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1 概率统计练习题 （第 2 版） 第 1 章 1. 一 口袋 装有 10 只 球 ， 其中 6 只是 红球 ，4 只 是 白球 ， 今 随机 地从 中同 时 取出 2 只球 ， 试 求取到 二只 球颜 色相 同的 概率。 2. 一 口袋 装有 10 只 球 ， 其中 6 只是 红球 ，4 只 是 白球 ， 今 随机 地从 中同 时 取出 2 只球 ， 试 求： （1 ）2 只都 是红 球的 概率 ； （2） 一只 是红 球一 只是白 球的 概率 。 3. 在 8 件 产品 中有 5 件 是 一级品 和 3 件 是二 级品 ， 现从中 任取 2 件， 求取 得 的 2 件中 只有 一件是 一级 品的 概率. 如 果： （1 ）2 件产 品是 无放 回的逐 次抽 取； （2）2 件 产品是 有放 回的 逐次抽 取 。 4. 将 15 名 新生 平均 分 配 到三个 班级 中去 ， 新 生中 有三名 是优 秀生 ， 问 每一 个班级 各分 配到 一名优 秀生 的概 率是 多少 ？ 5. 盒 中有 10 只 外形 相同 的晶体 管， 其中 有 4 只次 品，6 只正 品， 现 从中 随机 地抽取 一只 测 试，测 试后 不放 回， 直到 找出 4 只次 品为 止， 求最 后一只 次品 晶体 管在 第 10 次测试 时发 现 的概率 。 6. 盒 中装 有 10 只外 形相 同的晶 体管 ， 其 中有 4 只 次品，6 只 正品， 现从 中随 机地抽 取一 只 测试 ， 测 试后 不放回 ， 直 到找 出 4 只 次品 为止 ， 求 最后一 只次 品晶 体管 在 第 5 次测 试时 发现 的概率 。 7. 从 1， 2， ， 30 这 30 个数中 随机 地选 取 10 个 不 同的数 ， 求 所取 出的 数都 是偶数 的概 率。 8. 袋 中装 有 5 个白 球，3 个黑球 ，4 个红 球， 从 中一 次取出 三个 球， 问三 个球 是同色 球的 概 率。 9. 为 了减 少比 赛次 数， 把 21 个 球队 分成 三组(每组 7 个队) 进 行比 赛， 求其 中最 强的三 个队 被分在 不同 组内 的概 率。 10. 从 一付 扑克 的 13 张 黑 桃中， 一张 接一 张地 有放 回地抽 取 3 次， 求抽 到有 同号的 概率 。 11. 已知 c B A P b B P ) ( , ) ( ， c b 0 ， 求 ) ( B A P 12. 设 A ，B ，C 是 三 个 事 件 ， 且 5 1 ) ( ) ( ) ( C P B P A P ， 0 ) ( ) ( BC P AB P ， 7 1 ) ( AC P ，求 A ，B ，C 至 少有 一个 发生的 概率 。 13. 已知 a A P ) ( ， b B P ) ( ， c B A P ) ( ，求 ) ( B A P 及 ) ( B A P 。 14. 已知 1 . 0 ) ( A P ， 3 . 0 ) ( B P ， 2 . 0 ) | ( B A P 。 求： （1） ) (AB P ；（ 2） ) ( B A P ； （3） ) | ( A B P ；（ 4 ） ) ( B A P ；（ 5） ) | ( B A P 。 15. 在线段 AD 上任 取两 点， 将 AD 截为 三段， 记 事件 G 为： “这 三个 线段 能构成 三角 形” ， 求事 件 G 的 概率 。 2 16. 甲 乙两 艘轮 船驶 向一 个不能 同时 停泊 两艘 轮船 的码头 ， 它们 在一 昼夜 内任 何时刻 到达 是 等可能 的 ， 如 果甲船 的停 泊时间 是一 小时 ， 乙 船是 二小时 ， 求它 们中的 任何 一艘都 不需 要 等 待码头 空出 的概 率。 17. 从装有 3 个 白球 ，3 个 黑球的 甲箱 中， 随机 地取 出二个 球， 放入 装有 4 个 白球 与 4 个黑 球的乙 箱中 ，然 后再 从乙 箱中取 出一 球， 求此 球为 白球的 概率 。 18. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为 90% ，第二 个品种 的种 子发 芽率 为 96% ， 并 且已 知第 一个 品种 的种子 比第 二个 品种 的种 子多一 倍 ， 求 ： （1） 从中 任取 一粒 种子 ， 它能发 芽的 概率 ； （2） 如果 取到 的一 粒种 子 能发芽 ，那 么 它 是第 一个 品种的 概率 是多 少？ 19. 某 保险 公司 把被 保险 人分成 三类 ： “好 的” ， “ 一 般的” 与 “差 的” ， 统 计资 料表明， 对于 上述三 种人 而言 ， 在 一年 内出问 题的 概率 依次 为 0.05 ，0.15，和 0.30 ， 如 果 “ 好的” 被保 险 人占总 的保 险人 数 的 20% ， “一般 的” 占 50% ， “差 的 ”占 30% ， 试问 在固 定的 一年中 出问 题的人 在总 保险 人数 中占 多大的 比例 ？如 某人 在这 一年内 未出 问题 ， 他 是属 于 “ 好的 ” 的 概 率为多 少？ 20. 在 18 盒同 类电 子元 件 中有 5 盒是 甲厂 生产 的，7 盒是 乙厂 生产 的，4 盒 是 丙厂生 产的 ， 其余是丁 厂生 产的， 该四 厂的产品 合格 品率依 次为 0.8，0.7 ，0.6 ，0.5， 现任 意从某一 盒中 任取一 个元 件， 经测 试发 现是不 合格 品， 试问 该盒 产品属 于哪 一个 厂生 产的 可能性 最大 ？ 