河南省新乡市学高二上期末数学试卷理科解析.doc

2015-2016学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1若命题“pq”为真，“p”为真，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真2不等式3x2y60表示的区域在直线3x2y6=0的（）A右上方B右下方C左上方D左下方3双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A2BC3D24等差数列an中，若a2+a8=15a5，则a5的值为（）A3B4C5D65如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）A +B +C +D +6已知ABC的周长等于20，面积等于10，a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A=60，则a为（）A5B7C6D87命题“xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10Bx0R，xx+10Cx0R，xx+10DxR，x3x2+108抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A4BCD89已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD10已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn其中正确命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个11已知等比数列an中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A（，1B（，0）（1，+）C3，+）D（，13，+）12E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF=（）ABCD二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为14设Sn为等差数列an的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACB=90，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为16已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与C相交于A、B两点，若=三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18在ABC中，bsinA=acosB（）求角B的大小；（）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值19已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，数列an的前n项和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn20已知曲线C上的点到直线x=2的距离比它到点F（1，0）的距离大1（）求曲线C的方程；（）过点F（1，0）做斜率为k的直线交曲线C于M，N两点，求证： +为定值21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值22在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值，（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求OAB面积的最大值2015-2016学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1若命题“pq”为真，“p”为真，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真【考点】复合命题的真假【专题】阅读型【分析】本题考查的是复合命题的真假问题在解答时，可先结合条件“p或q”为真命题判断p、q的情况，根据p为真，由此即可获得p、q 的真假情况，得到答案【解答】解：由题意可知：“pq”为真命题，p、q中至少有一个为真，p为真，p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立；当p假、q真，故选D【点评】本题考查的是复合命题的真假问题在解答的过程当中充分体现了命题中的或非关系值得同学们体会反思属基础题2不等式3x2y60表示的区域在直线3x2y6=0的（）A右上方B右下方C左上方D左下方【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】转化思想；综合法；不等式【分析】取坐标原点，可知原点在直线3x2y6=0的左上方，（0，0）代入，60，故可得结论【解答】解：取坐标原点，可知原点在直线3x2y6=0的左上方，（0，0）代入，得3x2y6=60，3x2y60表示的区域在直线3x2y6=0的左上方故选：C【点评】本题考查二元一次不等式表示的平面区域，通常以直线定界，特殊点定区域，属于基础题3双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A2BC3D2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：由题得：其焦点坐标为（4，0）渐近线方程为y=x所以焦点到其渐近线的距离d=2故选：D【点评】本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4等差数列an中，若a2+a8=15a5，则a5的值为（）A3B4C5D6【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质化简已知的式子，从而求出a5的值【解答】解：由题意得，a2+a8=15a5，所以由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15a5，解得a5=5，故选：C【点评】本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题5如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）A +B +C +D +【考点】空间向量的加减法【专题】空间向量及应用【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答【解答】解：由题意， =；故选A【点评】本题考查了空间向量的加法，满足三角形法则；比较基础6已知ABC的周长等于20，面积等于10，a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A=60，则a为（）A5B7C6D8【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由题意可得，a+b+c=20，由三角形的面积公式可得S=bcsin60，结合已知可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c22bccos60可求a【解答】解：在ABC中，由题意可得，a+b+c=20，S=bcsin60=10，bc=40，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccos60=（b+c）23bc=（20a）2120，解方程可得，a=7故选：B【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题7命题“xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10Bx0R，xx+10Cx0R，xx+10DxR，x3x2+10【考点】命题的否定【专题】对应思想；演绎法；简易逻辑【分析】根据已知中原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案【解答】解：命题“xR，x3x2+10”的否定是：x0R，xx+10，故选：C【点评】本题考查的知识点全称命题的命题，难度不大，属于基础题8抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A4BCD8【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（1，2），AKF的面积是4故选C【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视9已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程【解答】解：椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的焦点坐标F（0，），设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，b=1，椭圆方程为故选A【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用10已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn其中正确命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】平面的基本性质及推论【专题】阅读型【分析】由线面平行的性质定理判断出不对，对于选项用平行和垂直的结论以及面面垂直的判定定理判断【解答】解：正确，课本例题的结论；正确，同垂直与一条直线的两个平面平行；正确，由m，mn得，n，又因n，所以不对，由线面平行的性质定理得，当m时成立；否则不一定成立即正确的有故选D【点评】本题考查了空间中的线面位置关系，用了线面平行的性质定理，平行和垂直的结论以及面面垂直的判定定理判断做这一类型题目的关键在于对知识的熟练掌握程度11已知等比数列an中