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第四章 线性空间 和线性变 换 习题 4.1 1 检验以下 集合关于所指定的运算是否构成实数域 上的线性空间： (1) 阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于 ( 1) 的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体 ，关于数的加法和实数与有理数的乘法； (4) 平面上全体向量 2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“”： = ， ， 2 解 (1) 是 因为任意 两个 阶实对称矩阵和是 阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以 阶实对称矩阵 也 是 阶实对称矩阵，所以 阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运 算 是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记 阶零矩 阵 为 ，显示 是实对称矩阵，且对任意的 阶实对称矩阵 都有 + = 。 对任意 的 阶实对称矩阵 ，显然 也是 阶实对称矩阵，且 +( )= 。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可 知， 阶实对称矩阵的全体， 关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式 的次 数不是 ，所 以这个 集合 不含零 向量 ，因此 次数 等于 ( 1) 的实系 数一元多项式的全体， 关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域 上的线性 空间。 或者说 ： 因为两个任意 的次 数等于 ( 1) 的实 系数一 元多 项式和 的多 项式次 数不 一定等 于 ， 有可能 小于 ，所以 关于 多项式 的加 法不封 闭， 因此次 数等 于 ( 1) 的实 系数 一元多 项 式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域 上的线性空间。 (3) 否 因为实 数与有理数的积不一定是有理数， 所以关于数乘运算不封闭， 因此有理数的全体 ，关于数的加法和实数与有理数的乘法不能构成实数域 上的线性空间。 (4) 否 因为 1 = 则 1 1 所以不能构成实数域 上的线性空间。 2 在线性空 间 ，+ ， 中证明：对 ， ， ， 有 (1) = ； (2) ( )= ( ) ； (3) =( 1) ； (4) ( )= ； (5) ( ) = 。 证明 (1) 因为 = ( + )= + ，所以 = 。 (2) 因为 ( )+ = ( )= = ， 所以 ( ) 为 的负向量，因 此 ( )= ( ) 。 (3) 因为( 1) + =( 1+1) =0 = ， 所以( 1) 为 的负向量，因此 =( 1) 。 (4) ( )= +( ) = + ( )= 。 (5) ( ) = +( ) = +( ) = 。 *3证明数 域 上的一个线性空间 如果含有一个非零向量，则 一定含有无限多个向量。 证明 设 ，则 ，2 ， ， ， 。下证当 时， 。 ( 反证) 若 = ，则( ) = ，因 ， 则 =0，这与 矛盾， 所以 中 至少有无穷多个向量 ，2 ， ， ， 。 习题 4.2 1.试将向量 表示成向量 1234 , 的线性组合： (1) 1, 2, 1, 1 T = ， 1 1, 1, 1, 1 T = ， 2 1, 1, 1, 1 T = ， 3 1, 1, 1, 1 T = , 4 1, 1, 1, 1 T = ； (2) 0, 2, 0, 1 T = ， 1 1, 1, 1, 1 T = ， 2 1, 1, 1, 0 T = ， 3 1, 1, 0, 0 T = ， 4 1 ,0 ,0 ,0 T = 解 (1) 向量 表示成向量组的线性组合的表达式系数即为线性方程组 1234 X = 的解, 所以先求 解该线性方 程组. 