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1 概率与数理统计试题 A 卷 一、（ 12 分） 解：设 1A 表示 “取到第一台车床加工的零件 ” 设 2A 表示 “取到第二台车床加工的零件 ” 设 B 表示 “任取一个零件是不合格品 ” 且 1 2( ) =3PA 2 1( ) =3PA 1( | ) = 0 .0 3P B A ， 2( | ) =0 .0 6P B A . 因此 2 1 21( ) ( ) ( | ) 0 . 0 3 + 0 . 0 6 = 0 . 0 4 33iiiP B P A P B A （ 2） 22 ()( | ) 0. 5 () P A BP A B PB 2 二、（ 12 分） 解： (1) 由分布律的性质得 11 124a 又由 11 24PX ， 解得 14a ， 12b (2) X 的分布函数 0 , 1 1 , 1 2 4 3 , 2 3 4 1 , 3 x x Fx x x （ 3） 3 5 12 2 2PX ， 323 4PX 3 三、（ 16 分） 1、 解： （ 1） .,0 0,),()( 其他 , d d - xeyeyyxfxf xx y X . 0 0 d d),()( 0 其他， ， yyexexyxfyf yy y Y （ 2） .d )1( 1 1 exeXP x （ 3） .),()( xxzxfzf Z d 被积函数的非零域 : .0 xzx . ,0 0, ,d)( 22 0 )( 其他 zeexezf z zz xz Z 4 2、 解 : 三角形的基本性质 ： 任意两边之和大于第三边 . 以 0,1 区间代表木棍 , 12X X 代表两个截点 , U 代表构成三角形这一事件 ， 则三边边长为 1 2 1 2, , 1XXX X 要满足下列不等式 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0.5 1 0. 0.51 5 XX X XX X X X X XXX 则 . 4 1 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 2 UP 5 四、（ 16 分） 解： （ 1） 4 333),( 1 0 3 0 1 02 dxxdyxxdxdx dyyxxfEX x R 8 3 2 33),( 1 0 3 0 1 02 dxxdyxydxdx dyyxyfEY x R 10 3 2 33),( 1 0 4 0 1 02 dxxdyxxydxdx dyyxx y fEXY x R 5 333),( 1 0 4 0 2 1 0 22 2 dxxdyxxdxdx dyyxfxEX x R 5 13),( 1 0 4 0 2 1 0 22 2 dyxdxxydxdx dyyxfyEY x R 80322 EXEXDX ， 6 3201922 EYEYDY 160 3),( EXEYEXYYXC o v 19 3),( DYDX YXC o v XY (2) 8 3)21( 2 33),()1( 21 0 121 01 dyydxxdyd x d yyxfYXPp y yyx 则 ZB(4,3/8).故 E(Z) =3/2; .4 0 9 63 4 7 1)831(1)0(1)1( 4 ZPZP 7 五 、 （ 8 分） 解：设 Xi为第 i 个零件的重量， i=1, 2, , n, n=36. 由题意， .,2,136,5)(,50)( 22 ninXDXE ii ， 由中心极限定理， .1 近似服从标准正态分布 n nX n i i 536 50361 7 4 01 7 4 01 7 4 0 1 1 n n n nX PXP n i in i i .0 2 2 8.09 7 7 2.01)2(1 8 六、（ 8 分） 解：因为 1 2 9, , ,X X X 相互独立， 且服从正态分布，所以 2, 6YN ， 2, 3ZN 而 YZ与 相 互 独 立 ， 故 2 0 , 2Y Z N 因此 0 , 1 2 YZ N 又 2 222 2S ， 且二者相互独立，故 2 2 2 2 2 2 2 Y Z S YZ t S 即 2 2YZWtS 9 七、（ 16 分） . 解： 1、 (1)由于 2 2 20 1 ( 1 ) 1E X p p p 令 EX X 即 21 pX 解得 p 的矩估计为 1pX 由于 1 2 3 413()44x x x x x ， 因此 p 的矩估计值为 1 2p 2、 X 的概率密度函数为 211( ) e x p ( ) 22f x x 似然函数为 22 11 1 1 1 1( ) e x p ( ) e x p ( ) 222 ( 2 ) n n ii n iiL x x 对数似然函数为 2 1 1l n ( ) l n ( 2 ) ( ) 2 n i i L n x 10 对 求导并令其为零， 即得 1 ln 0n i i dL xn d 解得 的最大似然估计为 1 1 n i i XXn 由于 1 1 =n iiE E X E Xn , 因此 是 的无偏估计 . 11 八、（ 12 分） 解： （ 1） 假设 0H ： 70 ； 1H ： 70 选取检验统计量 3615 70X 构造拒绝域： . 3615 70 2/z x n=36， =0.05， 查表得 96.1025.02/ zz 计算得： 96.14.1 3615 705.66 3615 70 x 故不拒绝 0H ，可以认为这批产品的 平均质量为 70 公斤 。 （ 2）犯第一类错误的概率为 05.0)70| 3615 70( 0 2 5.0 zXP
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