体育统计(数据特征).ppt

第三章样本特征数,一、集中量数,由频数分布表可看出频数分布的两个重要特征：集中趋势和离散程度。如：例2.2，身高有高有矮，但中等身高居多，此为集中趋势；由中等身高到较矮或较高的频数分布逐渐减少，反映了离散程度。对于数值变量资料，可从集中趋势和离散程度两个侧面去分析其规律性。,集中趋势:在一组数据中变量值集中的位置（数据分布最密集的位置）。集中量数：反映集中趋势的统计量称为集中量数。常用的集中量数有：（1）算术平均数（2）中位数（3）众数,1、算术平均数,定义：所有观察值之和除以总频数，简称均数。样本均数：总体均数：含义：反映同质研究对象观察值的平均水平与集中趋势的统计量。,算术平均数的计算方法,（1）直接法：由观察值直接计算，用于样本含量较少时，其公式为：式中，希腊字母表示求和；X1，X2，Xn为各观察值；n为样本含量，即观察值的个数。,例1：某少年组运动员10人，立定跳远成绩（单位：米）如下表试求其均值。（p26例3.1）解：返回,（2）加权法：当资料中出现相同观察值时，可将相同观察值的个数（即频数）与该观察值X的乘积代替相同观察值逐个相加，即X1，X2，Xkf1，f2，fk其公式为：,例2：某人50发射击成绩如下表，试求其均数。（p16例2.1）解：,（3）简捷法：主要是针对连续型频数分布表，是加权法的一种变形形式。其公式为：式中：所在组的组下限f：该组的频数i：组距,例3：80名上海市小学二年男生身高数据如下表：求其均值。（p16例2.2）,解：,算术平均数的适应范围及优缺点,优点：（1）均数作为反映变量的集中量数，既考虑到频次的多少，又考虑到每一个变量值的大小，故它是可靠的、灵敏的，也是对资料提供信息运用最充分的。（2）均数适合代数运算，计算方便，因此是一个用途最广、效果最好的集中量数。,缺点：（1）均数易受少数极端数据的影响而大大改变其数值，从而相对削弱它作为集中量数的代表性。适应范围：数据严重偏态分布时，一般不用均数反映它的集中趋势。一般应用于正态或近似正态的数据。,给定一组数据资料，如何判断是否适合选用算术均数来表达其平均水平呢？（1）如果是小样本，可用目测法：如果数据相差不太悬殊，将数据由小到大排列后，较小和较大的数据个数基本相等，且关于最中间的数据基本对称即可。（2）如果大样本，将其按一定组距分组，若居中的组段内频数最大，而且在该组前后的组段内的频数逐渐减少且基本对称，也适合用算术均数。,关于集中趋势的讨论,集中趋势反映的是位置，不能比较大小。例：甲班体育统计平均成绩乙班体育统计平均成绩上式反映的是：乙班的成绩比甲班好（平均水平），而不能说乙班的集中趋势比甲班大。,2、中位数,定义：是把各个变量值按大小顺序排列后，位于序列中间的数，称为中位数，是一种位置指标，反映数据集中趋势的一个统计量。记为：含义：反映一组观察值在位置上的平均水平。,中位数的计算,离散型数据（1）数据个数为奇数个时：（2）数据个数为偶数个时：连续型数据（略）,例4：求下列两组数的中位数（1）14，2，17，9，22，13，1，7，11（2）1，26，11，9，14，13，7，17，22，2解：先排序（1）1，2，7，9，11，13，14，17，22该组的中位数为：11（2）1，2，7，9，11，13，14，17，22，26该组的中位数为：,优缺点及适用条件,优缺点：（1）由于中位数只受居中变量值的影响，故它不够灵敏、充分。（2）不会受到极端数据的影响。适用条件：适用于任何分布资料，特别是偏态分布、分布不明、分布末端无确定值。,极端数据对均数和中位数影响的举例,例5：分别求下列两组数的均数和中位数。（1）1，2，7，9，11，13，14，17，22（2）1，2，7，9，11，13，14，17，100解：（1）中位数为：11均数为：10.67（1）中位数为：11均数为：19.33,3、众数,定义：在一次实验中出现次数（频数）最多的观察值；在频数分布表中对应于数据最集中所在位置的观察值。记作：适应条件：适用于大样本；较粗糙。,例6：某班体育考试成绩如下表：该组数据的众数：,4、均数、中位数、众数三者关系,正态分布时：均数中位数众数右偏态分布时：均数中位数众数左偏态分布时：均数中位数众数,常用集中趋势指标及应用条件,二、离散量数,例7：两组学生的引体向上成绩如下：甲组：3，5，5，5，5，6，6乙组：1，2，4，5，6，8，9从该上述资料中两组数据我们可以看出：（1）甲组和乙组的平均成绩都是5。（2）这两组数据的分布特征不尽相同，各组的7个数据间参差不齐的程度是不一样的。（3）根据常识：我们会认为甲组的成绩比乙组好。,离散程度（变异程度）:反映数据分布的密集程度。离散量数：反映数据离散程度的指标称为离散量数。常用的离散量数：1、全距2、方差、标准差3、变异系数,1、全距（极差）,定义：该组数据的最大值与最小值的差。计算方法：R=max-min例7中：因为：所以：甲组成绩的离散程度（变异程度）小于乙组成绩。,优缺点：（1）计算简单方便。（2）只反映出该组数据资料中最大值与最小值的信息，其他数据信息反映不充分。（3）只能比较数据数目相同的同质数据。适用条件：样本含量较小时，数据分布相对比较均匀的数据。,2、离均差平方和,表示所有数到均数差的代数和。,的几何解释：表示各点到均数距离的和。由于该值为零，无法反映数据的离散程度，但是对我们找一个合适的指标来反映离散程度有一定启发意义。,表示所有数到均数差的绝对值的和。的几何解释：表示各点到均数路程的和。如果这个值越小则离散程度就越小，反之亦然。优点：反映的信息充分。