为此用 初等行变换 化系数矩阵 为阶梯形: 1234 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 12 010 1 0 1 1 1 11 001 10 1 1 1 1 1 000 41 = , 求得解为 1 2 3 4 5 , 4 1 , 4 1 , 4 1 , 4 x x x x = = = = 所 以表达式为 1234 5111 4444 =+. (2) 向量 表示成向量组的线性组合的表达式系数即为线性方程组 1234 X = 的解, 所以先求 解该线性方 程组. 为此用 初等行变换 化系数矩阵 为阶梯形: 1234 1111 0 1000 1 1110 2 0100 1 1100 0 0010 2 1000 1 0001 2 = , 求得解为 1 2 3 4 1, 1, 2, 2, x x x x = = = = 所 以表达式为 12 3 4 22 = + . 2.设 7, 2, T a = , 1 2 ,3 ,5 T = , 2 3, 7, 8 T = , 3 1, 6, 1 T = 问 a = 时， 可经 123 , 线性表示? 为什么? a 取值为 时， 不能经 123 , 线性表示? 为什么? 分析 判断向量 是否能被向量组 123 , 线性表示 123 X = 是否有解 矩阵 123 的秩是否与矩阵 123 的秩相同. 解 对矩阵 123 作初等行变换化为阶梯形: 123 23 1 7 12 1 1 37 6 2 01 3 5 58 1 00 0 15 aa = . 当 15 a = 时, 秩( 123 )= 秩( 123 )=2, 所以 能被向量组 123 , 线性表示; 当 15 a 时, 秩( 123 )=2, 秩( 123 )=3, 两者不相等, 所以 不能被向量组 123 , 线性表示. 综上知第 1 空格填 15, 第 2 空格填 不等于 15. 3. * 设 1, 1, 3, 5 T b = + , 1 1, 0, 2, 3 T = , 2 1, 1, 3, 5 T = ， 3 1, 1, 2, 1 T a =+ , 4 1, 2, 4, 8 T a = + (1) , ab 为何值时， 不能经 1234 , 线性表示? (2) , ab 为何值时， 能经 1234 , 线性表示? 并写 出该线性表示式 解 (1) 如 上题解分析知, 可对矩阵 1234 作初等行变换化为阶梯形: 1234 11 1 1 1 11 1 1 1 01 1 2 1 01 1 2 1 23 2 4 3 00 1 0 35 1 8 5 00 0 1 0 a b ab aa = + + (1) 当 1 a = 时, 0 b , 则秩( 1234 )=2, 秩( 1234 )=3, 两 者不相等, 所以此时不能线性表示. (2) 当 1 a = 时, 0 b = , 秩( 1234 )=2= 秩( 1234 ), 所以此时能线性表示, 表达式系数即为线性方程组 1234 X = 的解. 由方 程组得解为 11 2 2 12 32 41 2, 12 , , . xt t x tt xt xt = =+ = = ( 其中 12 , tt 为任意常数) 故表达式为 1 2 1 1 2 2 23 14 ( 2 ) (1 2 ) t t tt t t = + + + ( 其中 12 , tt 为任意常数). 当 1 a 时, 秩( 1234 )=4= 秩( 1234 ), 所以也能线 性表示. 表达式系数即为线性方程组 1234 X = 的解, 由方程组解为 1 2 3 4 2 , 1 1, 1 , 1 0. b x a b x a b x a x = + = + + = + = 故表达式为 1 23 2 (1 ) 1 11 b bb a aa = + + + . 4.指出下列 向量组线性相关的是( )，并说明理由 (1) 1 2, 2, 7, 1 T = ， 2 3 , 1 ,2 ,4 T = ， 3 1, 1, 3, 1 T = ； (2) 1 4, 3, 1, 1, 1 T = ， 2 2, 1, 3, 2, 5 T = ， 3 1, 3, 0, 1, 2 T = , 4 1, 5, 2, 2, 6 T = . 分析 判断 向量组是否线性相关只需要看由该向量组构成的矩阵的秩是否小于向量的个数. 解 对矩阵 123 作初等变换求秩: 123 = 2 3 1 231 2 11 010 7 2 3 001 1 4 1 000 这表明该矩阵的秩为 3 与向量个数相同, 所以该 向量组线性无关. (2) 对矩阵 1234 作初等变换求秩: 1234 = 4 2 1 1 12 1 2 3 1 3 5 01 1 0 13 02 0 01 1 1 2 1 2 00 0 0 1 5 2 6 00 0 0 该矩阵的秩为 3 小于向 量的个数 4, 所以该向量组线性相关. 