + (B) = （C ） = + (D) = 【答案】A 【解析】由题知 11()33ADCABCAB= 143AC， 故选 A. (8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k (D)（ ）,k - 4 - 【答案】B （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C - 5 - （10 ） 的展开式中， y的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D ）60 【答案】A 【解析】在 25()xy的 5 个因式中，2 个取因式中 2x剩余的 3 个因式中 1 个取 x，其余 因式取 y,故 5的系数为 13=30，故选 A. （11 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r= （A）1（B）2 （C）4（D）8 【答案】B 【解析】 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 - 6 - r，圆柱的高为 2r，其表面积为 2214rr= 254r=16 + 20， 解得 r=2，故选 B. 12.设函数 ()fx= 2)eax,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 0()fx 0，则 a的取值范围是（ ） A.- ，1） B. - ， ） C. ， ） D. ，1） 【答案】D 第 II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分 （13）若函数 f(x)=xln（x+ 2ax）为偶函数，则 a= 【答案】1 【解析】由题知 2ln()y是奇函数，所以2ln()xaxa - 7 - = 2ln()ln0axa，解得 a=1. （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x轴上，则该圆的标准 方程为 。 【答案】 235()4xy 【解析】设圆心为（ a，0） ，则半径为 4|a，则 22(|)|a，解得2a ，故圆的方程为 235()xy. （15）若 x,y满足约束条件 则 yx的最大值为 . 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， yx是可行域内一点 与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最大 值为 3. - 8 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数 学（理工类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1、 已知集合 A= ,B= ，则1,23, A、A=B B、A B= C、A B D、B A 2、在等差数列 中，若 =4， =2，则 =na24a6 A、-1 B、 0 C、1 D、6 3、重庆市 2013 年各月的平均气温（ ）数据的茎叶图如下：oC - 9 - 则这组数据的中位数是 A、19 B、20 C、21.5 D、23 4、 “x1”是“ （x+2）0,b0）的右焦点为 1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两 21xyab 点，过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 ，则2ab 该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 A、 （-1,0） （0,1） B、 （- ，-1） （1，+ ） C、 （- ，0） （0， ） D、 （- ，- ）22 2 （ ，+ ） 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上. 11、设复数 a+bi（a，b R）的模为 ，则（a+bi ） （a-bi）=_.3 12、 的展开式中 的系数是_( 用数字作答). 5312x8x 13、在 ABC 中，B= ，AB= ，A 的角平分线 AD= ,则 AC=_.:0o23 - 11 - 考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前 两题给分. 14、如题（14）图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线 交于点 P，若 PA=6，AE=9， PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=_. 15、已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为1xy 极轴建立坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，则直线 l 与235cos4(0,)4 曲线 C 的交点的极坐标为_. 16、若函数 f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5，则实数 a=_. 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 13分， （I）小问 5分， （II）小问 8分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽 3个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3个。 （I）求三种粽子各取到 1个的概率； （II）设 X表示取到的豆沙粽个数，求 X的分布列与数学期望 （18） （本小题满分 13分， （I）小问 7分， （II）小问 6分） 已知函数 2sinsi3cos2fxxx （I）求 的最小正周期和最大值；f （II）讨论 在 上的单调性.fx,63 （19） （本小题满分 13分， （I）小问 4要， （II）小问 9分） 如题（19）图，三棱锥 中， 平面 分别PABC,3,.,2ABCPBDE 为线段 上的点，且,ABC2,2.DE （I）证明： 平面PD （II）求二面角 的余弦值。C （20） （本小题满分 12分， （I）小问 7分， （II）小问 5分） - 12 - 设函数 23xafRe （I）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点f0ayfx 处的切线方程；1,f （II）若 在 上为减函数，求 的取值范围。fx3, （21） （本小题满分 12分， （I）小问 5分， （II）小问 7分） 如题（21）图，椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线 210yab12,F 交椭圆于 两点，且,PQ1PF （I）若 求椭圆的标准方程12, （II）若 求椭圆的离心率 .e （22） （本小题满分 12分， （I）小问 4分， （II）小问 8分） 在数列 中，na21113, 0naN （I）若 求数列 的通项,na 公式； （II）若 证0021,1,k 明： 010023ka 版权所有：高考资源网() - 16 - - 17 - - 18 - - 19 - 江 苏 一. 填空题 （1 ） 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_.123A， ， 45B， ， AB - 20 - （2 ） 已知一组数据 4，6，5，8 ，7，6，那么这组数据的平均数为_. （3 ） 设复数 z 满足 （i 是虚数单位） ，则 z 的模为_.23 （4 ） 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为_. （5 ） 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球， 1 只红球，2 只黄球，从中一 次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_. （6 ） 已知向量 =（2,1） ， =（1，-2） ，若 =（9，-8 ） （m，n R） ，则 m-n 的值avbanbv 为_. （7 ） 不等式 的解集为_.24x 8.