21. 无 线电 通讯 中 ， 由 于 随机干 扰 ， 当 发出 信号 “ ” 时 ， 收 到信 号为 “ ”. 不清 ” 和 “ ” 的概率 依次 为 0.7，0.2 和 0.1， 当发 出信 号“ ” 时 ，收到 信号 为“ ” ， “不 清” ， 和“ ” 的概率 为 0.9 ，0.1 和 0 ， 如 果整个 发报 过程 中 “ ” ， “ ” 出现 的概 率分 别为 0.6 ，0.4 ， 求 收 到信号 “不 清” 的概 率？ 又当收 到信 号为 “不 清” 时，原 发信 号是 什么 信号 的可能 性大 ？ 22. 某 校射 击队 共有 20 名 射手 ， 其中 一级 射手 4 人 ，二级 射手 8 人 ，三 级射 手 7 人，四 级 射手 1 人， 一， 二， 三， 四级射 手能 通过 预选 赛进 入正式 比赛 的概 率分 别 为 0.9 ，0.7 ，0.5 ， 0.2 ， 求任 选一 名射 手能 进 入正式 比赛 的概 率。 23. 两台机 床加工同 样的零件 ，第一台 出现废品 的概率 为 0.05 ，第二台 出现废品 的概率 为 0.02 ， 加工 的零 件混 放在 一起， 若第 一台 车床 与第 二台车 床加 工的 零件 数 为 54 ，求 ： （1） 任意 地从 这些 零件 中 取出一 个为 合格 品的 概率 ； （2） 若已 知取 出的 一个 零 件为合 格品 ，那 末， 它是 由哪台 机床 生产 的可 能性 较大？ 24. 已知产品 中 96% 为 合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合 格 品的概 率 为 0.98 ， 而 误认 废品为 合格 品的 概率 为 0.05 ， 求在 简化 法检 查下 被认 为是合 格品 的 一个产 品确 实是 合格 品的 概率。 25. 一 项血 液化 验 有 95% 的把握 将患 有某 种疾 病的 人鉴别 出来( 是阳 性) ， 但是 这项化 验用 于 健康人 也会 有 2% 的呈 阳性 ， 如果 这种 疾病 的患 者仅 占人口 的 0.5% ， 若某 人化 验的结 果呈 阳 性，问 此人 确实 患有 这种 疾病的 概率 是多 少？ 26. 共有 18 名 射手 ， 其 中 5 名命 中靶 的概 率为 0.8 ， 7 名命 中靶 的概 率为 0.7 ， 4 名命 中靶 的 概率 为 0.6 ，2 名命 中靶 的 概率 为 0.5 。 任意 选一 名射 手进行 一次 射击 ， 结果 未 能中靶 ， 试问 该射手 属于 哪一 组最 为可 能。 27. 设 某地 区成 年居 民中 肥胖者 占 10% ， 不 胖不 瘦 者占 82% ， 瘦 者 占 8% ， 又 知肥胖 者患 高 血压的 概率 为 20% ， 不胖 不瘦者 患高 血压 病的 概率 为 10% ，瘦 者患 高血 压病 的概率 为 5% ， 试求： （1 ） 该地 区居 民患 高 血压病 的概 率 ； （2 ） 若知 某 人患高 血压 ， 可否 断定 他 属于肥 胖者 ？ 3 28. 将 二信 息分 别编 码为 A 和 B 传 送出去 ，接 收站 接收时 ，A 被 误收作 B 的 概率为 0.02 ， 而 B 被误 收作 A 的 概率 为 0.01 ，信 息 A 与 信息 B 传送的 频率 程度 为 2 1 ，若 接收站 收到 的 信息 是 A ，问 原发 信息 是 A 的 概率 是多 少？ 29. 盒中有 12 个 乒乓 球， 其中 9 个 是新 的， 第一 次 比赛从 中任 取 3 个 ，赛 后 仍放 回 盒中 ， 第二次 比赛 时再 从中 任 取 3 个， 求第 二次 比赛 时取 出的球 都是 新球 的概 率。 30. 有 A ，B ，C 三 个盒 子 ，A 盒中有 一个 白球 和两 个黑球 ，B 盒中 有一 个黑 球和两 个白 球， C 盒 中有 三个 白球 和三 个 黑球， 扔一 骰子 以决 定选 盒， 若 出现 点数 为 1 ，2，3，选 A 盒 ， 若 出现点 数 为 4，选 B 盒 ， 若出现 点数 为 5 ，6 ， 则 选 C 盒 ， 再 从选 中的 盒中 任 取一球 ， 试求 ： （1） 取出 的球 为白 球的 概 率； （2 ）当 取出 的球 为白 球时 ， 问此 球分 别来 自 A ，B ，C 盒的 概率。 31. 炮 战中 ，在 距目 标 250 米，200 米，150 米处 射 击的概 率分 别 为 0.1 ，0.7 ，0.2 ，而 在各 距离处 射击 的命 中率 依次 为 0.05 ， 0.1 ， 0.2 ， 现 已知 目标被 击中 ， 求击 中目 标 的炮弹 是 在 200 米处射 击的 概率 。 32. 甲 ，乙 两个 盒子 里各 装有 10 只螺 钉， 每个 盒子 的螺钉 中各 有一 只是 次品 ，其余 均为 正 品， 现从 甲盒 中任取 二只 螺钉放 入乙 盒中 ， 再 从乙 盒中取 出两 只 ， 问从 乙盒 中取出 的恰 好 是 一只正 品一 只次 品的 概率 是多少 ？ 第 2 章 1. 设随机变量 X 的 分 布 函 数为 0 , ) 1 ( 0 , 0 ) ( x e x A x x F x ， 试确定常数 A ， 并计算 ) 1 | (| X P 。 2. 