综上知应填(2). 5. 设 1 1, 2, 3 T = , 2 2, 1, 6 T = , 3 3, 4, T a = . 问 a 时 123 , 线性相关? a 取值为 时 123 , 线性无关? 为什么? 解 如上题 分析, 对矩 阵 123 作初等变换求秩 123 = 123 1 2 3 214 0 3 2 36 0 0 9 aa 当 9 a 时, 该矩阵 的秩为 3 与 向量个数相同, 所以向量 组线性无关; 当 9 a = 时, 该矩阵 的秩为 2 小 于向量个数 3, 所以向量组 线性相关; 综上所述第 1 空格填 9, 第 2 空格填 不等于 9. 6. * 设 11 4, , 0, 0 T a = , 22 4, , 4, 0 T a = ， 33 4, , 4, 4 T a = , 44 4, , 0, 4 T a = 在 1234 , aaaa 可任意选取时，下列结论正确的是( )，并说明理由 (A) 123 , 必线性相关 (B) 123 , 必线性无关 (C) 1234 , 必线性无关. (D) 1234 , 必线性相关 解 如第 5 题分析, 计 算矩阵 123 123 444 044 004 aaa = 的秩, 因为该矩阵的第一第三 第四行第一第二第三列交叉元素构成的 3 阶子 式 444 0 4 4 64 0 004 = , 所以这个 矩阵的秩至 少为 3, 同时 考虑到该矩阵列数为 3, 因此该矩阵的秩为 3 等 于向量组中向量的个数, 因此 123 , 必线性无关. 因此(B)是正确的, 而(A)是错误的. 再计算 矩阵, 1234 1234 4444 0440 0044 aaaa = 的秩, 该矩阵的秩和 1234 , aaaa的取值有关, 当 1234 0 aaaa = = = = 时秩为 3, 当123 4 0, 1 aaa a = = = = 时秩为 4. 而 当秩为 3 时 矩阵的秩小于向量个数, 此时向量组线性相 关; 而当秩 为 4 时矩阵 的秩等于向量的个数, 此 时向量组线性无关. 因此 选项(C), (D) 都不正 确. 综上所述应选填 B . 7. 指出下述 论断正确的是( )，并说明理由 (A) 如果当 12 0 r kk k = = = = 时, 11 2 2 rr kk k O + + = ，则 12 , r 线性无 关. (B) 若 12 , r 线性相关，则存在全不为零的数 12 , r kk k ，使得 11 2 2 rr kk k O + + = . (C) 若 12 , r 线性 无关, 12 , s 线性无 关, 则 12 , r , 12 , s 线性 无关. (D) 若 12 , r 线性无关，则其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. (E) 若 12 , r 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合. 解 (A) 设 12 1 ,0, 2 ,0 TT = = , 显然 11 2 2 1 2 00 kk O +=+= , 但是 12 2 2 1 ,0 2 ,0 TT O += + = , 说明 12 , 是线性相关的, 所 以该结论不正确. (B) 根据线性相关的定义, 只要求存在不全为零的数 12 , r kk k ，使得 11 2 2 rr kk k O + + = . 所以该选项也是不正确的. (C) 设 12 1, 0 , 0, 1 TT = = , 显然 12 , 线性无关. 再设 12 2, 0 , 0, 2 TT = = , 显然 12 , 也是线性无关的. 但是对于 12 , , 12 , 有 1 212 22 O += 成立, 所以 12 , , 12 , 线性相关. 该 选项也不正确. (D) 正确. ( 反证) 假设 i 能被 12 1 1 , , , ii r + 线性表示, 则存在不全为零的 数组 1 11 , , , ii r k kk k + 使得 11 1 1 1 1 i i i i i rr k kk k + = + + + 成立, 这样就有 11 1 1 1 1 i i i i rr i k kk k O + + + + = , 所以 12 , r 线性相关, 而这与题 设矛盾, 所以向量组线性无关时其中每一个向量都不是其余向量的线性组合这个结论是正 确的. (E) 错误。例如 与 线性相关，但 不是 向量的线性组合. 综上所述应选填 D . 