已知 ， ，则 的值为_.tan1ta7tan 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新 的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的xOy)0,1( )(01Rmymx 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列 满足 ，且 （ ） ，则数列 前 10 项的和为 na11nan*Nna 。 12.在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线xOyP12yxP 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 。01yx 13.已知函数 ， ，则方程 实根的个数|ln)(xf1,2|4|0)(xg 1|)(|xgf 为 。 14.设向量 ，则 的值为 ),0)(6cossi,6(cokkak 1201)(kka 。 - 21 - 15.在 中，已知ABCV2,3,60.ACo (1)求 BC 的长； （2 ）求 的值。sin 16.如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为 D，1B1,BCAB11.BCE 求证：（1） 1/DAC平 面 (2) 1 （17 ） （本小题满分 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的 交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点12l， M 到 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，l， 12， 以 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数12， （其中 a，b 为常数）模型.yx - 22 - （I）求 a，b 的值； （II）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数解析式 ，并写出其定义域；ft 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. （18 ） （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且右 210 xyab2 焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （1 ） 求椭圆的标准方程； （2 ） 过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C ，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 19. 已知函数 。),()(23Rbaxf （1 ）试讨论 的单调性； （2 ）若 （实数 c 是与 a 无关的常数） ，当函数 有三个不同的零点时，a 的取值acb)(xf - 23 - 范围恰好是 ，求 c 的值。),23(),1,( 20.设 是各项为正数且公差为 d 的等差数列1234,a(0) （1 ）证明： 依次构成等比数列；3124,a （2 ）是否存在 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由；1d2341,a （3 ）是否存在 及正整数 ，使得 依次构成等比数列？并说明,ank35124,nknka 理由。 附加题 U.（选做题）本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （1 ） 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图，在 中， ， 的外接圆 O 的弦 交 于点 DeAEBC 求证： ABD:E B、 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知 ，向量 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，矩阵Ryx, 101yxA2 以及它的另一个特征值。A - 24 - C.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆 C的极坐标方程为 ，求圆 C的半径.2sin()40 D选修 4-5：不等式选讲 解不等式 |23|x 22.如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形，PABCDPABCDABC ,2ABC2,1 (1)求平面 与平面 所成二面角的余弦值； （2 ）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 23.已知集合 ，设*1,23,.,()nXYnN ，令 表示集合 所含元素的个数.(,)|nSabaXb整 除 或 除 fnS （1）写出 的值；6f （2）当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明。()fn - 25 - - 27 - - 28 - - 29 - - 30 - - 31 - - 32 - 2015 年普通高等学校全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑 色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的 - 33 - 答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。 4 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10个小题；每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的。 （1）设 i 是虚数单位，则复数 21i在复平面内所对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （A） ycosx （B） ysinx （C） ynlx （D） 21yx 【答案】A 【解析】 （3）设 :12,:1xpq，则 p 是 q 成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 - 34 - 【答案】A 4、下列双曲线中，焦点在 y轴上且渐近线方程为 2yx的是（ ） （A） 21yx （B） 214x （C） 214yx （D） 24 【答案】C 【解析】 5、已知 m， n是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 （B）若 ， 平行于同一平面，则 m与 n平行 （C）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 （D）若 m， n不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 【答案】D - 35 - 6、若样本数据 1x， 2， ， 10 x的标准差为 8，则数据 12x， 2， ， 10 x的 标准差为（ ） （A） 8 （B） 5 （C） 6 （D） 32 【答案】C - 36 - 7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） 13 （B） 23 （C） 2 （D） 【答案】B 【解析】 8、 CA是边长为 2的等边三角形，已知向量 a， b满足 2aA， Cb，则下 列结论正确的是（ ） （A） 1b （B） ab （C） 1 （D） 4 【答案】D - 37 - 9、函数 2axbfc的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A） 0a， b， 0c （B） 0a， b， 0c （C） ， ， （D） ， ， 【答案】C 10、已知函数 sinfxxA（ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当23x 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） - 38 - （A） 20fff （B） 02fff （C） 2 （D） 【答案】A 【解析】 第二卷 二填空题 11. 