北师大版数学初二上册全部资料

内部资料 1 第一章勾股定理 知识导学 勾股定理 在任何一个直角三角形中 两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方 这个定理在中国 又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 运用勾股定理进行有关的计算和证明 在有关直 角三角形求边的计算中 只要分析出两个条件 其中至少一边 就能解 要注意有时要利用边与边之间 的关系 设未知数通过列方程来解几何题 在运用勾股定理进行证明时 要结合已知条件和所学过的各种 图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形 同时要加强分析 典型例题 例 1 如图在 中 的平分线 AD 交 BC 于 D 求证 证明 平分 在 中 例 2 作长为 的线段 分析 故只须先作出长为 的线段 作法 1 作直角边长为 1 单位长 的等腰直角三角形 2 以斜边 AB 为一直角边 作另一直角边长为 3 的 Rt ABD 则线段 BD 的长为所求 例 3 如图 中 分别为 BC 的高和中线 求 DE 的长 内部资料 2 解 设 又 在 中 在 中 即 解得 例 4 如图 正方形 ABCD 中 E 是 DC 中点 F 是 EC 中点 求证 分析 要证 一般方法是在 中取一个角使之等于 再证明另一个角也等于 另一种方法是把小角扩大一倍 看它是否等于较大的角 证明 取 BC 中点 G 连结 AG 并延长交 DC 延长线于 H ABG HCG BG CG AGB HGC 又 在 中 设 由勾股定理得 又 内部资料 3 课后练习 1 如图 中 D 为 BC 的中点 求证 2 如图 中 求 AC 的长及 的面积 3 如图 中 AD 为 的平分线交 BC 于 D 求 AC 的长 4 如图 中 求 BC 的长 5 如图 中 D 为 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 求证 答案 1 证明 2 解 作 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 D 交 AC 于 E 连结 BE 则 在 中 内部资料 4 3 解 作 交 AB 于 E 平分 在 和 中 在 中 又 4 解 作 于 D 由 知 又 在 中 负值舍去 内部资料 5 5 证明 延长 FD 到 G 使 连结 AG EG 则 EF EG 趣话勾股定理 1955 年希腊发行了一张邮票 图案是由三个棋盘排列而成 这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一 个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派 它的成立以及在文化上的贡献 邮票上的图案是对数学上一个 非常重要定理的说明 它是初等几何中最精彩的 也是最著名和最有用的定理 在我国 人们称它为勾股 定理或商高定理 在欧洲 人们称它为毕达哥拉斯定理 勾股定理断言 直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和 如果我们要找一个定理 它的出 现称得上是数学发展史上的里程碑 那么勾股定理称得上是最佳选择 但是 如果人们要考究这个定理的 起源 则常常会感到迷惑 因为在欧洲 人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯 但通过二十世纪对 在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究 人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年 古代巴比伦 人就已经知道这个定理 在我国西汉或更早时期的天文历算著作 周髀算经 中 第一章记述了西周开国 时期 约公元前 1000 年 商高和周公姬旦的问答 周公问商高 天不可阶而升 地不可将尽寸而度 天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢 商高回答 故折矩以为勾广三 股修四 径隅 五 即我们常说的勾三 股四 弦五 周髀算经 里还这样记载 周髀长八尺 夏至之日晷一尺六寸 髀者 股也 正晷者 勾也 正南千里 勾一尺五寸 正北千里 勾一尺七寸 日益表南 晷日益长 候 勾六尺 即取竹 空经一寸 长八尺 捕影而观之 室正掩日 而日应空之孔 由此观之 率八十寸而得 径寸 故此勾为首 以髀为股 从髀至日下六万里而髀无影 从此以上至日 则八万里 这段文字描 述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践 钱伟长教授对这段文字作了详细的说明 商高 陈子等利用立竿 即周髀 测定日影 再用勾股法推算日高的方法 周髀高八尺 在镐京 今西安 附近 一带 夏至日太阳影长一尺六寸 再正南千里 影长一尺五寸 正北千里 影长一尺七寸 祖先天 才地用测量日影的办法 推算了夏至日太阳离地的斜高 用同理测定了冬至日的太阳斜高 又取中空竹管 径一寸长八尺 用来观测太阳 我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线 於是用太阳的斜高和勾股 的原则 推算太阳的直径 这些测定的数据虽然非常粗略 和实际相差很远 但在三千年前那样早的年代 有这样天才的创造和实践的观测精神 是我们应该学习的 由此 中国人把这个定理称为勾股定理或商 高定理是完全有道理的 但是 欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理 也有他们的说法 因为是毕达哥拉 斯本人 至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明 虽然 毕达哥拉斯有 内部资料 6 不少杰出的证明 如利用反证法证明 2 不是有理数 但最著名的就是证明勾股定理了 传说当他得 到了这个定理时 非常的高兴 杀了一头牛作为牺牲献给天神 也有些历史学家说是一百头牛 这个代价 可太大了 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理 有四百多种说明 希腊邮票上所示的证明方法 