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A（，1B（，0）（1，+）C3，+）D（，13，+）【考点】等比数列的前n项和【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围【解答】解：等比数列an中，a2=1当公比q0时，；当公比q0时，S3（，13，+）故选D【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用12E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF=（）ABCD【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】约定AB=6，AC=BC=，先在AEC中用余弦定理求得EC，进而在ECF中利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案【解答】解：约定AB=6，AC=BC=，由余弦定理可知cos45=；解得CE=CF=，再由余弦定理得cosECF=，【点评】考查三角函数的计算、解析化应用意识二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为11【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】先画出约束条件，的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=4x+y的最大值【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，3），B（1，0），C（0，1）将三个代入得z的值分别为11，4，1直线z=4x+y过点A （2，3）时，z取得最大值为11；故答案为：11【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解14设Sn为等差数列an的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=15【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a9【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，若S3=3，S6=24，解得a1=1，d=2，a9=1+82=15故答案为：15【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACB=90，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），B（0，1，0），=（1，1，1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0），设直线A1B与平面BB1C1C所成角为，则sin=直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为故答案为：【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与C相交于A、B两点，若=【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】压轴题【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），=3，y1=3y2，e=，设a=2t，c=t，b=t，x2+4y24t2=0，设直线AB方程为x=sy+t，代入中消去x，可得（s2+4）y2+2styt2=0，y1+y2=，y1y2=，2y2=，3=，解得s2=，k=故答案：【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：axa+1，所以a=时，p：由pq为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围【解答】解：p：，q：axa+1；（1）若a=，则q：；pq为真，p，q都为真；，；实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；，；实数a的取值范围为【点评】考查解一元二次不等式，pq真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念18在ABC中，bsinA=acosB（）求角B的大小；（）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）在ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得 B 的值（）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c22accosB，求得a的值，可得c=2a的值，求解即可【解答】解：（）在ABC中，bsinA=acosB，由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB，故有tanB=，B=（）sinC=2sinA，c=2a，由余弦定理b2=a2+c22accosB，即9=a2+4a22a2acos，解得a=，c=2a=2【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题19已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，数列an的前n项和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2an=3+2（n1）=2n+1数列an的前n项和Sn=n2+2n（）bn=，数列bn的前n项和Tn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知曲线C上的点到直线x=2的距离比它到点F（1，0）的距离大1（）求曲线C的方程；（）过点F（1，0）做斜率为k的直线交曲线C于M，N两点，求证： +为定值【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；（）直线y=k（x1）与抛物线方程联立，可得y2y4=0，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求出+为定值【解答】（）解：因为动点P到直线x=2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，所以动点P到直线x=1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y2=4x（）证明：直线y=k（x1）与抛物线方程联立，可得y2y4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），y1+y2=，y1y2=4，+=+=1，+为定值【点评】本题考查抛物线定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD证明AD平面PBE，然后证明PBAD；（）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角APDC的余弦值【解答】（）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BDPA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且BAD=60，PAD和ABD为两个全等的等边三角形，则PEAD，BEAD，AD平面PBE，（3分）又PB平面PBE，PBAD；（5分）（）解：在PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，PEB=90，即PEBE，又PEAD，PE平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（1，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由 得：，令y=1，则x=，z=1， =（，1，1）；则=1，cos=，（11分）由题意知二面角APDC的平面角为钝角，所以，二面角APDC的余弦值为（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直，二面角的平面角的求法，考查逻辑推理以及计算能力22在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值，（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求OAB面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意求得a，结合椭圆离心率求得c，再由隐含条件求得b；（2）由（1）求得椭圆方程，设出P的坐标，得到过P的直线l的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式结合根与系数的关系求得弦长，再由点到直线的距离公式求出O到直线l的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值【解答】解：（1）由题设知a=2，e=，c=，故b2=43=1因此，a=2，b=1；（2）由（1）可得，椭圆C的方程为设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）若k=1，则直线l的方程为y=xm联立直线l与椭圆C的方程，即将y消去，化简得x22mx+m21=0从而有，x1+x2=，x1x2=，因此，|AB|=，点O到直线l的距离d=，|AB|d=|m|，因此，（ 5m2）m2（）2=1又2m2，即m20，4当5m2=m2，即m2=，m=时，SOAB取得最大值1【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了再由与圆锥曲线位置关系的应用，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题