设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 是 a x a x a a x B A a x x F 1 arcsin 0 ) ( ( 其中 0 a ) 。 （1） 求系 数 A ， B 的值 ； （2 ） 计算 2 2 a X a P 。 3. 设 随机 变量 X 的分 布函 数 为 0 , 0 , ) 1 ( ) ( 2 x c x x b a x F （1） 求 c b a , , 的值； （2） 设含 有 y 的方程 0 2 4 4 2 X yX y ，求 y 无实 根的 概率 。 4. 5 个 零件 中有 一个 次品 ，从中 一个 个取 出进 行检 查，检 查后 不放 回 ， 直到 查到次 品时 为 止 。用 X 表示 检查 次数 ，求 X 的分布 函数 。 4 5. 已 知连 续型 随机 变量 X 的 分布函 数为 2 1 2 0 0 0 ) ( 2 x x Ax x x F 。 （1） 确定 常数 A ； （2 ）计算 ) 5 . 2 2 . 0 ( X P ； （3） 求 X 的概率 密度 。 6. 设 随机 变量 X 的概 率密 度 为 1 | 0 1 | | , 1 ) ( 2 x x x A x f | , 。 （1） 确定 系数 A ； （2 ）计算 5 . 0 5 . 0 X P ； （3） 求 X 的分布 函数 。 7. 设 随机 变量 X 的概 率密 度 为 x x A x f 其他 , 0 0 , sin ) ( 。 （1） 确定 常数 A ； （2 ）求出 X 的分布 函数 ) (x F ； （3 ）计算 4 3 2 X P 。 8. 设 随机 变量 X 的分 布函 数 为 x x B A x F , arctan ) ( 。 （1） 确定 常数 A 和 B ； （2） 计算 ) 1 1 ( X P ； （3 ）求 X 的概 率密 度。 9. 设 随机 变量 X 的概 率密 度 为 0 , 0 0 , ) ( 2 2 x x Axe x f a x ， 其中 0 a 。 （1） 确定 常数 A ； （2） 求 X 的分布 函数 ； （3 ） 计算 ) 1 0 ( X P 。 10. 设 随机 变量 X 的概 率密 度 ) ( , ) ( | | x Ae x f x 。 （1） 确定 常数 A ； （2 ） 计 算 X 落在 区间 （0, 1） 内的 概 率； （3 ）求出 X 的分布 函数 。 11. 在相 同的 条件 下， 对 目标独 立的 进 行 5 次射 击 ，如果 每次 射击 命中 率均 为 0.6 ，求 击中 目标次 数的 分布 律及 分布 函数。 12. 设 有产 品 200 件 ，其 中有 5 件次 品， 现从 中随 机的抽 取 30 件 ， 设 抽得 次 品件数 为 X ， 若 （1 ）每 次抽 取后 不放 回 ； （2） 每次 抽取 后放 回 。 分别求 X 的分 布律 。 13. 一 大批 产品 中有 15% 的次品 ， 进行 重复 抽样 检 查， 共抽 取 20 个样 品 。 问 取出 的 20 个样 品中最 大可 能的 次品 数 是 多少？ 此时 概率 是多 少？ 14. 设 随机 变量 X 服从 ) 2 , 10 ( 2 N ， （1 ）计算 ) 15 7 ( X P ； （2 ）求 d ，使 9 . 0 ) | 10 (| d X P 。 （ 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 ) (x 的值： 9 . 0 ) 28 . 1 ( ， 95 . 0 ) 645 . 1 ( ， 9332 . 0 ) 5 . 1 ( ， 9938 . 0 ) 5 . 2 ( ， 7734 . 0 ) 75 . 0 ( ， 8944 . 0 ) 25 . 1 ( ） 15. 设 随机 变量 X 服从 参数 为 3 的 指数 分布 ，求 随机 变量 ) 2 , min( X Y 的分布 函数 。 16. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 0 , 0 0 , 2 ) ( 2 x x xe x f x ， 求 随 机 变 量 2 X Y 的 概 率 密 度。 5 第 3 章 1. 已知 6 1 ) ( A P ， 3 1 ) | ( A B P ， 6 1 ) | ( B A P ，令： , , , , 发生 若 发生 若 发生 若 发生 若 B B Y A A X 0 1 2 1 。 试求： （1） ) , ( Y X 的联 合分 布律 ； （2） X 和Y 的边缘 分布 律 。 2. 若 ) , ( Y X 的联 合概 率密 度为 y x Ae y x f y x 其他 , 0 0 , 0 , ) , ( ) 2 ( 。 （1） 确定 常数 A ； （2 ）求 ) 1 , 2 ( Y X P ； （3） 求 X 和Y 的边 缘概率 密度。 3. 设 随机 变量 ) , ( Y X 的联 合概 率 密度为 , 0 0 , 0 , ) , ( 其他 y x ke y x f y x 。 （1 ） 确 定 常 数 k ； （2 ） 求 ) , ( Y X 的 分 布 函 数 ) , ( y x F ； （3 ） 计算 ) , ( Y X 落 在 区 域 1 0 , 2 2 0 | ) , ( x x y y x G 内的概 率 。 4. 