8. 设 123 , 是线性无关的向量组，判断下述 123 , 是线性相关，还是线性无关： (1) 1 1 2 2 2 33 3 1 , ,; = = = (2) 1 1 2 2 2 33 3 1 , ,; = += += (3) 1 1 2 2 2 33 3 1 , ,. t = = = 解 (1) 设 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 则有 11 2 2 2 3 33 1 ( )( )( ), kk kO + + = 即 13 1 21 2 32 3 ( )( )( ) kk kk kk O + + = . 因为 123 , 线性无 关, 所以必有 13 21 32 0 0 0 kk kk kk = = = , 又因为该齐 次线性方 程 组的系数矩 阵的行列式 10 1 11 0 0 0 11 = , 所以方程组有非零解, 即存在不全为零的 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 因此 123 , 线性相关. (2) 设 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 则有 11 2 2 2 3 33 1 ( )( )( ), kk kO + + = 即 1 31 2 12 3 23 ( )( )( ) kk kk kk O + + = , 因为 123 , 线性无关, 所以必有 13 21 32 0, 0, 0. kk kk kk = += += 又因为该齐次线性方程组的系数 矩阵的行列式 10 1 11 0 0 01 1 = , 所以方程组有非零解, 即存在不全为零的 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 因此 123 , 线性相关. (3) 设 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 则有 11 2 2 2 3 33 1 ( )( )( ), k k k tO + + = 即 1 31 2 12 3 23 ( )( )( ) k tk k k k k O + + = . 因为 123 , 线性无关, 所以必有 13 21 32 0 0 0 k tk kk kk = = = , 又因为该齐次线性方程组的系数 矩阵的行列式 10 1101 0 11 t t = , 所以 1 t = 时, 方程组只有零解, 即不存在不全为零的 123 , kkk 满足 11 2 2 33 kk k O += , 此时 123 , 线性无关. 当 1 t = 时, 方程组有非零 解, 故此时 123 , 线性相关. 9. 判断向量 组 1 1, 1, 1, 1 T = , 2 , T abcd = ， 222 2 3 , T abcd = , 333 3 4 , T abcd = 线性相关还是线性无关，要求说明理由( 其中 , abcd 为互异的数). 解 如第 5 题分析, 计算矩阵 1234 的秩, 因为 1234 1234 T = , 而 1234 T 是一个范德蒙德行 列式, 由于 , abcd 为互异的数, 所以 1234 0 T . 因此 1234 0 , 据此可知 1234 是满秩的, 即秩 为 4, 与向量 个数相 同, 所以该向 量组线性无关. 10证明： 设 P t t t s , , , 2 1 使得 0 2 2 1 1 = + + + s s t t t ，则有 0 ) ( 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 = + + + + + + + + s s s s s s t k t k t k t t t t 。 因为 s , , , 2 1 线性无关，所以 0 1 1 1 1 1 2 1 = + + + = = = = s s s s t k t k t t t t 。所 以 0 2 1 = = = = s t t t 。 习题 4.3 3 证明：设向量组(I) 、(II) 的极大无关组分别为(III) 、(IV) 。则有(I) 与(III) 等价，(II) 与(IV) 等价。 所以(III)能用(I)线 性表示，(II) 能用(IV)线性 表示。 因为(I)能用(II)线性 表示， 所以 (III) 能用(IV) 线性表示。因为(III) 线性 无关，所以(III) 中所含向 量的个数 (IV) 中所含向 量的个数，即秩(I) 秩(II) 。 