中南大学概率论习题第二章答案.pdf

第 二 章 2.1 解：（ 1 ）是。 （2）0.7 +0.1 +0.11，所以它不是随机变量的分布列。 （3） 4331213121312121 2 =+ + + + n ，所以它不是随机变量的 分布列。 （4） 021 n ，n为自然数，且 = n ok n 2 1 =1，所以它是某个随机变量 的分布列。 22 解：（ 1 ） 51152151)21( =+= xx 或P ； （ 2 ） 51)2()1()2521( =+= xxx PPP 213 解：在指定的一页上出现某一个错误的概率 5001=p ，因而，至少出现三个错误的 概率为： () () kk k kk k k = = 5002 0 500 500500 3 500 500 499 500 11 500 499 500 1 利用普哇松定理求近似值，取 15001500 = npl ，于是上式右端等于 080301.0251!11 1 2 0 = eek k 214 解：设每箱至少装 x+100 个产品，其中有k个次品，则要求x ，使 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 () kxkx k x k + = + 100 0 100 97.003.09.0 ， 利用普哇松定理求近似值，取 ( ) 303.0100 += xl ，于是上式相当于 3 0 ! 39.0 = ekx k k ， 查普哇松分不数值表，得 5=x 。 215 解： mnm n m n m n ppmnm nnemnPnP = = )1()!(! !),()( 00 ll hxx !ne n ll = ;,2,1,0 =n () () 0n 1 ()(,) ! () ,0,1,2,. ! nm n m nm mp ppe PmPnm nmm pe m m l l l hxh l = = = 216 解： 1212 (,),0,1, nnnnn klrklPklkr n r xh = 0,1,lr= 12().rnnnklr+ 1212 0 () r l nnnnn klrkl nPk r x = = 111 212 0 r l nnnn nnnnkkrk nnlrkl rr = = 1max0,(),.krnnr= PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 1212 0 () r k nnnnn klrkl nPl r h = = 222 112 0 r k nnnn nnnn lrl nnkrkl rr = = 2max0,(),.lrnnr= 217 解： 4!(,)0.50.30.2,! mnkPmnkmnkxhz= ,0,1,2,3,4 4.mnkmnk=+= 44()0.50.5,0,1,2,3,4;mmPmmmx = 4 4 4()0.30.7,0,1,2,3,4; 4()0.20.8,0,1,2,3,4. mn mk Pnnn Pkkk h z = = 218 解： (,)xh (0,3) (1,1) (2,1) (3,3) P 18 3 8 3 8 1 8 x 0 1 2 3 P 18 3 8 3 8 1 8 h 1 3 P 34 1 4 219 证：设h的分布列为 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 12 12 aa pp 由于 (,)()()()iiiPaaPaPaPaxhhxh=对a及任意的 ia都成 立，所以x和h相互独立。 2.20 解： x的分布列为 h的分布为 若x与h独立，则 P（ x=1，h=2）=P（x=1）P（h=2），即 31（91+a）=91，所以a=92， 而a+b=31，于是b=91。 2.21 解：P(z=1)=P(x=0)P(h=0)+P(x=1)P(h=1)=(1p)2 +p 2 P(z=0)=P(x=0)P(h=1)+P(x=1)P(h=0)=2p(1p) 而P(x=1, z=1)=P(x=1,h=1)=p2，由 P(x=1,z=1)=P(x=1)P(z=1)得p= 21。 2.22 证：P（）=P（=1）P（=1）+P（=-1）P（=-1）= 21 P（）=P（=1）P（=-1）+P（=-1）P（=1）= 21 因为 P(x =1, z=1)=P(x=1, h=1)= 41=P(x=1)P(z=1)， P(x=1, z=1)=P(x=1, h=1)= 41=P(x=1)P(z=1), P(x=1, z=1)=Px=1, h=1)= 41=P(x=1)P(z=1), P(x=1, z=1)=P(x=1, h=1)= 41=P(x=1)Pz=1) 所以 hx与 相互独立。同理 xh与 相互独立。 x 1 2 P 31 31+a+b h 1 2 3 P 21 a+91 b+181 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 但是 P（ ( )( )( ) hxzzhxzhx ，因而）， 111111 = P 不相互独立。 2.23 证：设 ( ) ( ) .6,.,2,1, , = kkPkP qp kk hx 倘 () ),12,.,3,2(,111 =+ kkP hx 则 11 1)2( 11 =+ qpP hx () 111.7 10255201 =+=+ qpqpqpqpP hx () 11112 66 =+ qpP hx 将（2）式减去（1）式，得：( ) .,0 16116 ppqpp 于是 同理 . 16 qq 因此 ,111 1166 = qpqp 与（3）式矛盾。 