最初记 载在欧几里得的 几何原本 里 汉朝的数学家赵君卿 在注释 周髀算经 时 附了一个图来证明 勾股定理 这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的 您能想出赵老先生是怎样证明这个 定理的吗 提示 考虑黑边框正方形的面积计算 勾股定理及其逆定理 一 知识要点 1 掌握直角三角形的性质 如图 直角 ABC 的性质 1 勾股定理 C 90 则有 c 2 a2 b2 另外还有 2 C 90 则有 A B 90 3 C 90 则有 c a c b 4 补充定理 在直角三角形中 如果有一个锐角等于 30 度 则这个角所对的直角边等于斜边的一 半 如图 C 90 且 A 30 则有 BC AB 或者 AB 2BC 2 掌握勾股定理的逆定理 勾股定理是直角三角形的性质定理 而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理 即在 ABC 中 若 a2 b2 c2 则 ABC 为 Rt 其中 c 是三角形中最长的边 3 注意事项 1 注意勾股定理只适用于直角三角形 一般的非直角三角形就不存在这种关系 2 理解勾股定理的一些变式 c 2 a2 b2 a2 c2 b2 b 2 c2 a2 c 2 a b 2 2ab 2ab a b c a b c 3 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程 x2 y2 z2的三个正整数 称为勾股数 又称为高数或毕达哥拉斯数 显然 以 x y z 为三边长的三角形一定是直角三角形 熟悉下列勾股数 对解题是会有帮助的 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 如果 a b c 是勾股数 当 t 0 时 以 at bt ct 为三角形的三边长 此三角形必为直角三角形 二 例题精讲 例 1 已知如图 在 ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D 求 CD 的长 内部资料 7 分析 本题考查勾股定理的应用 解题思路为先用勾股定理求 AC 再运用三角形的面积公式得到 S ABC BC AC AB CD 于是不难求 CD 解 因为 ABC 是直角三角形 AB 5 BC 3 由勾股定理有 AC 2 AB2 BC2 25 9 16 故 AC 4 又 S ABC BC AC AB CD CD CD 的长是 2 4cm 解题规律 1 勾股定理的一个重要应用就是已知直角三角形的两边可以求出第三条边 因此 熟记一些平方 数为勾股定理的运用提供便利 2 本题的解题关键是先用勾股定理求 AC 再用 面积法 求 CD 例 2 试判断 三边长分别为 2n2 2n 2n 1 2n2 2n 1 n 0 的三角形是否是直角三角形 分析 条件中给出的是三边的长 要判断三角形是否为直角三角形 应考察三边的关系是否满足 a2 b2 c2 但是要找出最大的边 解 2n 2 2n 1 2n2 2n 1 0 2n 2 2n 1 2n 1 2n2 0 n 0 2n 2 2n 1 为三角形中最大边 又 2n 2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n 2 2n 2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n 2 2n 1 2 2n2 2n 2 2n 1 2 根据勾股定理的逆定理可知 此三角形为直角三角形 解题规律 如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先判定出最大边 如 c 验证 c 2与 a2 b2是否具有相等关系 若 a2 b2 c2 则 ABC 是以 C 为直角的直角三角形 若 a2 b2 c 2 则 ABC 不是直角三角形 例 3 如果 ABC 的三边分别为 a b c 且满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 判断 ABC 的形状 分析 要判断 ABC 的形状 需要找到 a b c 的关系 而题目中只有条件 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 故只有从该条件入手 解决问题 解 由 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 得 a 2 6a 9 b2 8b 16 c2 10c 25 0 a 3 2 b 4 2 c 5 2 0 a 3 2 0 b 4 2 0 c 5 2 0 a 3 b 4 c 5 3 2 42 52 a 2 b2 c2 由勾股定理的逆定理 得 ABC 是直角三角形 内部资料 8 评注 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置 关系的 在证明中也常要用到 例 4 已知 如图 折叠长方形 四个角都是直角 对边相等 的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 分析 容易知道三角形 AEF AED 则 AF AD BC 10 易求得 BF CF 在 Rt EFC 中 满足 EF2 CE2 CF2 解 设 CE x 则 DE 8 x 由条件知 AEF AED AF AD 10 EF DE 8 x 在 ABF 中 BF 2 AF2 AB2 102 82 62 BF 6 FC 4 在 Rt EFC 中 EF 2 CE2 CF2 8 x 2 x2 42 即 64 16x x 2 16 x2 16x 48 x 3 答 EC 的长为 3cm 解题规律 1 题目中有多个直角三角形 可以多次使用勾股定理 2 利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法 例 5 如图正方形 ABCD E 为 BC 中点 F 为 AB 上一点 且 BF AB 请问 FE 与 DE 是否垂直 请说 明 分析 题目中给出的是一些线段之间的关系 如何利用线段关系来考察直线垂直呢 连接 DF 我们发 现考察 FE 与 DE 是否垂直 实际上就是考察三角形 DEF 是否为直角三角形 答 DE EF 设 BF a 则 BE EC 2a