设 二维 随机 变量 ) , ( Y X 的联 合 概率密 度函 数为 , 0 1 0 , ) , ( y x c y x f 其他 。 （1） 确定 常数c ； （2 ） 求 X 和Y 的边缘 概率 密度 ； （3 ）求 ) 1 ( Y X P 。 5. 某 射手 每次 打靶 能命 中 的概率 为 ) 1 0 ( p p ，若连 续独 立射 击 5 次， 记前 三次 中靶 数 为 X ， 后 两次中 靶数为Y 。 （1） 试写 出 ) , ( Y X 的联 合分布 律； （2 ）求 X 和Y 的 边缘分 布 律，并 说明 它们 各服 从什 么分布 ？ 6. 设 随机 变量 ) , ( Y X 的联 合概 率 密度为 , , 其他 0 1 | | 1 | | , ) ( ) , ( 2 y x y x k y x f 其中 k 是常数 。 （1） 试 确定 常数 k ；（ 2）求 X 和Y 的边缘概率 密度 ； （3） X 与Y 是否相互 独立？ 7. 已 知随 机变 量 ) , ( Y X 的联合 概 率密度 是 其他 , 0 1 | | , ) , ( y x y k y x f 。 （1） 试确 定常 数 k ； （2）求 X 和Y 的边 缘概率 密 度； （3） 试判断 X 与Y 是否相 互独 立？ 8. 已 知随 机变 量 ) , ( Y X 的联合 分 布律为 Y X 0 1 0 a b 1 c 0.5 已知 2 1 ) 0 | 1 ( X Y P ， 3 1 ) 0 | 1 ( Y X P ，求a ，b ， c 。 6 9. 设随机变量 X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 ) , ( Y X 的概率分布及关于 X 和 Y 的边缘 分布 的部 分数 值， 试 将剩 余数 值填 入表 中空 白处 （ 给出 解题 过程 ） 。 Y X 1 y 2 y 3 y i p 1 x 8 1 2 x 8 1 j p 6 1 10. 设随 机变量 ) 1 , 0 ( U X ，当 x X 时， 随机变量 x U Y 1 , 0 。（ 1）求 ) , ( Y X 的概 率密度 ； （2 ）求Y 的边 缘概 率密度；（ 3 ）求 ) ( Y X P 。 11. 设随 机变 量 ) , ( Y X 的联合 概 率密度 为 , 0 0 , 1 0 , 3 ) , ( 其他 x y x x y x f 。 （1） 求 X 和Y 的边 缘概 率密 度 ； （2） 求条 件概 率密 度 ) | ( | y x f Y X 和 ) | ( | x y f X Y ； （3 ）判断 X 与Y 是 否 独立；（ 4）求 ) 8 1 | 4 1 ( Y X P ； （5）求 ) 4 1 | 8 1 ( X Y P ；（ 6） 求随机 变量 Y X Z 的概 率密 度。 12. 设 X 和Y 是相互 独立 的随 机变量 ，其 概率 密度 分别 为 ) 0 ( 0 , 0 0 , ) ( A x x Ae x f Ax X ， ) 0 ( 0 , 0 0 , ) ( B y y Be y f By Y ， 又知随 机变 量 Y X Y X Z , 0 , 1 ，试求 Z 的分 布律及 其分 布函 数。 13. 设 随机 变量 X 与Y 相互独 立，且 在0, 2 上都 服从 均 匀分布。（ 1 ）设 ) , min( Y X Z ， 求 ) 1 0 ( Z P ；（ 2 ）求 ) , max( Y X U 的概 率密 度 。 14. 设 随机 变量 X 与Y 相互独 立，且 X 在0 ，1 上 服从 均匀 分布，Y 的概 率密 度为 0 , 0 0 , ) ( y y e y f y Y ， 试求随 机变 量 Y X Z 的概率 密度 。 15. 设 随机 变量 X 与Y 相互独 立 ， X 的概率 分布 为 ) 1 , 0 , 1 ( 3 1 ) ( i i X P ，Y 的概 率 密度为 , 0 1 0 , 1 ) ( 其他 y y f Y 。记 Y X Z ， 求： （1 ） ) 0 | 2 1 ( X Z P ；（ 2 ）Z 的概 率密度 。 7 第 4 章 1. 设 随机 变量 X 取非 负整 数 值 n 的概 率为 ! n B A p n n ，若 a EX ， 求： （1） B A, 的值， （2） DX 。 2. 袋 中装 有标着 1，2 ， ，9 号码 的 9 只 球， 从袋 中有放 回地 取出 4 只球 ， 求所得 号码 之 和 X 的数 学期 望。 3. 设 随机 变量 X 的分 布律 为 k k X P 2 1 ) ( ， ) , 3 , 2 , 1 ( k ，求 ) 2 (sin X E 。 4. 设 随 机 变 量 X 的分布律为 1 ) 1 ( ) ( k k a a k X P ( 常数 0 a ， , 2 , 1 , 0 k ) ，求 ) ( ), ( X D X E 。 5. 设 X 与Y 相互独 立， 概率 密 度分别 为 其他 , 0 1 0 , 2 ) ( x x x f X ， , 0 5 , ) ( ) 5 ( 其他 y e y f y Y ， 求 ) (XY E ， ) ( 2 Y e X E 。 6. 设 X 服从 均匀 分布 ，其 概 率密度 为 , 0 , , 1 ) ( 其他 b a b x a a b x f ，求 ) 4 ( 2 X E 。 7. 