4 证明： 由题设易知向量组 , , , 1 1 r 可由 r r , , , 1 1 线性表示， 下面只需证明 r 可由 , , , 1 1 r 线性表示即可。 因为 可由 r r , , , 1 1 线性表示，所以存在数 r r k k k , , , 1 1 使得 r r r r k k k + + + = 1 1 1 1 。因为 不能经 1 1 , , r 线性表示，所以 0 r k 。 所以 ) ( 1 1 1 1 1 + + = r r r r k k k ，即 r 可由 , , , 1 1 r 线性表示。 5 证明： 因为 , , , , 1 线性相关， 所以存在不全为零的数 t r k k k s s , , , , , 1 1 使得 t r k k k r r r r + + + + + 1 1 1 1 。下面分情况对 t r, 是否为零进 行讨论（四种情况） 。略 。 6 证明：(1) 因为 2 , 3 , 4 线性无关, 所以 2 , 3 必线形无关, 又因为 1 , 2 , 3 线 性相关, 所以 1 能经 2 , 3 线性表示, 并且表 示方法唯一. (2) 若 4 能经 1 , 2 , 3 线性表示, 不妨设表达式为 4 11 2 2 33 kk k =+, 根据 (1) 1 能经 2 , 3 线性表示, 不妨设表达式为 1 12 23 tt = + , 把 1 带入到 4 11 2 2 33 kk k =+ 中得 4 112 23 22 33 1 1 2 2 1 2 3 3 ( ) ( )( ) k t t k k kt k kt k =+=+ 即有 41 1 2 21 2 3 3 ( )( ) kt k kt k O += , 从而得到 2 , 3 , 4 线性相关, 这与题 意中 2 , 3 , 4 线性无关矛盾! 所以 4 不能经 1 , 2 , 3 线性表示. 习题 4.4 3 解：由 1234 = 1211 1211 2332 0 1 10 10 11 0 0 2 2 2 113 000 3 , 可得秩( 1234 )=4, 这四个向量线性无关, 所以该向量组是 4 P 中的一组 基. 因为 1234 1 2 11 7 0 110 0 0 0 11 3 000 1 4 , 所以方程组 1234 X = 的解为 1 2 3 4 6, 1, 1, 4. x x x x = = = = 所以向量 在该基下的坐标为 6, 1, 1, 4 T 。 4 解：(1)由 123 1 = 110 1 110 1 011 0 011 0 101 3 001 1 可知 123 1 X = 的解为 1 2 3 2, 1, 1. x x x = = = 所以 1 =2 1 2 + 3 . 同样可计算得 2 = 1 + 2 + 3 ; 3 = 1 2 2 +3 3 . 所以从基( ) 到基( ) 的 过渡矩 阵为 211 11 2 113 M = . (2) 1 X MX = = 1 2 3 211 1 5 11 2 1 3 113 3 2 3 = , 所以 坐标为 252 , 333 T 。 8 解：因为 2 056 1013 1 336 0134 1121 0010 1 013 0001 , 所以秩( 1234 , )=4, 所以 1234 , 可作为 4 P 的一组基. 设向量 , T abcd = , 则它 在常用基下的坐标为 , T abcd . 则有 1234 a b c d = , 即要求 1234 () a b EO c d = . 求解方程组 2 056 1 336 () 1121 1 013 EX O = 得解为 , T X kkk k = , 所以所求 的向量 , T kkk k = ( k 为任意值). 习题 4.5 1 ，2 思路 ：验证 3 条。 5 思路：即 证 , 与 , 等价。 习题 4.6 2 思路：即 说明这是解空间的一组基。 4 思路：注 意要指出齐次线性方程组的基础解系只含有一个向量。 7 证明：(1) 因为 AB O = , 所以 秩( A)+秩( B) n , 由于秩( B)= n, 所以秩( A) 0 , 由此秩( A)=0, 即得 AO = . (2) 由题意 知 AB B = , 所以 () A EB O = , 利用(1) 可知 AE O =, 因此 AE = . 9 证明： 先 证必要性, 根据等价标准形可知存在矩阵 11 , mn RS ，秩( R)=秩( S )=1, 使 A= RS . 