AF 3a AB 4a EF 2 BF2 BE2 a2 4a2 5a2 DE 2 CE2 CD2 4a2 16a2 20a2 连接 DF 如图 DF 2 AF2 AD2 9a2 16a2 25a2 DF 2 EF2 DE2 FE DE 解题思路 1 要正确区别与运用勾股定理和它的逆定理 2 用计算的方法来说明三角形是直角三角形也是常用的方法 3 还可以设 AB a 有兴趣的同学试试看 4 在以后的学习中还可以看到此题有更多和更好的证明方法 例 6 上海市中考题 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶 时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校受影 响的时间为多少秒 分析 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A 实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m 小于 100m 则受影响 大于 100m 则不受影响 故作垂线段 AB 并计算其长度 2 要求出学校受影响的时间 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程 因此必须找到拖 拉机行至哪一点开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 解 作 AB MN 垂足为 B 在 Rt ABP 中 ABP 90 APB 30 内部资料 9 AP 160 AB AP 80 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m 这所中学会受到噪声的影响 如图 假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响 那么 AC 100 m 由勾股定理得 BC 2 1002 802 3600 BC 60 同理 拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m s t 120m 5m s 24s 答略 小结 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 若图形缺少直角条件 则可以通过做辅助垂线的方法 构造直角三角形以便利用勾股定理 例 7 CD 是 ABC 的高 试判断 CA 2 CB2 AB DA DB 是否成立 分析 1 作出三角形的高以后 可以出现两个直角三角形 2 由于三角形的高有不同情况 高可能在三角形内部 可能在三角形外部 因而要考虑分类讨论 3 根据问题需要 可考虑应用勾股定理进行试探 答 1 当 CD 在 ABC 形内时 如图 CA 2 CB2 AD2 DB2 AD DB AD DB AB AD DB 2 当 CD 在 ABC 形外时 如图 CA 2 CB2 AD2 DB2 AD DB AD DB AB AD DB 所以 当高在三角形内部时成立 在三角形外时不成立 解题思路 1 有直角时 出现线段平方的关系常常会涉及到勾股定理 2 当可能性不唯一时 要分类讨论 练习 1 填空题目 1 直角三角形的周长为 12cm 斜边的长为 5cm 则其面积为 答 6 详解 设两直角边分别为 a 和 b 则有 a b 7 将 a b 7 两边平方得 a 2 2ab b2 49 而 a2 b2 52 25 2ab 24 ab 6 2 如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 2 倍 斜边长是 5cm 那么这个直角三角 形的面积为 答 5 详解 设一条直角边为 a 另一条直角边为 2a 则 S a 2a a2 而 a2 2a 2 25 a 2 5 S a2 5 3 若三角形的三边为 n 1 n 2 n 3 当 n 时 这个三角形是直角三角形 内部资料 12 答 2 内部资料 13 详解 n 3 是最大边 当 n 1 2 n 2 2 n 3 2时 即 n 2 时 这个三角形是直角三角形 内部资料 14 4 如图 AD CD AB 13 BC 12 CD 4 AD 3 若 CAB 55 则 B 答 35 解 在直角三角形 ADC 中 求得 AC 5 由此可证得 ABC 为 Rt 则有 B 90 CAB 35 5 如果梯子的底端离建筑物 9m 那么 15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是 答 12m 点拨 设到达的高度为 x 则有 x2 152 92 144 x 12 2 选择题 1 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它 落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm 答 B 详解 AB 2 62 82 100 所以 AB 10 依题意有 ACD AED 设 CD x 则 DE x BD 8 x BE 10 6 4 在 Rt DEB 中 x 2 42 8 x 2 x 3cm 2 如果线段 a b c 能组成直角三角形 则它们的比可以是 A 1 2 4 B 1 3 5 C 3 4 7 D 5 12 13 答 D 设三边分别为 5m 12m 13m 三边满足勾股数 3 下列叙述中 正确的是 A 直角三角形中 两条边的平方和等于第三边的平方 B 如果一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 C ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 c2 则 A 90 D ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 若 c2 a2 b2 那么 B 90 答 B 分析 A 错 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 4 直角三角形有一条直角边的长为 11 另外两边的长也是自然数 那么它的周长是 A 132 B 121 C 120 D 以上答案都不对 答 A 详解 设另两边为 x y x y 则有 x2 y2 112 121 