设 随机 变量 X 在 , 0 上服从 均 匀分布 ，求 ) (sin X E ， ) (sin X D 。 8. 某 射击 比赛 规定 ，参 赛 者每人 对目 标独 立射 4 发 子弹， 若 4 发 全不 命中 则 得 0 分， 若命 中 1 发， 则得 15 分； 若命 中 2 发， 则得 30 分； 若命 中 3 发， 则得 55 分； 若命 中 4 发， 则 得 100 分， 已知 某参 赛者 每发命 中率 为 5 / 3 。问他 能期 望得多 少分 。 9. 设 随机 变量 ) , ( Y X 的概 率密 度 为 其他 y x y x y x f , 0 2 0 , 2 0 , ) ( 8 1 ) , ( 求 EX ， DX ， EY ， DY 及 XY 。 10. 设 随机 变量 X 表示 从数 字 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任 意选 取 的一个 数字 ， 随机 变量Y 表 示从 1 ， 2， 3，4 中任 意选 取的 不小 于 X 的一个 数字 ，求：（ 1 ） ) , ( Y X 的联合分 布律；（ 2 ） X 和Y 的 边缘 分 布律 ； （3 ）协 方差 ) , cov( Y X 。 11. 设 X 与 Y 是 二 个 随 机 变 量 ， 已 知 2 EX ， 20 2 EX ， 3 EY ， 34 2 EY ， 5 . 0 XY ，试求 ： （1 ） ) ( Y X E ， ) ( Y X E ； （2 ） ) ( Y X D ， ) ( Y X D 。 12. 设 随机 变量 X 与Y 相互独 立， 且 2 EX ， 1 DX ， 1 EY ， 4 DY ，求 Y X U 2 与 Y X V 2 的相 关系 数 UV 。 8 13. 设 随机 变量 X 的分 布函 数为 4 , 1 4 0 , 4 0 , 0 ) ( x x x x x F 。求 ) (X E ， ) ( ( X F E 。 14. 设 2 ) 3 ( Y aX W ， 0 ) ( ) ( Y E X E ， 4 ) ( X D ， 16 ) ( Y D ， 5 . 0 XY 。 求 常数 a ，使 ) (W E 为最小 ，并 求 ) (W E 的最小值 。 15. 设 a 为区 间 ) 1 , 0 ( 上的一 个定 点， 随 机变 量 X 服从区 间 ) 1 , 0 ( 上的均匀 分布 ， 以Y 表示 点 X 到 a 的距离 。问 a 为何 值时 X 与Y 不相 关 。 第 5 章 1. 设 随机 变量 1 X ， 2 X ， ， n X 相 互独立 且服 从同 一分 布， 1 X 的概率 密度 为 0 , 0 0 , ) ( x x xe x f x ， 试用 切比 雪夫 不等 式证明 n n n X P n i i 2 1 2 4 0 1 。 2. 设 随机 变量 X 的概 率密 度 函数为 , 0 1 0 , ) 1 ( 12 ) ( 2 其他 x x x x f ， 试用切 比雪 夫不 等式 估计 事件 3 1 EX X 的概率 至少 是多 少？ 3. 设 随机 变量 1 X ， 2 X ， ， n X 相 互独立 ， 且服 从同 一分 布 ，又 知期 望 m EX 1 ，方 差 0 2 1 DX 均存在 ， 记 n k k X n X 1 1 ， 为 使 % 95 ) 1 . 0 | (| m X P ， 试用 切 比雪夫 不等式 估计 n 的最 小值 应为 多少？ 4. 将 一枚 均匀 的硬 币投掷 1000 次， 试利 用切 比雪 夫 不等式 估计 ：在这 1000 次 投掷中 出现 正面的 次数 在 400 至 600 之间的 概率 至少 为多 少？ 5. 随 机地 掷六 颗均匀 骰子， 试利 用切 比雪 夫不 等式 估计： 六颗 骰子 出现 的点 数总和 不小 于 9 点且不 超 过 33 点的 概率 。 6. 设 随机 变量 n X 服从 二项 分 布 ) , ( p n B ) 1 0 ( p ， 试用 德莫 佛 拉 普拉 斯中心 极限 定 理证明 ：不 管 M 是多么 大的 正数， 总有 0 ) | (| lim M np X P n n 。 7. 对 敌阵 地进 行 100 次炮 击，第 k 次炮 击命 中的 炮弹 数为 k X ， 100 , , 2 , 1 k ，且 它们 是独立 同分 布的 随机 变量 ， 它们的 数学 期望 均 为 4， 方 差均 为 2.25 ， 问 在 100 次 炮 击中 有 380 到 420 颗 炮弹 击中 目标 的 概率的 近似 值。 （已知 5359 . 0 ) 09 . 0 ( ， 9082 . 0 ) 33 . 1 ( ， 9 7734 . 0 ) 75 . 0 ( ） 8. 设 1 X ， 2 X ， ， n X 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 参 数 为 1 . 0 的 泊 松 分 布 ， 试 计 算 130 110 1000 1 k k X P 。 （ 已知 6179 . 0 ) 3 . 0 ( ， 9987 . 0 ) 3 ( ， 8413 . 0 ) 1 ( ， 5398 . 0 ) 1 . 0 ( ） 9. 某炮 兵团，对 一目标进行一 次射击命中 的炮弹数是相 互独立、有 相同分布的随 机变量 ， 且它们 的数 学期 望为 2 ， 方差为 2.25 ，如 果要 求在 100 次射 击中 ，命 中的 炮 弹数大于 N 的 概率不 小 于 0.8 ，求 满足 这 样条件 的 N 的最大 值。 （已知 2 . 0 ) 842 . 0 ( ） 10. 甲、 乙两 个戏 院在 争 取 1000 名 观众， 假定 每个 观众完 全等 可能 地随 机地 选择一 个戏 院， 且观众 选择 哪个 戏院 是彼 此独立 的 ， 问 某戏 院应 该设 有多少 个座 位才 能保 证因 缺少座 位而 使 观众离 去的 概率 小 于 1%? （已知 99 . 0 ) 33 . 2 ( ） 11. 某个 计算 机系 统有 120 个终端 ，在 某一 指定 时 间内每 个终 端有 5% 的时 间 在使用 ，假 定 各个终 端 使 用与 否是 相互 独立的 ，试 求这 一指 定时 间内使 用的 终端 个数 X 在 10 个到 20 个 概率。 （ 已知 9931 . 0 ) 46 . 2 ( ， 1 ) 86 . 5 ( ， 9525 . 0 ) 67 . 1 ( ， 7881 . 0 ) 80 . 0 ( ） 12. 某 工厂 有 400 台 同类 机器， 已知 各台 机器 发生 故障的 概率 都 是 0.02 ， 假 定各台 机器 工作 是 相 互 独 立 的 ， 试 用 中 心 极 限 定 理 计 算 机 器 出 故 障 的 台 数 不 小 于 2 的 概 率 。 （ 已知 8461 . 0 ) 02 . 1 ( ， 9838 . 0 ) 143 . 2 ( ， 9979 . 0 ) 857 . 2 ( ， 7794 . 0 ) 675 . 0 ( ） 13. 在 次品 率为 6 / 1 的一 批产 品中 ， 任 意抽 取 300 件 ， 试 计算在 抽取 的产 品中 次品 件数 在 40 到 60 间的 概率。（ 已知 9394 . 0 ) 55 . 1 ( ， 8849 . 0 ) 2 . 1 ( ， 5478 . 0 ) 12 . 0 ( ） 14. 有 一大 批混 合种 子， 其中良 种占 6 / 1 ，今 在其 中任 选 6000 粒 ，试 问在 这些 种子中 ， 良 种所占 的比 例与 6 / 1 偏差小于 1% 的概 率是 多少 ？ （ 已知 9812 . 0 ) 078 . 2 ( ， 5279 . 0 ) 072 . 0 ( ， 7642 . 0 ) 72 . 0 ( ） 15. 每 次射 击中 ，命 中目 标的炮 弹数 的数 学期 望为 2，标 准差 为 1.5 ，求 在 100 次射 击中 有 18 到 220 发 炮 弹 命 中 目 标 的 概 率 。 （ 已知 9066 . 0 ) 32 . 1 ( ， 9082 . 0 ) 33 . 1 ( ， 9099 . 0 ) 34 . 1 ( ） 16. 一 复杂 的系 统， 由 100 个相互 独立 起作 用的 部件 所组成 ， 在 整个 运行 期间 每个部 件损 坏 的概率 为 0.10 ，为 了使 整 个系统 起作 用， 至少 必须 有 85 个部 件工 作， 试用 中 心极限 定理 求 整个系 统工 作的 概率 。 （ 已知 95 . 0 ) 667 . 1 ( ， 977 . 0 ) 2 ( ， 999 . 0 ) 33 . 3 ( ） 第 6 章 1. 设 总体 ) , ( b a U X ， n X X X , , , 2 1 是来自 总体 X 的 样本 。 求： （1 ） n X X X , , , 2 1 的 联 合 概 率 密 度 ) , , , ( 2 1 n x x x f ；（ 2 ） ) , , , max( 2 1 n X X X Y 的密度 ) (y f Y ；（ 3 ） ) , , , min( 2 1 n X X X Z 的密度 ) (z f Z 。 10 2. 从 总体 ) 3 . 6 , 52 ( 2 N 中随 机抽 取了 一 个容量 为 36 的 样本 ， 求 样 本均值 X 落在 区间50.8 ， 53.8 内 的概 率。 （ 8729 . 0 ) 14 . 1 ( , 9564 . 0 ) 71 . 1 ( ） 3. 设正态总体 ) 4 , 100 ( N X ，现从 X 中抽取两个独立样本 ，样本均 值分别为 X 与Y ， 样本容 量分 别 为 15 ，20 ， 求概率 ) 2 . 0 | (| Y X P 。（ 6141 . 0 ) 29 . 0 ( ） 4. 设 5 2 1 , , , X X X 是总 体 ) 4 , 12 ( N 的样本 ， 求： （1） 样本 均值 与总 体均 值之 差的绝 对值 大于 1 的概 率； （2） ) 15 ) , , , (max( 5 2 1 X X X P 。 （ 8686 . 0 ) 12 . 1 ( ， 9332 . 0 ) 5 . 1 ( ） 5. 在 总体 ) 4 , 6 . 7 ( N X 中 抽取容 量为 n 的样 本，如 果 要求样 本均值落 在 ) 6 . 9 , 6 . 5 ( 内的 概率不 小 于 0.95 ，则 n 至少 为多少 ？ （ 975 . 0 ) 96 . 1 ( ） 6. 设总体 ) , ( 2 N X ， n X X X , , , 2 1 是 来 自 总 体 X 的 样 本 。 记 n i i X n X 1 1 ， n i i n X X D 1 2 2 ) ( ， 求 ) ( 2 n D X E 。 7. 