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11 第 2章 一维 随机变量 习题 2 一 . 填空 题 ： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 xPxF ， 则 用 F (x) 表 示 概 0 xP = _。 解： 000 xFxF 2.设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 xa r c t g xxF 121 则 P 01 = _14 _。 解： P 0 0 15 设 服从参数 = 1 的指数分布 ，求方程 4x2 + 4x + + 2 = 0 无实根的概率 。 解： 0)2(1616 2 知 21 故 220 x e1dxe21P 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 xBAxx 0 31)( 且 知 在 区 间 ( 2， 3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1， 2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ， 试 确 定 常 数 A ， B 。 解： 由 条 件 21232 pp 即 3 2 2 1 dxBAx2dxBAx 知 有 12 0A B 又 由 1dxx 即 3 1 1B2A4dxBAx 解 124 021 BA BA 得 A = 13 ， B = 16 17、设有函数 其它,0 0,s i n)( xxxF 试说明 )(xF 能否是某随机变量的分布函数 . 解： 不 能 因 为 当 x 32 时 ， ( x ) = sin x 0 17 故 在 23,0 上 ， ( x ) = sin x 不 是 非 负 。 18、设某人计算一连续型随机变量 x 的分布函数为： 1,1 1 4 , 4 0,s i n 0,0 )( x xx xx x xF 试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确 19、在区间 ,0 a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标，这个质点落在 ,0 a 中任意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求 x 的分布函数 . 解： P 0 0 ) 解 : 正 方 体 体 积 = 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 x h y y ( ) 13 22 h y y ( ) , 13 23 ayh 1 的 概 率 密 度 为 ayyay )( 0 031 332 31. 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 0,0 0,122 x xxx 求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。 解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 1e 2yh,e)y(h y2y 于 是 的 概 率 密 度 为 ye ey y y 12)( 2 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 服 从 N( , 2)， 并 规 定 | | m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , ( 1.65) = 0.05, ( 0.06) = 0.475 . 解： P | | m = 0.95，此式等价于 P m + m = 0.9 因 为 服 从 N( , 2 )， 故 P m + m = )()( mm 95012 .)()()( mmm 查 表 m196. 得 m = 1.96 故 m 取 1.96 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。
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