由平方差公式得 x y x y 121 x y x y x y 121 且 x y 1 周长为 121 11 132 3 如图 从电线杆离地面 6m 处向地拉一条长 10m 的缆绳 这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 有多远 依题意 AC 6 AB 10 如图 在 Rt ACB 中 BC 8 m 故这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 8m 4 在一根长为 24 个单位的绳子上 分别标出 A B C D 四个点 它们将绳子分成长为 6 个单位 8 个单位和 10 个单位的三条线段 一手将绳子的两个端点握在一起 A 点和 D 点 两名同伴分别握住 B 点和 C 点 一起将绳子拉直 会得到一个什么形状的三角形 为什么 答 得到一个直角三角形 因为 62 82 102 所以 所得三角形为 Rt 5 已知 如图 在 ABC 中 A 90 DE 为 BC 的垂直平分线 求证 BE 2 AC2 AE2 答 连 CE 则 BE CE 内部资料 15 A 90 AE 2 AC2 EC2 勾股定理 AE 2 AC2 BE2 即 BE 2 AC2 AE2 第一章检测题 一 选择题 1 若把直角三角形的三边都增加同样的长度 则新三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 2 下列各组数分别是三角形三条边的长 能构成直角三角形的边的是 A 5 13 13 B 1 C 1 3 D 1 5 2 5 3 5 3 正方形 ACEF 的边 AC 是正方形 ABCD 的对角线 则正方形 ABCD 与正方形 ACEF 的面积比是 A 2 B 1 C 1 2 D 4 1 4 已知三角形两边分别是 5 和 12 若这两边的夹角是 30 则其面积是 A 30 B 15 C 45 D 60 5 已知等边三角形的面积为 cm2 那么它的高是 A cm B cm C cm D cm 二 填空题 6 如图 1 CE CD 分别是 Rt ABC 斜边上的高和中线 那么图中所有的直角三角形分别是 图 中所有的等腰三角形是 其中相等的线段是 7 如图 2 在 ABC 中 AD BC DE AB EF AC 交 AD 于 G 那么图中所有直角三角形分别是 DAC 是 Rt 与 Rt 的公共角 C 若 BAD 42 CAD 15 则 GDE 度 DGE 度 DEG 度 8 在 ABC 中 A 的对边为 a B 的对边为 b C 的对边为 c C 90 若 a 5 b 12 c 若 b 5 c 7 则 a 若 c 30 a b 3 4 则 a b 若 a m A 30 则 b c 若 b m A 30 则 a c 若 a b c m 则 a S ABC 若 a b m 则 c S ABC 9 在 Rt ABC 中 C 90 a 6 b 8 则 c 斜边上的高等于 10 正方形的面积为 acm2 则以这个正方形的对角线为边的正三角形的面积是 内部资料 16 11 在 ABC 中 BC n 2 1 AC 2n AB n 2 1 则 A B 12 直角三角形的两直角边长分别是 3cm 和 4cm 则斜边上的高是 cm 13 已知等边三角形的边长为 6 则它的高是 面积是 14 在 ABC 中 AC BC 以 AC 和 BC 为边向形外作等边三角形的面积为 3cm2和 4cm2 则以斜边 AB 为边向形外所作等边三角形的面积是 15 已知直角三角形的两条直角边是 6cm 和 8cm 则斜边上的中线长是 16 若直角三角形的两直角边满足 a b 斜边 c 2 则 S ABC 三 解答题 17 在 ABC 中 C 90 AB m 2 n2 BC m 2 n2 m n 0 求 AC 18 直角三角形斜边上的中线比一直角边短 1cm 如果斜边长为 10cm 求两条直角边的长和面积 19 如图 3 在 ABC 中 AB AC AD 是中线 AE 是高 求证 AB 2 AC2 2BC DE 20 如图 4 水池中离岸边 D 点 1 5m 的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5m 把芦苇 拉到岸边 它的顶端 B 恰好在 D 点 求 水的深度 AC 21 沙漠探险队的 A 组由驻地出发 以 12 公里 小时的速度向东南方向搜索前进 同时 B 组也由驻 地出发 以 9 公里 小时的速度向东北方向搜索前进 求 2 个小时后 A B 两组之间的距离 第一章检测题答案 一 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 二 6 ABC AEC BEC DEC ADC BDC AD DC DB 7 ADB ADC DEB DEA AEF AGF ADC AFG AGF EGD 48 75 57 8 13 18 24 2m 9 10 4 8 提示 利用直角三角形的两个面积公式 得到方程即 ab ch 得到 其中 a b 为直角边 c 为斜边 h 为斜边上的高 10 11 90 提示 满足 BC2 AC 2 AB2 所以三角形 ABC 是以顶点 C 为直角的 RT 12 13 内部资料 17 14 7cm 2 提示 等边三角形的面积公式为 其中 a 为等边三角形的边长 这个公式记住 直接用会很快 设 RT 三边为 a b c 则 15 5cm 16 提示 a b 则 a b 2 6 a 2 b2 2ab c2 2ab 6 所以 2ab 6 22 2 直角三角形的面 积为 三 17 2mn 18 6cm 8cm 24cm 2 19 证明 AB 2 AC2 BE 2 AE2 EC2 AE2 BE 2 EC2 BE EC BE EC BC BE EC BD DC BE BC EC 2DC EC AB 2 AC2 BC 2DC 2EC 2BC DE 20 如图 依题意 AB AD AB CD 设 AC 长度为 x 由题意得 CD 1 5 AB x 0 5 AD 所以 x 2 1 52 x 0 5 2 解得 x 2 答 水的深度为 2 米 21 2 小时后 A 组走的路程为 12 2 24 B 组走的路为 9 2 18 因两组前进的方向是直角 所以两组之间的距离是 30 公里 答 2 小时后 两组之间的距离是 30 公里 第二章实数 平方根和立方根 一 知识要点 1 