已知 7 2 1 , , , X X X 是总体 ) 1 , ( N 的简 单随 机 样本， 且 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 2 7 6 5 4 2 3 2 1 X X X X b X X X a ，求 常数 a，b 。 8. 设 4 3 2 1 , , , X X X X 是 ) 2 , 0 ( 2 N 的样本， 2 4 3 2 2 1 ) 4 3 ( ) 2 ( X X b X X a Y ， 则当不 为 0 的 常数 b a, 取何 值时Y 服从 2 分布， 自由 度为 多少 ？ 9. 设 10 2 1 , , , X X X 是来 自正 态总 体 ) 3 , 0 ( 2 N 的样 本。求 不为 0 的 系数 a ，b ，c ， d ， 使得统 计量 2 10 9 8 7 2 6 5 4 2 3 2 2 1 ) ( ) ( ) ( X X X X d X X X c X X b aX Y 服从 2 分布， 且求 其自 由度 。 10. 设总体 ) 1 , 0 ( N X ， 5 2 1 , , , X X X 是来自 X 的 样本 ， 设 2 5 2 4 2 3 2 1 ) ( X X X X X a Y ， 试确定 a 使Y 服从 t 分布。 11. 设总 体 ) 1 , 0 ( N X ， n X X X , , , 2 1 是来 自 X 的样 本，试 问统 计量 ) 5 ( , 1 5 6 2 5 1 2 n X X n Y n i i i i 服从何 种分 布？ 12. 设 2 1 , X X 是总 体 ) 2 , 1 ( N X 的样本 ，求 概率 ) 408 . 0 ) ( 2 2 1 X X P 。 （ 102 . 0 ) 1 ( 2 75 . 0 ， 6255 . 0 ) 3194 . 0 ( ） 13. 设 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且 有 ) 15 , 5 ( N X ， ) 5 ( 2 Y ， 求 概 率 ) 5 . 3 5 ( Y X P 。 （ 02 . 2 ) 5 ( 05 . 0 t ） 11 14. 设 随机 变量 ) 1 , 2 ( N X ， 随机 变量 4 3 2 1 , , , Y Y Y Y 均服从 ) 4 , 0 ( N ，且 4 3 2 1 , , , , Y Y Y Y X 都 相 互 独 立 ， 令 4 1 2 ) 2 ( 4 i i Y X T ， 试 求 T 的 分 布 ， 并 确 定 0 t 的值，使 01 . 0 ) | (| 0 t T P 。（ 6041 . 4 ) 4 ( 005 . 0 t ） 15. 设 10 2 1 , , , X X X 是来自正态总体 ) 5 . 0 , ( 2 N 的 一 个 样 本 。 （1 ） 已 知 0 ，求 ) 4 ( 10 1 2 i i X P ；（ 2） 未知 ，求 ) 85 . 2 ) ( ( 2 10 1 X X P i i 。 （ 16 ) 10 ( 2 0996 . 0 ， 4 . 11 ) 9 ( 2 2493 . 0 ） 第 7 章 1. 设总体 ) , ( p m b X ， 其中 m 已知 ， ) 1 0 ( p p 未知 ， n X X X , , , 2 1 是 来自 X 的 一个样 本， 求参 数 p 的矩估 计和 极 大似 然估 计。 2. 设 总体 ) , ( p m b X ，m 是正 整数 ， 1 0 p ， p m, 都 未知 ， n X X X , , , 2 1 是来自 X 的一个 样本 ，求 m 和 p 的矩估 计。 3. 设 总体 X 的概 率分 布为 N k N k X P , , 2 , 1 , 1 ) ( ， 其中 N 是未知 参数 （正 整数 ） 。 利用总 体 X 的如下 样本 值：1 ，3，2 ，3 ，2， 1 N ，2 ， N ，求 N 的矩估 计值 。 4. 设 总体 X 的概 率分 布为 X 1 2 3 i p 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 其中 （ 1 0 ）为 未知参数 。 现抽得一个样本 , 1 , 2 , 1 3 2 1 x x x 求 的矩估计值 和极大 似然 估计 值。 5. 设总体 X 的分布函数为 3 , 1 3 2 , 2 2 1 , 1 , 0 ) ( x x x x x F ，其中 为未知（ 2 1 0 ） 。利用 总 体 X 的如 下样 本值 ：1 ，1，3 ，2，1 ，2 ，3，3，求 的矩 估计 值 和极 大似 然估 计 值 。 6. 设 总 体 X 的分布密度为 ) 0 , ( 2 1 ) , ( | | x e x f x ， n X X X , , , 2 1 是 来自 X 的一个 样本 ， 求 参数 的矩估 计量 。 12 7. 已知总体 X 概率密 度为 0 , , 0 1 0 , ) , ( 1 其他 x x x f ， n X X X , , , 2 1 是来 自 X 的一 个样 本， 求参 数 的矩估计 量和 极大似 然 估计 量 。 8. 设总 体 X 的概率 密度 为 1 , 0 1 0 , ) 1 ( ) ( ， 其他 x x x f ， n X X X , , , 2 1 是 来自 X 的一个 样本 ， 求 参数 的矩估 计量 和 极 大似 然 估 计量 。 9. 