371()x的展开式中 3x的系数是 （用数字填写答案） 【答案】 5 【解析】 - 39 - 12.在极坐标中，圆 8sin上的点到直线 ()3R距离的最大值是 【答案】 6 【解析】 13.执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n为 - 40 - 【答案】 4 【解析】 14.已知数列 na是递增的等比数列， 24239,8aa，则数列 na的前 项和等于 【答案】 21 【解析】 15. 设 30 xab，其中 ,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1), ； (2)3,； ()3,2b； (4)0,2ab; (5)1,2ab. 【答案】 【解析】 - 41 - 三.解答题 16.在 ABC中， ,6,324ABC,点 D 在 BC边上， ABD，求 的长。 【答案】 10 【解析】 - 42 - 17.已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元） ，求 X 的分布列和均值（数学期望） 【答案】 （1） 30；（2） 5 【解析】 - 43 - （18） （本小题 12 分） 设 *nN， nx是曲线 231nyx在点 (2)， 处的切线与 x 轴交点的横坐标， （1）求数列 的通项公式； （2）记 2131nnTx ，证明 4nT. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 - 44 - 19.如图所示，在多面体 1ABDC，四边形 1AB， 1,DABC均为正方形，E 为 1BD的中点，过 ,E的平面交 于 F （1）证明： 1/F (2)求二面角 AB余弦值. - 45 - 【答案】 （1） 1/EFBC；（2） 63 【解析】 - 46 - （20） （本小题 13 分） 设椭圆 E 的方程为 210 xyab ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 0a， ，点 B 的坐标为 0b， ，点 M 在线段 AB 上，满足 2BM，直线 OM 的斜率为 51. （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为 b， ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐 标为 72，求 E 的方程. 【答案】 （1） 5；（3） 2149xy 【解析】 - 47 - 21.设函数 2()fxab. （1）讨论函数 sin2在 (-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记 200 0()(sin)(si)fxfxf求 函 数 在 2(-,)上的最大值 D； （3）在（2）中，取 2,D14aabz求 满 足 时 的 最 大 值 。 【答案】 （1）极小值为 24 ；（3）1 【解析】 - 48 - - 49 - 2015 年北京高考数学（理科） 本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1复数 i2 A B C D12i12i12i 2若 ， 满足 则 的最大值为xy0 xy ， ， ， zxy - 50 - A0 B1 C D232 3执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A B C D2， 40， 4， 08， 主 x=1主y=1主k=0s=x-y主t=x+y x=s主y=tk=+1 k 3主(x主y) 主 主 4设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”的mm A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 主()主 11 主 主()主2 1 A B C D5254525 - 51 - 6设 是等差数列. 下列结论中正确的是na A若 ，则 B若 ，则120230a130a120a C若 ，则 D若 ，则1 3 7如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是fxACB2log1fx A BO x y -1 2 2C A B|10 x|1 C D| |2x 8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车 在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 - 52 - B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）52x3x 10已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210ya30 xya 11在极坐标系中，点 到直线 的距离为 3 cosin6 12在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b62iAC 13在 中，点 ， 满足 ， 若 ，则 MNBNMxAByCx ； y 14设函数 214. xaxfx 若 ，则 的最小值为 ；1af 若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 fxa 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15 （本小题 13 分） 已知函数 2()2sincosinxxf () 求 的最小正周期；fx () 求 在区间 上的最小值()f0 - 53 - 16 （本小题 13 分） ， 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：AB 组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17 ，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲，ABA 组选出的人记为乙 () 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； () 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a () 当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）AB - 54 - 17 （本小题 14 分） 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ，AEFCBA AEFCB ， ， ， ， 为 的中点EFB 42a60EFCBO () 求证： ；O () 求二面角 的余弦值； () 若 平面 ，求 的值 OFE CB A 18 （本小题 13 分） 已知函数 1lnxf （）求曲线 在点 处的切线方程；yf0f， （）求证：当 时， ；x， 32x （）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k 3fkx01， k - 55 - 19 （本小题 14 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点 都C 210 xyab201P， Amn， 0 在椭圆 上，直线 交 轴于点 PAM （）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；mn （）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是OBxBxNy 否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QONQQ 20 （本小题 13 分） 已知数列 满足： ， ，且 na*1N136a 121836nnna， ， 2， ， 记集合 |M （）若 ，写出集合 的所有元素；16 （）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M （）求集合 