平方根的意义 如果一个数的平方等于 a 这个数就叫做 a 的平方根 或二次方根 注意 这样的数常常有两个 2 平方根的性质 1 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 如 9 的平方根是 3 内部资料 18 2 0 的平方根是 0 本身 3 负数没有平方根 3 平方根的表示方法 正数 a 的平方根表示为 4 算术平方根 正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根 记作 0 的平方根 0 也叫做 0 的算 术平方根 5 0 当 a 0 时 无意义 到此为止 我们已学完三个非负数 a a 2和 a 0 6 立方根和开立方同平方根开平方的概念类似 二 易犯错误 1 算术平方根与平方根混淆 例如出现 100 的平方根等于 10 的错误 2 表示的正数 a 的算术平方根 蕴含条件 a 0 三 例题分析 例 1 求下列各数的平方根 算术平方根 1 121 2 0 0049 3 4 4 5 a 2 解 1 11 2 121 121 的平方根是 11 算术平方根是 11 即 11 11 2 0 07 2 0 0049 0 0049 的平方根是 0 07 算术平方根是 0 07 即 0 07 0 07 3 2 的平方根是 算术平方根是 即 4 要先把带分数化成假分数 即 4 2 4 的平方根为 算术平方根为 即 内部资料 19 5 a 2 a 2 而 a a a 2的平方根是 a 算术平方根为 a 说明 通过例 1 我们看到必须熟记 1 20 的平方数 和 1 10 的立方数 才能很好地做这部分习题 例 2 求下列各式的值 解 1 3 3 2 3 8 4 5 带分数要先化成假分数 6 3 3 7 21 7 8 0 6 0 9 0 3 0 3 0 6 9 a b a0 原式 2 b c b d 原式 3a 2c d 2 b c b d 3a 2c d 2b 2c b d 3a 3b 3a 3a 0 例 5 求下列各式中的 x 1 49x 2 169 解 x 2 x x 2 9 3x 2 2 7 2 分析 先求出 3x 2 的值 再进一步求 x 的值 解 3x 2 2 3x 2 3x 2 接下来需分类讨论 当 3x 2 时 3x 2 x 当 3x 2 时 3x 2 x x 或 x 3 11 解 两边平方得 x 121 4 27 x 3 3 64 解 x 3 3 x 3 x 3 x 内部资料 21 5 5x 2 3 125 0 解 5x 2 3 125 5x 2 5x 2 5 x 6 2 解 x 1 2 3 x 1 8 x 9 例 6 若 x y 5 2与 互为相反数 求 x y 的值 解 x y 5 2与 互为相反数 x y 5 2 0 x y 5 2 0 0 解这个方程组得 x 且 y 说明 在这里用到 几个非负数的和为零 只有这几个非负数分别是零 才符合要求 这一性质 四 练习 1 判断正误 1 的平方根是 3 2 3 16 的平方根是 4 4 任何数的算术平方根都是正数 5 是 3 的算术平方根 6 若 a2 b2 则 a b 7 若 a b 则 a2 b2 8 729 的立方根是 9 9 8 的立方根是 2 10 的平方根是 内部资料 22 11 没有立方根 12 0 的平方根和立方根都是 0 2 填空 1 3 2的平方根是 算术平方根是 2 169 的算术平方根的平方根是 3 的负的平方根是 4 是 的一个平方根 2的算术平方根是 5 当 m 时 有意义 当 m 时 值为 0 6 当 a 为 时 式子 有意义 7 是 4 的 一个数的立方根是 4 这个数是 8 当 x 为 时 有意义 9 已知 x2 11 则 x 10 当 a 0 时 3 选择题 单选 1 在实数运算中 可进行开平方运算的是 A 负实数 B 正数和零 C 整数 D 实数 2 若 5 则 x A 0 B 10 C 20 D 30 3 下列各式中无意义的是 A B C D 4 下列运算正确的是 A 13 B 6 C 5 D 5 如果 a0 则 即求负数的立方根 可以先求出这个负数的绝对值的立方根 然后再 取它的相反数 中考典例 湖南长沙 8 的立方根与 4 的算术平方根的和是 A 0 B 4 C 4 D 0 或 4 考点 算术平方根 立方根 评析 根据立方根 算术平方根的意义 先分别求出 8 的立方根为 2 4 的算术平方根为 2 最后 求和即 2 2 0 故选 A 真题专练 1 杭州市 下列各组数中 互为相反数的是 A 0 B 2 与 2 C 2 与 D 2 与 2 河北省 在下列式子中 正确的是 A B 0 6 C D 答案 1 C 2 A 课外拓展 平方根近似值的一种求法 内部资料 26 在不少场合 我们需要求出某个正数平方根的近似值 那么 通常采用什么方法呢 教科书中介绍了 查表的方法 使用计算器的方法和笔算开平方法 这些都是十分实用的 下面我们介绍另一种实用的方法 假定我们要求 的近似值 因为 32 9 4 2 16 据此知道 比 3 大比 4 小 设 3 b b 是 一个正的纯小数 两边平方得到 13 9 6b b 2 因为 b2是一个比 b 还小得多的正纯小数 舍去 b2得到 13 9 6b 于是得到 的一个近似值为 3 67 若我们要得到 更好的近似值 那么 可以以第一次得到的近似值为基础 设 c 是一个绝对值较小的正数或负数 两边平方得 舍去 c2 得到 于是就有 3 67 0 06 3 61 即得到 的第二次近似值为 3 61 观察上面的计算过程 就可发现 在式子 3 b 和 c 中 或 是接近于 的 一个有理数 b 或 c 用分数表示时 它的分子是被开方数 13 与接近于 的数的平方之差 分母是 2 倍 的接近于 的数 即有 3 由此我们可以看到 这其中隐藏着的某种规律性的东西 用式子表示出来就是 a 这一规律早在我国魏晋间杰出的数学家刘徽的 九章算术注 里 约公元 263 年前后 就已提及 不 仅如此 书中还提到 在非平方数的场合 有另一近似表达式 a 内部资料 27 并指出平方根的值在两个近似值之间 a a 利用这些公式 在 0 b a2的情况下 我们就可以很方便地求出一个正数平方根的近似值 例如 如果我们取 a b 就可求出古代巴比伦人给出的 的近似值 如果我们取 a b 就可以得到 的第一次近似值 从 出发 就可求出 的第二次近似值 这一结果是古希腊伟大数学家阿基米德在他的著作中给出的 