设 总体 X 的概 率密 度函 数 为 其他 x x f , 0 0 , 1 ) ( 。 （1） n X X X , , , 2 1 为 X 的简单 随机 样本 ， 试 求 的极大 似然 估计 量 ； （2） 当 ) 1 . 1 , 3 . 0 , 2 . 2 , 7 . 1 , 6 . 0 , 3 . 1 ( ) , , ( 6 1 X X 时，求 的极 大似 然 估计值。 10. 设 总体 X 的概率密度 为 其他 c x x c x f , 0 , ) ( ) 1 ( ， 其中 0 c 为 已 知， 1 为未 知参数 ， n X X X , , , 2 1 是来自 X 的一 个样 本，求 参数 的矩 估计 量和 极 大似 然估 计量 。 11. 设 n X X X , , , 2 1 是来自 总体 ) ( P X 的一 个 样本， 求 ) 0 ( X P 的极大似 然 估计 。 12. 设 总体 X 在区 间 , 0 上服从 均匀分 布， n X X X , , , 2 1 是来 自 X 的一个 样本， n i i X n X 1 1 ， , , , max 2 1 ) ( n n X X X X 求常数 b a, ，使 X a 1 ， ) ( 2 n bX 均为 的无偏 估计， 并比 较 它 们的 有效 性。 13. 设 从均 值为 ， 方 差为 0 2 的 总体中 ， 分别 抽取 容量 为 2 1 , n n 的两个 独立 样本 ， 1 X 和 2 X 分别 是两 样本 的均 值 。 试证 ： 对 于任 意常 数 ) 1 ( , b a b a ， 2 1 X b X a Y 都是 的无偏 估计 ；并 请确 定常数 b a, ，使 ) (Y D 达到 最小 。 14. 设 总体 ) 09 . 0 , ( N X ， 现 获得 4 个 独立观 察值 ：12.6 ，13.2 ，13.4 ，12.8 ，求 总体 均 值 的 99% 的 置信 区间 。 （ 64 . 1 , 96 . 1 , 33 . 2 , 57 . 2 05 . 0 025 . 0 01 . 0 005 . 0 z z z z ） 15. 某 产品 的件 重近 似服 从于正 态分 布 ， 随机 抽取 25 件 ， 算出 样本 均值 75 . 504 x （克 ） ， 样本方 差 2 2 2 . 6 s （克 2 ） ，求 总体 均值 的 98% 的置 信区 间 。 ( 4922 . 2 ) 24 ( , 4786 . 2 ) 26 ( , 4851 . 2 ) 25 ( 01 . 0 01 . 0 01 . 0 t t t ) 13 第 8 章 1. 设某产 品的 某项 质量 指标 服从正 态分 布 ， 已 知它 的 标准差 150 ， 现从 一批 产品 中 随 机地抽 取 26 个， 测得 该项 指标的 平均 值为 1637 ， 问 能 否认为 这批 产品 的该 项指 标值为 1600 ？ （ 05 . 0 ，已知 96 . 1 025 . 0 z ） 2. 我 国出 口的 凤尾 鱼罐 头 ，标准 规格 是每 罐净重 250 克，依 据以 往经 验， 标 准差是 3 克， 现在某食 品厂 生产一 批供 出口用的 这种 罐头， 从中 抽取 100 罐 进行检 验，得 其平均净 重是 251 克。 按显 著性 水平 05 . 0 ， 问该批 罐头 是否 合乎 出口 标准。 据经 验每 罐净 重 X 服从 正态分 布 ) , ( 2 N 。 （已知 96 . 1 025 . 0 z ） 3. 某炼铁厂的 铁水含碳量的百分比在 正常情形下服从正态分布 ) 108 . 0 , 55 . 4 ( 2 N ， 为了知 道高炉 经过 维修 后生 产是 否正常 ， 测 试了 5 炉 铁水 ， 它们 含碳 的百 分比 分别 为：4.28 ，4.40 ， 4.42 ，4.35 ，4.37 ， 假定已经知 道总体分 布的方差 没有改 变，问生 产是否正 常？即 问平均 铁 水含碳 量的 百分 比是 否仍 为 4.55 ？（ 05 . 0 ，已 知 96 . 1 025 . 0 z ） 4. 某 粮食 加工 厂用 打包 机 包装大 米， 每袋 标准 重量 为 100kg ， 设 打包 机装 得大 米重量 服从 正 态分布 且由 长期 经验 知道 9 . 0 kg 。 且保 持不 变 ， 某 天开 工 后， 为检 查打 包机 工作 是 否正 常， 随机 抽 取 9 袋 ， 称得 其 净重为 （ 单位 ： kg） ： 99.3 ， 98.7 ， 100.5 ， 101.2 ， 98.3 ， 99.7 ， 105.1 ， 102.6 ，100.5 ， 问该 天 打 包 机的工 作是 否正 常？ （ 05 . 0 ，已知 96 . 1 025 . 0 z ） 5. 一 种燃 料的 辛烷 等级 服 从正态 分布 ，其 平均 等级 为 98.0 ，标 准差 为 0.8 ， 得一大 小为 25 的辛烷 等级 样本 ， 算 得样 本均值 为 97.7 ， 假定 标准 差与原 来一 样 。 问新 油的 辛烷平 均等 级 是 否比原 来燃 料的 辛烷 平均 等级偏 低？ （ 05 . 0 ，已知 645 . 1 05 . 0 z ） 6. 一 种元件，要 求其使用寿命 不得低 于 1000 （h） 。现在 从一批这 种元件中随机地 抽 取 25 件，测得其寿命平均值 为 950（h） 。 已知这种 元件服 从标准差 100 （h）的正态分布， 试在显 著性 水