的元素个数的最大值 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） - 56 - - 57 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数 学（理工类） 第 I卷（选择题共 50分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. - 58 - 1、若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于 234,Aii1,BAB A. B. C. D. 1 2、下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. yxsinxcosyxxye 3、若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ， 2:196E12,FPE13PF 则 等于2PF A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 （万x 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万y 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一ybxa0.76,baybx 户收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ,xy20,xy2zxy A. B. C. D.223 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. 1 7、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则 “ ”是“ ”的 ,lmmlm/l A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个,ab20,fxpq,2ab 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于pq - 59 - A.6 B.7 C.8 D.9 9、已知 ，若点 p 是 所在平面内一点，且1,ABCAtt ABC ，则 的最大值等于4PP A.13 B.15 C.19 D.21 10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 Rfx01ffx1fxk ，则下列结论中一定错误的是 A. B. C. D. 1fk1fk1fk1fk 第 II卷（非选择题共 100分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置 . 11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）52x2x 12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .ABC1035,8ABCB 13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形, 2,42fx 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .D 14、若函数 （ 且 ）的值域是6,23log,axf0a1 ，则实数 的取值范围是 .4, 15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中*12nxN 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在1,2kxn k 通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） 已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 127x 4567231,xx 其中运算 定义为： 0,1,0, - 60 - 其中运算 定义为：0 0=0，0 1=1,1 0=1,1 1=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用k 上述校验方程组可判定 等于 .k 三、解答题:大小题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分） 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银 行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试 .若密码正确，则结束尝试；否则 继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 17.（本小题满分 13 分） 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB 丄平面 BEG，BE 丄 EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点. (1)求证：GF/平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 e= . 21(a0)xyb+=(,2） 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l；x=my-1（mR）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9(4-,0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 19.（本小题满分 13 分） - 61 - 已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点f()x()cosgx=()gx 的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 个单位长度. (1)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；f()x (2)已知关于 的方程 在0.2内有两个不同的解 ，f()gxm+= 1)求实数 m 的取值范围； 2)证明：cos(-)= -1 20.（本小题满分 14 分） 已知函数 ，g（x）=kx （k R）f()ln1)x=+ (1)证明：当 ；0； (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 x（0，t） ，恒有 .t 2|f()|x- 所以 ，故 G 在以 AB 为直径的圆外.|9-, 解法二：(1)同解法一 . (2)设点 ，则12(y),B),Ax1299A(,)GB(,).44xyxy=+=+ 由 所以 12123,m， 从而 2221212553(m+1)5(m+)y()46()6=+=-270()+= . 故点 G 在以 AB 为直径的圆外 .9(4-,0) 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、 抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、 数形结合思想. 满分 13 分. 解法一：(1)将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到()cosgx= 的图像，再将 的图像向右平移 个单位长度后得到y2cos=y2x 的图像，故()xp-f()sin= 从而函数 图像的对称轴方程为f2sin (2)1) 21()gcos5(sincos)5xxx+=+ - 66 - 125sin()sin,cos5xjjj=+=其 中 依题意， 在区间0.2 内有两个不同的解 , 当且仅当 ，故 m 的sin()mxj+ |15 故对任意正实数 均满足题意.0 (3) ) - 68 - (3) 21.选修 4-2：矩阵与变换 - 69 - 本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分 7 分. 