的一个近似值 与 的差小于 0 0000005 如果我们取 a 3 5 b 0 25 就可迅速求出 3 536 它与教科书上的笔算开平方得到的结果 3 54 是一致的 无理数的引入与确立 我们知道实数可分为有理数和无理数 有理数都可以用分数的形式来表示 当用小数的形式表示时 每个有理数都可写成一个有限小数或一个无限循环小数 而无理数则只能用一个无限不循环小数来表示 在古代由于日常生活中不仅要计算单个的对象 还要度量各种量 例如长度 重量等 为了满足这些 简单度量的需要 于是便引入了分数 古希腊的毕达哥拉斯学派认为度量就是一种量与量的比较 任何两 条线段之比 都可以用两个整数的比来比较 也即一条线段的长度可以表示成某一适当长度单位的倍数 因此在毕达哥拉斯学派看来 世界上只存在整数和分数 除此以外 没有别的什么数了 然而得到了公元 前 5 世纪 毕达哥拉斯学派的一个成员依帕索在考虑单位正方形的对角线的长度时 发现了一个与该学派 信念 线段的长度总是可以表示成整数或整数的比相矛盾的结论 如果我们设单位正方形对角线的长能 写与整数或整数的比 即可设它为 a b 其中 a b 的最大公约数为 1 那么根据勾股定理 易推得 a b 满足 b2 2a2 因此 b2也即 b 必是偶数 这样 b 就可写成 b 2c 代入 b2 2a2得 a2 2c2 因此可得 a2也即 a 必是偶数 于是 a b 就存在一个公约数为 2 这与假设 a b 的最大公约数为 1 矛盾 所以单位正方形 对角线的长不能用整数或整数的比表示 这一发现非同寻常 使该学派感到十分震惊和困惑 它说明存在着一种不能用整数或整数的比表示的 量 这直接违背了该学派的信念 纯属大逆不道 于是该学派按教规缺席审判要活埋依帕索 依帕索当时 听到风声便逃走了 然而几年之后 毕达哥拉斯学派的忠实门徒还是找到了依帕索 他们残忍地将他扔进 了地中海 害死了他 对于依帕索所发现的新数 古希腊数学家称之为 ir ratio nal number 意 思是说 不成比 或不能表达 的数 而实际上他们并不想将它看成一个数 到了 1606 年 我国明朝 的徐光启与意大利传教士利玛窦合译欧几里得 原本 时 便将它译成 无理数 无理数发现以后 由于它有悖于毕达哥拉斯学派的信念 因此数学上就出现了所谓的第一次危机并致 使希腊数学由注重数到注重形 几何 的转变 在这一时期 包括欧几里得在内的数学家大多都绕开无理 数 对它不屑一顾 到了以阿基米德为代表的古希腊亚历山大里亚数学时期 几何学开始从定性到定量的转变 数学家开 始使用无理数 阿基米德还计算了 的近似值 在我国 公元 3 世纪的刘徽也认识到了像 等这些开方开不尽的数 创造了求 的科学方 法 他把这些数直接纳入运算 且用近似值来表示他们 和中国一样 印度和阿拉伯人也不考虑可公度问 内部资料 28 题 直接将无理数进行运算 到了 12 世纪印度的婆什迦罗等还给出了无理数的加 减 乘 除 开方法 则 到了 16 17 世纪欧洲的数学家将无理数纳入更广泛的运算中 有很多像笛卡儿等人的数学家承认无 理数是数 但也有一些数学依然认为 无理数不能精确地确定它的值 因此不是一个真正意义上的数 只 能作几何理解 对无理数的严格定义要到 19 世纪 当实数理论建立以后它才给出 至此 人们对无理数才有了一个 全面的了解 实 数 一 概述 从有理数到实数 是数的范围的一次重要的扩充 对今后学习数学有着重要的意义 因此 我们应学好这部分知识 在初中数学课中我们都是在实数范围内研究问题 到了高中我们还将学习复数知 识 本单元的重点和难点都是实数的有关概念 二 知识要点 1 有理数 整数和分数统称为有理数 有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数 如 可表示 为 0 4 可表示为 等等 所有形如 m n 为互质的整数 n 0 的数都是有理数 2 无理数 无限不循环小数叫做无理数 无理数不能表示成分数的形式 如 3 实数 有理数和无理数统称为实数 我们一般用下列两种情况将实数进行分类 4 实数与数轴上的点是一一对应的 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 反之数轴上的每一 个点又都表示一个实数 5 实数的相反数 如果 a 表示一个正实数 a 就表示一个负实数 又如果 a 表示一个负实数 则 a 表示一个正实数 a 与 a 互为相反数 0 的相反数仍是 0 如 与 与 m 与 m 均互为相 反数 6 实数的绝对值 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 即如果 a 是一个实数 则有 a 例如 内部资料 29 注意 a a 0 是正数 例如 7 有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用 三 例题分析 例 1 找出下列各数中的无理数 5 3 1416 0 808008 解 无理数是无限不循环小数 3 1416 是有限小数 是无限循环小数 5 3 2 是整数 是分数 所以它们都是有理数 那么无理数有 0 808008 因为它们都是无限不循环小数 注意 0 808008 是无限不循环小数 只是数字有规律 但不是循环小数 两者区分开 例 2 比较下列各组数的大小 1 与 7 2 与 3 与 4 把下列各数按照由小到大的顺序 用不等号连结起来 4 3 4 1 414 0 0 8 4 分析 实数比较大小是综合性较强的题目 往往需要把无理数用近似的有理数代替 再用有理数比较 大小的方法来进行比较 有些需要用平方的方法 平方后再比较大小 有时还需找中介值等等 解 1 变成统一形式 7 7 7 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 2 利用近似数 3 14159 3 1428 3 用平方的方法 2 13 7 2 20 2 2 20 2 20 2 20 2 内部资料 30 即 20 0 4 1 414 1 414 4 4 3 14159 把所有的数在数轴上找到与 它们对应的点 或者变成近似数 从左到右便可得到 4 4 3 0 0 8 1 414 4 例 3 化简下列各式 1 2 3 142 3 4 x x 3 x 3 5 x 2 6x 10 分析 要正确去掉绝对值符号 就要弄清绝对值符号内的数是正数 负数还是零 然后根据绝对值的 