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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：_ 姓名：_ 班级：_ 考号：_题号一二三总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1（2010福建理2）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题2已知当mn取得最小值时，直线与曲线的交点个数为 3已知圆与抛物线的准线相切，则的值为 . 4已知椭圆和圆，椭圆的左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆的右焦点.(1) 若点P是曲线上位于第二象限的一点，且的面积为求证：(2) 点M和N分别是椭圆和圆上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.5设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)_必在圆x2y22上必在圆x2y22外必在圆x2y22内解析：由e，得a2c，bc.所以x1x2，x1x2.于是，点P(x1，x2)到圆心(0,0)的距离为 b0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 三、解答题7已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值8设椭圆的方程为1（m，n0），过原点且倾角为和（0的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，(）用、m、n表示四边形ABCD的面积S；(）若m、n为定值，当在（0，上变化时，求S的最小值u；(）如果mn，求的取值范围. （1995上海，24）93.（）设经过原点且倾角为的直线方程为y=xtan，可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时0，所以四边形ABCD的面积S4|xy|（）S（1）当mn，即1时，因为m2tan2nm，当且仅当tan2时等号成立，所以由于0，0tan1，故tan得u2mn（2）当m1时，对于任意012，由于因为0tan1tan21，m2tan1tan2n2m2n20，所以（m2tan2）（m2tan1）0，于是在（0，上，S是的增函数，故取，即tan1得u所以u（）（1）当1时，u=2mnmn恒成立.（2）当1，即有（）24（）+10，所以，又由mn时，的取值范围为（2，1）（1，）评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.9已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）图82594.如图825，设点P、Q、R的坐标分别为（12，yP），（x，y），（xR，yR），由题设知xR0，x0.由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得：由点O、Q、R共线，得,即由题设|OQ|OP|=|OR|2，得.将、代入上式，整理得点Q的轨迹方程（x1）2+=1（x0）.所以，点Q的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.10设顶点为的抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于 点，圆（圆心为）过、三点，恰好与轴相切 求证： 11已知圆：，定点，动圆过点，且与圆相内切。 (1）求点的轨迹的方程； (2）若过原点的直线与（1）中的曲线交于两点，且的面积为，求直线的方程。12设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆(1)求椭圆的离心率； (2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程； (3)设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围13已知椭圆的右焦点为,上顶点为,为上任一点, 是圆的一条直径.若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切.(）求椭圆的离心率；(7分)(）若的最大值为49，求椭圆的方程.(8分)14如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除，再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为，求椭圆段的方程；(）在（）的条件下，已知为过的一条直线，与“椭圆帽”的两个交点为，若，求直线的方程；(）在（）的条件下，如图，已知为过的一条直线，与“椭圆帽”的两个交点为，为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足，求的取值范围.P分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出点的坐标，易得直线方程；关注的实质，涉及分类讨论.解答：(）由题意：，则；则椭圆段的方程：；(）由题意：，则，设，则， 则，则直线的方程是：；(）（1）为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足，则必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则， ，所以：，设(1）时，在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则则；(2）时，在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则，且则；综上可知：的取值范围是.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8已知：“过圆上一点的切线方程是.”(）类比上述结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）；(）过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，求过两点的直线方程；(）若过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，且恰好通过椭圆的左焦点，证明：点在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（）的结论，而（）的解决则体现了方法的类比.解答：(）椭圆上一点的切线方程是；(）设.由（）可知：过点的椭圆的切线的方程是：；过点的椭圆的切线的方程是：；因为都过点，则，则过两点的直线方程是：(）由（）知过两点的直线方程是：， 由题意：在直线上，则，则 点在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.15 已知椭圆x2+=1(0b0时，求椭圆离心率的取值范围； (2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论16若椭圆的左右焦点分别为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为，以原点为圆心、短轴长为直径作圆，过圆外一点作圆的两条切线。（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最小值；（3）在（2）的条件下，若点在椭圆内，求的范围。17已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是OBC的三个顶点如图83.(）写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；(）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹（2002北京，21）18已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为 (1) 若椭圆的离心率，求的方程；(2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程19如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（1）求边所在直线方程；（2）求三角形外接圆的方程；（3）若动圆过点且与的外接圆内切，求动圆的圆心所在的曲线方程20已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为是的中点，点的轨迹为（1）求轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与轨迹交于两点，与轴交于点。若证明：为定值。21已知椭圆C：y21，过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A、B两点（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值22已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的外接圆(点C为圆心)(1)求圆C的方程；(2)设圆M的方程为(x47cos )2(y7sin )21，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求的最大值和最小值23设A为椭圆上任一点，B为圆上任一点，求的最大值及最小值24在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，点为圆上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心恰与点重合，折痕与直线交于点（1）求动点的轨迹方程；（2）过动点作圆的两条切线，切点分别为，求MN的最小值；（3）设过圆心的直线交圆于点，以点分别为切点的两条切线交于点，求证：点在定直线上 25 已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆的右焦点.(1) 若点P是曲线上位于第二象限的一点，且的面积为求证：(2) 点M和N分别是椭圆和圆上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.26. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程 ； (2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G? 请说明理由.27.已知双曲线的左右焦点为、，P是右支上一点，于H，（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过、，P的圆截轴线段长为8，求该圆的方程28（2013年高考福建卷（文）如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.(1)若点的纵坐标为2,求;(2)若,求圆的半径.29（2013年高考课标卷（文）已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.()求的方程;()是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.30已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为（m，n）(）当mn0时，求椭圆离心率的范围；(）直线AB与P能否相切？证明你的结论
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