令 12 , m aa a 为 R 的 m 个分量, 12 , , n bb b 为 S 的 n 个分量, 则因为秩 ( R )= 秩( S )=1 所以 12 , m aa a 和 12 , , n bb b 都不全为零. 同时因为 A= RS 即得 ij i j a ab = (i=1,2, m; j =1,2, n)成立. 再证充分性, 根据题意存在 m 个不全为零的数 12 , m aa a 及 n 个不全为零的数 12 , , n bb b 使 ij i j a ab = ( i =1,2, , m ; j =1,2, , n ) 只需令 1 2 12 , , , , T mn Baa a Cbb b = = , 则 ij mn a = BC. 因为 秩( ij mn a ) 秩( B ) 1 , 又由于 12 , m aa a 和 12 , , n bb b 都不全为零, 所以 ij mn a 中必有一非零元素, 因此秩( ij mn a )0, 据此可得秩( ij mn a )=1. 10 证明：(1) 由于秩( A)=n, 所以 0 A , 而 AA A E = , 在等式两边同乘 1 A 可得 1 () AA E A = , 据此可知 * A 是可逆的, 所以秩( * A )=n. (2) 秩( A) n-1 时, 根据矩阵秩的定义可知 A 的所有 1 n 阶子式都为 0, 而 * A 的元 素就是 A 的所有 1 n 阶子式, 所以 * A 的元素都是 0, 即 * A =O, 所以秩( * A )=0. (3) 当秩( A )=n-1 时, A 不是满秩的, 所以 0 A = . 又 因为 AA A E = , 所以 AA O = , 据此可知秩( A)+ 秩( * A ) n , 而秩( A)=n-1, 所以秩( * A ) 1 . 同时由 于秩( A)=n-1, 根据矩阵秩的定义可知 A 至少有一个 1 n 阶子式不为零, 而 * A 的元 素就是 A 的所有 1 n 阶子式, 所以 * A 中至少有一个元素不为零. 由此可知秩( * A ) 1 , 所以秩( * A )=1. 14思路： 利用分块矩阵 0 0 0 , A B E AB E n C R n 。 习题 4.8 6 证明：因 为 与 12 , m 均正交, 所以 ( , ) 0, 1, 2, , . i im = = 因此 11 (, ) (, ) mm ii i i ii kk = = = 0 = , 所以 与 12 , m 的线性组 合 1 m ii i k = 都正 交. 7解： 设 1234 , T xxxx = , 根 据题意 为单位向量可知 2222 1 234 1 xxxx += .(1) 同时 与 123 , 都正交, 据此可 得 1 1234 2 1234 3 123 4 ( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) 2 3 0. xxxx xxxx xxx x =+= =+= =+= 从而可解 得 1 2 3 4 4 , 3 0, 1 , 3 . xt x xt xt = = = = ( 其中t 为任意取值). 又因 为条件(1) 可知 3 26 t = , 所以 1234 , T xxxx = = 1 4, 0, 1, 3 26 T . 11 解：(1) 因为 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 (,)(, )(, )(, ) (,)(,)(,)(,) (,)(, )(,)(, ) (,)(,)(,)(,) = 1000 0100 0010 0001 , 所以 1234 , 是 4 R 的一组标准正交基. (2) 由（1 ）知 1234 1234 (234 ,234 ) =+ + 30 = ; 因为 在 1234 , 下的坐 标为 1 ,2 ,3 ,4 T , 而 在 1234 , 下的坐 标 为 1234 (, ) , (, ) , (, ) , (, ) T = 2, 2, 0, 0 T , 所以( , )=( 1 ,2 ,3 ,4 T , 2, 2, 0, 0 T ) 32 = . 