定义正确去掉绝对值 解 1 1 414 2 3 14159 3 142 3 142 3 142 3 0 x 2 6x 10 x2 6x 10 例 4 计算下列各式 1 2 3 4 0 2 0 7 内部资料 31 解 1 4 2 3 2 7 2 1 3 0 8 0 14 1 1 1 76 4 0 2 0 7 0 2 20 0 7 90 4 63 59 例 5 已知 x 6 2 y 2z 0 求 x y 3 z3的值 解 x 6 2 y 2z 0 且 x 6 2 0 0 y 2z 0 几个非负数的和等于零 则必有每个加数都为 0 解这个方程组得 x y 3 z3 6 2 3 1 3 64 1 65 例 6 已知 0 求实数 a b 的值 分析 已知等式左边分母 不能为 0 只能有 0 则要求 a 7 0 分子 a2 49 0 由非负数的和的性质知 3a b 0 且 a2 49 0 由此得不等式组 从而求出 a b 的值 解 由题意得 由 2 得 a 2 49 a 7 由 3 得 a 7 a 7 不合题意舍去 只取 a 7 把 a 7 代入 1 得 b 3a 21 内部资料 32 a 7 b 21 为所求 例 7 有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm 宽为 8cm 的矩形 要作一个面积为这两个图形的 面积之和的正方形 问边长应为多少 cm 解 设新正方形边长为 xcm 根据题意得 x 2 112 13 8 x 2 225 x 15 边长为正 x 15 不合题意舍去 只取 x 15 cm 答 新的正方形边长应取 15cm 四 练习 一 判断正误 1 带根号的数都是无理数 2 不带根号的数一定是有理数 3 无限小数都是无理数 4 无理数一定是无限不循环小数 5 有理数与数轴上的点一一对应 6 最小的实数是零 最大的实数不存在 7 无理数加无理数的和是无理数 8 有理数加无理数的和是无理数 9 有理数乘无理数的积是无理数 10 无理数乘无理数的积是无理数 二 填空 1 x y 2 与 互为相反数 则 x y 2 x 则 x 3 2 则 x 若 3 则 x 4 若 0 x 1 则 5 如果分式 有意义 则 x 的取值范围是 三 已知 0 试求 x2 y2的值 四 已知 x 2 y2 4x 6y 13 0 求 x2 y 的平方根 练习参考答案 一 判断正误 1 反例 2 2 反例 3 4 5 6 7 反例 0 8 9 反例 0 0 10 反例 5 内部资料 33 二 填空 1 2 3 2 3 4 1 5 x 3 且 x 3 三 解 x 2 y2 2xy 14x 14y 49 x y 2 14 x y 49 x y 7 2 根据题意得 即 解这个方程组得 x 2 y2 x y x y 26 19 26 19 45 7 315 四 解 x 2 y2 4x 6y 13 0 而 x2 y2 4x 6y 13 x2 4x 4 y2 6y 9 x 2 2 y 3 2 x 2 2 y 3 2 0 x 2 2 0 y 3 2 0 x 2 y 4 3 7 x 2 y 的平方根为 10 5 实 数 考点扫描 1 了解无理数和实数的意义 2 了解有理数的运算律在实数范围内仍适用 名师精讲 1 整数和分数统称有理数 任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式 反之 任何 有限小数或无限循环小数都是有理数 2 无限不循环小数叫做无理数 初中遇到的无理数有三类 开不尽方 如 等 特定 结构的数 如 1 010010001 特定意义的数 如 sin45 以后要学 等 它们的本质特征是无 限不循环小数 判断一个实数是有理数或无理数 不能只看表面 往往要经过整理化简后才能下结论 如 1 0是 无理数吗 因为 1 0 1 是有理数 1 0不是无理数 3 有理数和无理数统称实数 内部资料 34 实数有以下两种分类方法 按属性分类 按符号分类 4 关于有理数的运算法则 运算规律和运算性质 在进行实数运算时仍成立 在实数范围内 不仅可 以进行加 减 乘 除 乘方运算 而且正数和零总可以进行开方运算 负数只能开奇次方 应当注意 负数不能开偶次方 5 实数和数轴上的点一一对应 即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示 反过来 数轴上的每一 个点都可以表示一个实数 我们可以用几何作图方法 在数轴上表示某些无理数 如 等 6 近年中考考查本节内容的题型较多 多以填空和选择题的形式出现 还有判断 比较大小 求绝对 值等题型也比较常见 重点考查 相反数 倒数 绝对值 平方根 算术平方根 有理数 无理数等概念的掌握情况 实数大小的比较 简单的实数运算等内容 把一个数科学记数 正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系 利用数轴 靠直观判断给出实数的特点 进行根式的化简与计算 中考典例 1 2001 广东省 计算 考点 实数的混合运算 评析 该题是实数的混合运算 包括绝对值 0 指数幂 负整数指数幂 正整数指数幂 只要准确把 握各自的意义 就能正确的进行运算 其结果为 1 易错点 忘记负整数指数 0 指数 幂的意义 而使 2 0 0 2 2001 北京西城区 在 3 2 3 四个数中 无理数的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 无理数的意义 评析 只要弄明白无理数的意义及类型就能准确选出答案 B 即 是无理数 内部资料 35 3 2001 云南昆明 下列计算正确的是 A 2 3 3 2 65 B x 6 x2 x3 C 3 0 2 1 D 考点 实数的混合运算 评析 该题是运算法则的考查 可用排除法 A 因为底数不同 指数不能相加 B 指数不应相除而 是应该相减 C 3 0 1 2 1 所以 1 是正确的 D 左边是一正数 而右边是负数 所 以不相等 故选 C 说明 此类问题有一定的普遍性 在解答时 必须准确把握各种运算法则 真题专练 1 2002 杭州市 下列各式中计算正确的是 A 2 2 B 3 16 C a 3 a4 a12 D 2002 0 1 2002 2 2 2002 北京东城区 在实数 0 3 14 中无理数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 