解： 所以 1 31224A (2)由 AC=B 得 ,11()CAB-= 故 1 33220AB 选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想.满分 7 分. 解： (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即()|12m|-+=， 解 得 -3 选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转 化思想.满分 7 分. 解：(1)因为 (x)|(x)|a|fabcabc=+-=+ 当且仅当 时，等号成立 又 ，所以 ,所以 的最小值为 ,0,ab|()f 所以 c4+= - 70 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分. 1若集合 ， ，则|(4)10Mx=+=|(4)10Nx-=MN= A B C D,1,4 2若复数 z=i ( 3 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则 =z A3-2i B3+2i C2+3i D2-3i 3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A B C Dxeyxy1xy2121 4袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取 2 个 球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 A1 B. C. D. 221015 5平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是0yx52yx A 或 B. 或 52005yx052yx C. 或 D. 或yx52yx2 6若变量 x，y 满足约束条件 则 的最小值为 203184yyxz A B. 6 C. D. 4531 53 7已知双曲线 C： 的离心率 e= ，且其右焦点 F2( 5 , 0 )，则双曲线 C 的方程12byax4 - 71 - 为 A B. C. D. 134 2yx1962yx1692yx1432yx 8若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 A大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3 二、填空题:本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分 （一）必做题（9-13 题） 9在 的展开式中，x 的系数为 。4)1( 10在等差数列 中，若 ，则 = 。na2576543aa82a 11设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a,b,c.若 a = ，sinB= ，C= ，则 b = 316 。 13某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。 （用数字做答） （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的极坐标方程为 ，点 A 的极24sin(2） 坐标为 A( , )，则点 A 到直线 l 的距离为 。247 15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切 点为 C， BC=1，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD= 。 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m=（ ， ） ，n =（sin x，cos x） ，x（0，2 ） 。2 （1）若 mn，求 tan x 的值 （2）若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值。3 17 （本小题满分 12 分） 主1POECDAB - 72 - 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值 和方差 ；x2s （3）36 名工人中年龄在 与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到s 0.01）？ 18 （本小题满分 14 分） 如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， ，4PDC= ， .点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 ，6AB=3C 2AFB .G （1）证明： ；PFG （2）求二面角 的正切值；AD- （3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 19 （本小题满分 14分） 设 a1，函数 。aexf)1()2 (1) 求 的单调区间 ；(x (2) 证明： 在（ ，+）上仅有一个零点；)f (3) 若曲线 在点 P 处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线 OP 平(yx=x(,)Mmn 行（O 是坐标原点）,证明： 123eam 20 （本小题满分 14 分） 主2ADCBHFGE - 73 - 已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 A，B.l21:650Cxy+-= （1）求圆 的圆心坐标；1C （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 C 只有一个交点：若存在，求出k:(4)Lykx- 的取值范围；若不存在，说明理由.k 21 （本小题满分 14 分） 数列 满足 , .na121 24nna*N (1) 求 的值；3 (2) 求数列 前 n项和 Tn； (3) 令 ， （ ） ，证明：数列 的前 n1banaT）1321( 2b 项和 nS 满足 l2 2015 广东高考数学（理）试题答案下载_2015 高考答案抢先版 （答案及评分标准仅供参考） 1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C 9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 14、 15、81352 16、 （1）tanx=1 （2） ， ，2sincos3xsin()42x146x51x 17、 （1）44 40 36 43 36 37 44 43 37 （2） 40， 2s109 （3）40 ，40 ，在（ ， ）有 25 个，占 69.44%330130 - 74 - - 75 - （2） - 76 - - 77 - 21、 （1） 1， 2， ， 4 ，aa123a5314a （2） 时，n11()nn 与原式相减，得 ， ，n1 也符合n12 Tn= =21 n1n - 78 - 绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工类） 本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 - 79 - 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答 题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1 为虚数单位， 的共轭复数为i607i A B C1 D i 1 2我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石 3已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(1)nx A B C D2 1210292 - 80 - 4设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正21(,)XN2(,)YN 确的是 A 21()()P B X C对任意正数 ， t()()PXtYt D对任意正数 ， 5设 ， . 若 p： 成等比数列；12,naR 312,na q： ，则22 21 1231()()()naaa Ap 是 q 的充分条件，但不是 q