15 解：因为 21 11 3 1 1 10 1 11 10 1 0 1 1 1 5 , 所以方程组的一个基础 解系为 12 3 0, 1, 1, 0, 0 , 1, 1, 0, 1, 0 , 4, 5, 0, 0, 1 TT T = = 先进行正交化得到 11 0, 1, 1, 0, 0 ; T = = 21 22 1 11 (,) 11 1, , , 1, 0 (,) 2 2 T = = ; 31 32 33 1 2 11 2 2 (,) (, ) 7 6 6 13 , , , ,1 (,) (, ) 5 5 5 5 T = = 再进行单位化得到 1 1 1 1 0, 1, 1, 0, 0 ; 2 T = = 2 2 2 1 2, 1, 1, 2, 0 10 T = ; 3 3 3 = = 1 7, 6, 6, 13, 5 3 35 T = . 所以 123 , 即为所求的标准正交基. 习题 4.11 2 证明：(1) 因为 AX O = 的解均为 BX O = 的解, 所以 AX O = 的基础解 系中的解也 都 是 BX O = 的解, 所以 BX O = 的基础解系中所含的向量的个数不少于 AX O = 的基 础解系中所含向量的个数. 而 BX O = 的基础解系中所含的向量的个数为 n- 秩(B), AX O = 的基础解系中所含向量的个数为 n- 秩(A), 因此 n- 秩(B) n- 秩(A), 所以秩(A) 秩(B). (2) 因为 AX O = 与 BX O = 同解, 所以 AX O = 的基础解系也就是 BX O = 的基础 解系, 所以两者的基础解系所含向量个数相同, 因此 n- 秩(B)= n- 秩(A), 即有秩(A)= 秩 (B). (3) 因为 秩(A)= 秩(B), 所以 n- 秩(B)= n- 秩(A), 据此可知 AX O = 和 BX O = 的基础解 系所含向量的 个数相同. 因为 AX O = 的解均为 BX O = 的解, 所以 AX O = 的某一基 础解系 12 , t ( t = n- 秩(A) 也都是 BX O = 的 解, 如果 AX O = 与 BX O = 不同 解, 则 BX O = 的解中存在一个解 不是 AX O = 的解, 则 一定不能被 12 , t 线性表示, 所以 12 , , t 线性无关, 这样 BX O = 的解中至少含有 1 t + 个解线性 无关, 即 BX O = 的基础解系所含向 量的个数大 于等于 1 t + , 这与 AX O = 和 BX O = 的基础解系所含向量的个数相同矛盾. 所以 AX O = 与 BX O = 不同解的假设是不成 立的, 因此 AX O = 与 BX O = 同解. (4) 设 11 12 , 00 00 AB = = , 显然满足秩(A)= 秩(B), 但是 1 2 1, 1. x x = = 是 AX O = 的一个解, 但 是不是 BX O = 的解. 所以不能导出 AX O = 与 BX O = 同解. 3 证明：首先由题设可得齐次线性方程组 0 , 0 = = BAX AX 同解。然后去证明 0 , 0 = = BACX ACX 。 4 证明： 易 证明 AX O = 的解都 是 CAX O = 的解, 又 因为秩(CA)= 秩(A) ，根 据 本节第 2 个习题(3) 可知 AX O = 和 CAX O = 同解. 同样易证 ABX O = 的解都是CABX O = 的解. 另一 方面, 设 是 CABX O = 的任意 一个 解则有 CAB O = , 即 () CA B O = , 可知 B 是 CAX O = 的一个解, 已经证明 AX O = 和 CAX O = 同解, 所以 B 也一 定是 AX O = 的解, 即有 AB O = , 所以 也就是 ABX O = 的解, 据此可得 CABX O = 的解也一定是 ABX O = 的解, 所以 CABX O = 和 ABX O = 同解. 根据 本节第 2 个习题(2)可得秩(CAB)= 秩(AB). 5 证明： 6 证明： （1 ）要证 ) ( ) ( ) ( + = + ，即证 0 ) ( ) ( ) ( = + ，等价 与证明 0 ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( = + + 。 因为 保持内积，所以由内积的双线性性得 0 ) 0 , 0 ( ) ) ( , ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ), ( ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( = = + + = + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + + 。
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