导数的概念及基本函数的导数.ppt

导数的概念及基本函数的导数,一、复习目标,了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念,熟记常见函数的导数公式c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数,并能熟练应用它们求有关导数.,二、重点解析,导数概念比较抽象,其定义、方法一般不太熟悉,因此对导数概念的理解是学习中的一个难点.本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法.一方面,根据导数定义求导可进一步理解导数的概念,另一方面,许多法则都是由导数定义导出的.,导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,首先定义函数y=f(x)在点x0处可导,且在x0处有唯一的导数f(x0),然后定义函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数f(x0).据函数定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新函数,即导数.,三、知识要点,1.导数的概念,f(x0)或y|x=x0,即:,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:,(1)求函数的增量:y=f(x0+x)-f(x0);,如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时,对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作f(x)或y(需指明自变量x时记作yx),即:,函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).,2.导数的意义,(1)几何意义:,(2)物理意义:,函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).设v=v(t)是速度函数,则v(t0)表示物体在时刻t=t0时的加速度.,导函数也简称导数.当x0(a,b)时,函数f(x)在点x0处的导数f(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f(x)在点x0处的函数值.,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续,但要注意连续不一定可导.,3.几种常见函数的导数,(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);,(2)(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx;,(4)(ex)=ex,(ax)=axlna.,典型例题1,解:(1)要使f(x)在x=0处连续,则需,故当b=1时,可使f(x)在x=0处连续.,故当b-1=0且a=1即a=b=1时,f(x)在x=0处可导.,综上所述,当b=1,aR时,f(x)在x=0处连续,当a=b=1时,f(x)在x=0处可导.,(2)由(1)知,f(0)=1,又f(0)=1,故曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为,y-1=x-0,即x-y+1=0.,典型例题2,若f(x)在R上可导,(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;(2)证明:若f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数.,(1)解:设f(-x)=g(x),则,=-f(-a).,f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.,(2)证:f(x)为偶函数,f(x)为奇函数.,=-f(x),注:本题亦可利用复合函数的求导法则解决.,典型例题3,已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.,点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0.,又y=3x2-6x+2,在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.,整理得2x02-3x0=0.,注有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线C在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.,典型例题4,它在P处的切线斜率k1=-2,课后练习1,=1,f(x)在x=1处不可导.,注判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,那么这点的导数存在,否则不存在.,课后练习2,若函数f(x)=|x|,(1)试判断f(x)在x=0处是否可导;(2)当x0时,求f(x)的导数.,解:(1)y=f(0+x)-f(0)=|x|,故函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.,(2)当x0时,可使x+x0.,=1.,同理可得,当x0时,f(x)=-1.,注函数在一点连续,但不一定可导;函数在一点可导,直观反映是函数的图象在这一点是平滑的.,课后练习3,一质点作直线运动,它所经过的路程S(单位:m)和时间t(单位:s)的关系是S=3t2+t+1.(1)求2,2.01这段时间内质点的平均速度;(2)当t=2时的瞬时速度.,解:(1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)S=3(t+t)2+(t+t)+1-(3t2+t+1),=3t2+(1+6t)t,=3t+1+6t.,=6t+1.,v|t=2=13.,即当t=2时,质点运动的瞬时速度为13m/s.,注(2)亦可直接对函数求导后解决.,课后练习4,如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.,解:切线与直线y=4x+3平行,切线斜率为4.,又切线在x0处斜率为y|x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当x0=1时,y0=-8;,当x0=-1时,y0=-12.,切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).,切线方程为y=4x-12或y=4x-8.,=(x3+x-10)|x=x0,=3x02+1.,课后练习5,已知曲线S:y=x3-6x2-x+6.(1)求S上斜率最小的切线方程;(2)证明:S关于切点对称.,(1)解:由已知y=3x2-12x-1,当x=2时,y最小,最小值为-13.,S上斜率最小的切线的斜率为-13,切点为(2,-12).,切线方程为y+12=-13(x-2),即13x+y-14=0.,(2)证:设(x0,y0)S,(x,y)是(x0,y0)关于(2,-12)的对称点,则x0=4-x,y0=-24-y.,(x0,y0)S,-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6.,整理得y=x3-6x2-x+6.,(x,y)S.,曲线S关于切点(2,-12)对称.,课后练习6,解:设P(x0,y0),则kl1=y|x=x0,直线l2垂直l1,又易得xK=x0,板式换热器板式换热器qorsgxv5,同学们再见！,