缺点：（1）只能比较数据数目相同的同质数据。（2）式中包含绝对值符号。,：离均差平方和，表示所有数和均数差的平方的代数和。离均差平方和的含义：表示所有数据的总变异即总的离散程度。优点：充分、灵敏、严密确定。缺点：只能比较数据数目相同的同质数据。,为什么我们一般不使用离均差平方和来反映数据的离散程度（变异程度）？例：现在有两个班同时在学习体育统计，甲班有45人，乙班有40人，考试结束后，比较两个班的体育统计成绩？是分别比较两个班的总分还是平均分?结果是显而易见的：比较平均分，因为两个班的人数不相等。离均差平方和就相当于这里的总分。,3、方差,定义：离均差平方和除以该组数据的总频数。其公式为：n-1:自由度,总体方差：,样本方差：,含义：表示每个观察值的平均离散程度，方差越大，说明数据的离散程度越大。优点：（1）灵敏性、严密确定、充分性。（2）可以比较不同数目同质数据的各组数据资料。缺点：（1）容易受到极端数据影响。（2）它的单位与观察值的单位不同，是观察值单位的平方，这给我们解释实际问题造成了一些麻烦。,4、标准差,定义：方差的平方根。其公式为：式中，n-1:自由度含义：反映每个数据的平均离散程度，标准差越大，说明数据的离散程度越大。,总体标准差：,样本标准差：,标准差的优缺点及适用条件,优缺点：（1）灵敏性、严密确定、充分性。（2）标准差能对平均数的代表性作出补充说明。标准差越大，表明这组数据的离散程度越大，平均数的代表性越差；标准差越小，表明这组数据的离散程度越小，平均数的代表性越好。（3）与方差相比，标准差更容易解释实际问题。（4）易受极端数据的影响。适用条件：（1）数据分布相对比较均匀，正态或近似正态的数据。,标准差的计算方法,（1）直接法：用于样本量较小的资料。其公式为：,其中：,例8：某少年组运动员10人，立定跳远成绩（单位：米）如下表试求其标准差。（p26例3.1）解：,（2）加权法：用于样本量较大的离散型频数表资料。其公式：,其中，,例9：某人50发射击成绩如下表，试求其标准差。（p16例2.1）解：,（3）简捷法：是加权法的另一种变形形式，主要用于连续型频数分布表。其公式为：,：组下限,f：该组的频数,其中：,例10：80名上海市小学二年男生身高数据如下表：求其均值。（p16例2.2）,解：,5、变异系数,定义：同组数据的标准差与平均数的百分比。含义：表示数据的相对变异程度，变异系数越小，变异程度就越小；变异系数越大，变异程度就越大。适用条件：比较单位相同但均数相差较大数据。比较单位不同的数据。,例11：测100名男生100米跑成绩；立定跳远，是比较两项成绩哪一项整齐。解：,所以：100米跑成绩更整齐。,6、标准差（方差）与变异系数的区别,标准差反映数据的绝对离散程度（变异程度）；变异系数反映数据相对的变异程度。标准差（方差、全距）只能比较同质的数据；变异系数可以比较不同质的数据。变异系数只能比较大小，不能进行代数运算。,例：,上式无任何实际意义！,各种样本特征数的适应条件,本章重点内容,明确均数、中位数、标准差和变异系数的优缺点及其适用条件。均数、中位数、标准差和变异系数的含义。均数、中位数、标准差和变异系数的计算。,自由度：在统计学中，n个数据如不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有（nk）个自由度了。计算标准差时，n个变量值本身有n个自由度。但受到样本均数的限制，任何一个“离均差”均可以用另外的（n1）个“离均差”表示，所以只有（n1）个独立的“离均差”。因此只有（n1）个自由度。,返回,返回,计算器用法,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”X1M+“输入数据”X2M+XnM+SHIFT21EXE(=)“算术平均数”SHIFT23EXE(=)“标准差”,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”2.72M+“输入数据”2.68M+2.78M+2.89M+SHIFT21EXE(=)“2.836”SHIFT23EXE(=)“0.147”,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”X1SHIFT，f1M+“输入数据”X2SHIFT，f2M+XnSHIFT，fnM+SHIFT21EXE(=)“算术平均数”SHIFT23EXE(=)“标准差”其中：fn表示Xn对应的频数。,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”115SHIFT，1M+118SHIFT，3M+121SHIFT，8M+142SHIFT，1M+SHIFT21EXE(=)“128.0875”SHIFT23EXE(=)“5.1685”其中：fn表示Xn对应的频数。,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”X1SHIFT，f1M+“输入数据”X2SHIFT，f2M+XnSHIFT，fnM+SHIFT21EXE(=)“算术平均数”SHIFT23EXE(=)“标准差”其中：fn表示Xn对应的频数。,MODEMODE1“SD”SHIFTCLR1EXE（=）“清除数据”5SHIFT，4M+“输入数据”6SHIFT，3M+10SHIFT，3M+SHIFT21EXE(=)“8.2”SHIFT23EXE(=)“1.28”其中：fn表示Xn对应的频数。,