2001 宿迁市 下列命题中正确的是 A 2 2的平方根是 2 B 1 的立方根是 1 C 0 2060 精确到千方位 D 无理数是指无限循环小数 答案 1 D 2 A 3 B 无理数的发现 在代数中 无理数是一类极其重要的数 但它是通过几何图形发现的 活跃于公元前 6 世纪后半期的希腊的毕达哥拉斯学派 认为世间万物都是由数组成的 他们特别重视 对整数的研究 通过对音乐中音阶的数学基础的分析 他们发现音乐的和声与自然数 1 2 3 4 5 之间有着奇妙的联系 我们弹一根弦 它发出了一个音 再去弹一根长度恰好是 2 倍的弦 就会听到它发 出的音比原来的音恰好低 8 度 进一步又发现 如果把发出 c 音的弦的长度看作 1 那么长度为 2 注意 这些长度都可以表示为自然数或自然数的比 的弦会分别发出下 8 度的 B 音 A 音 G 音 F 音 E 音 D 音和 C 音 从这一发现开始 他们进一步坚信 一切和声 一切真善美 一切 自然现象都可以用整数之间的关系来表示 甚至一切行星在它们的轨道上运行时 也一定会发出一种天上 的 整数比的音乐来 即所谓 天体音乐 可是不久 他们却发现 边长为 1 的正方形的对角线的长度不能表示成两个整数的比 他们费了九牛 二虎之力 找不出一个整数或分数 可以用作度量这个正方形的边长和对角线长的单位长度 后来 毕达哥拉斯的一名学生布伯斯向世人宣布 正五边形 正方形的对角线长与边长的比 都不能 用整数或分数来表示 这些无法用整数关系来描述的比 是人们还没有认识的一类新的数 现在 我们都知道 这类新的数叫做无理数 它和有理数相对 实际上 有理数和无理数的英文名称 是 rational number 和 irrational number 译成 比数 和 非比数 更为合适 内部资料 36 下面介绍一种在数轴上确定某些无理数的位置的方法 如图 1 所示 图 1 其中 都是无理数 再介绍一种通过作直角三角形找出长度等于某些无理数的几何线段的方法 如图 2 所示 图 2 第三章平移与旋转 学习要求 一 图形的平移 1 通过实例认识平移 探索平移的基本性质 理解平移特征 2 能按要求作出简单平面图形平移后的图形 3 利用平移进行图案设计 认识和欣赏平移在现实生活中的应用 二 旋转 1 通过实例认识旋转 探索旋转的基本性质 理解旋转和旋转对称的特征 2 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形 3 灵活运用轴对称平移 旋转的组合进行图案设计 4 欣赏旋转在现实生活中的应用 三 中心对称 1 理解中心对称图形和成中心对称的概念 2 探索中心对称图形的基本性质以及成中心对称的两个图形特征 学习要求 本章是探究在平移与旋转这两种运动与变换下图形发生的变化 通过实例 理解平移与旋转两种变换 过程 结合动手实践 合作交流探索出平移 旋转及中心对称的特征 1 平移与旋转的相同点和不同点 在两种变换下的图形大小形状都没有发生变化 平移交换是把图形平行移动 它是由移动的距离和方向决定的 旋转变换是图形绕某一点转动 它是由旋转中心和旋转角所决定 2 旋转对称图形与中心对称图形的联系 旋转对称图形是指图形绕某点旋转某角度 小于周角 与自身重合的图形 中心对称图形是旋转角为 内部资料 37 180 的旋转对称图形 3 中心对称图形与成中心对称既有区别又有联系 例题分析 例 1 如图 试问 由 ABC 平移得到的三角形有几个 解 一共有 5 个 说明 事实上 图中所有的小三角形均与三角形 ABC 形状相同 但根据平移的定义 只有 5 个 例 2 如图 已知 点 A 及射线 XY 求作 点 A 沿射线 XY 方向平移 3 cm 后的图形 作法 在射线 AY 上截取线段 AA 3cm 点 A 即为所求 例 3 如图 经过平移 ABC 的顶点 A 移到了点 D 请作出平移后的三角形 分析 因为 A 与 D 是对应点 而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向 射线 AD 平移 距离 线段 AD 的长 作法 一 1 分别过点 B C 沿 AD 方向作线段 BE CF 使它们与 AD 平行且相等 2 顺次连结 D E F 则 DEF 即为所求 作法 二 1 过点 D 分别作 DE DF 分别平行于 AB AC 且使 DE AB DF AC 2 连接 EF 则 DEF 即为所求 作法 三 1 过点 B 作线段 BE 平行 AD 且等于 AD 2 连接 DE 3 分别以 D E 为圆心 以 AC BC 为半径画弧 两弧交于点 F 4 连接 DF EF 则 DEF 即为所求 例 4 已知线段 MN 为正六边形 ABCDEF 平移后所得的一条边 请画出平移后的图形 解 如图 说明 利用分类思想 MN 可能是由 AB 平移而来 也可能是由 ED 平移所得 故本题有两种可能 例 5 如图 已知 Rt ABC 中 C 90 BC 4 AC 4 现将 ABC 沿 CB 方向平移到 A B C 的 位置 1 若平移距离为 3 求 ABC 与 A B C 的重叠部分的面积 内部资料 38 2 若平移距离为 x 求 ABC 与 A B C 的重叠部分的面积 y 并写出 y 与 x 的关系式 解 1 由题意 CC 3 BB 3 所以 BC 1 又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形 所以其面积为 2 说明 这里应用了平移的定义及对应线段平行的性质 应用题专题讲座 应用题联系实际 生动地反映了现实世界的数量关系 能否从具体问题中归纳出数量关系 反映了一 个人分析问题 解决问题的实际能力 列方程解应用题 一般应有审题 设未知元 列解方程 检验 作结论等几个步骤 下面从几个不同 的侧面选讲一部分竞赛题 从中体现解应用题的技能和技巧 1 合理选择未知元 例 1 1983 年青岛市初中数学竞赛题 某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后 以 每小时 9 千米的速度走平路到 B 地 共用 55 分钟 回来时 他以每小时 8 千米的速度通过平路后 以每小 时 4 千米的速度上坡 从 B 地到 A 地共用 小时 求 A B 两地相距多少千米 解法 1 选间接元 设坡路长 x 千米 则下坡需 依题意列方程 解之 得 x 3 答 A B 两地相距 9 千米 解法 2 选直接元辅