2.24 解： h 2 2+ 3 p 2+ 3 2p P 41 21 41 h -1 0 1 P 4 1 2 1 4 1 2.25 解：h的分布列为 30 11 5 1 30 7 5 1 9410 2.26 解： 12 1 24 1 4 1 24 11 6 1 43210 :z 2.27 解：(1) 设n,r都是自然数，若nr,则 r n =0。 P（x+h=i）= = = i k kiPkP 0 )()( hx = qpn kk nk 11 qpn kinki ki + 2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 = qp nn ii nn i + + 2121 其中q=1-p. i=0,1, nn 21 + 。 （2） 设x 为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中,P(A)=p, h为n2重 贝努里试验中事件 A 发生的次数(在每次试验中,P(A)=p),而e 与h相互独立,所以 he + 为n1+n2重贝努里试验中事件A发生的次数,因而 P( khe =+ )= + k nn 21 pkqn1+n2-k,k=0,1,n1+n2。 2.28 解: P( he + =n) = = = 1 1 )()( n k knpkP he = kn n k k = 21211 1 = = 1 1 2 1n k n = n n 2 1 n=2,3,. 2.29 解:Ee = 51 (1+2+3+4+5)=3 E 512 =e (12+22+32+42+52)=11 E( )22+e = E 2e +4 Ee +4=27 2.30 解: eE = = w 1 2k k k = 1 1 2 1 2 1 = k k k w =2 621212 1 1 2 1 2 2 = = = k kk k k kE wwe ( ) 222 = eee EED 2.31解: () = = ww 11 1 2 1.21 k k k k k kk 因为级数= w 1 1 kk 发散,所以e 没有数学期望. 2.32 解:设 1e , 32 ,ee 分别表示用甲组,乙组,丙组砝码称重时所用的砝码数,则有: 物品重量 12 3 4 5 6 7 8 9 10 1e 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2e 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3e 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是, (),8.1321101=+=E 7102e ()。243103 所以,用乙组砝码称重时所用的平均砝码数最少. 2.33 解：设场地面积为 S 2m ，边长的误差为x，则 ()2500+= xS ，且 ( )18605.03008.02016.0102,0 2222 =+= xx EE 所以 )250186250000100500 2222 mEEEES =+=+= xxx 2.34 证：令 = 架仪器未发生故障第 架以器发生故障第 i i i 0 1x ，i=1,2，3， ix 为发生故障的仪器数，则 321 xxxx += ,3,2,1,)(PE ii = ipixx 所以 321321 pppEEEE +=+= xxxx . 2.35 解：设 q=1-p ， = 为偶数 为奇数 nn nnm 1 ， 因 为 () nnnnn pqpnpqnqqp + + +=+= 221 211 ()() nnnnnn ppqnpqnqpq 121 221 + + = ， 上面两式两边分别相减得 () )1(2121 1 = + = hPqp m npqnpq mnmnn ， 所以 2)()P=h，因而 2)()PEh。 2.36解：设x为试用过的钥匙数。 （1） nknknkP ,1121)( =+= 又 ,6)(1(1,2 11 1 22 1 +=+= = nn nkE n nkE n k n k xx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 所以 12 1)( 2 22 = nEED xxx 。 （2） ,2,1,11)( 1 = = k nn nkP kx 又 ,211,11 2 1 1 22 1 1 nnnnnkEnnnnkE k k k k = = = = = xx 所以 ( ) )1(22 = nnEED xxx 2.37 解：设 = 个产品为合格品第 个产品为不合格品第 i i i 0 1h ，i=1,2,，150，则 ih 的分布列为 15 14 15 1 01 ，因而 150,2,1,151 = iE ih 。 设x为查到的不合格品数，则 = = 150 1i ihx ，所以 10 150 1 = =I IEE hx 2.38解：设为所选的两个数字之差的绝对值,则 P(=k)= + + 2 1 1 n kn ,k=1,2,n 于是 E= = n k k 1 + + 2 1 1 n kn = )1( 2 +nn ()=+ n k k21=3 2+n . 2.39解：设 kx = 个位置上不在第数字 个位置上出现在第数字 kk kk 0 1 则 kx 的分布列为： nn 111 01 于是E kx =P( kx =1)= n1 ,设匹配数为，则= = n k k 1 x ，因而E kx =E = n k k 1 x =1。 2.40证：（ 1 ）由于E= =0n nP=n存在，所以该级数绝对收敛。从而E= = 1n Pn PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 =n= () = = 11n n i nPx = = =11in P=n= () 1i iPx。 （2）D存在，所以级数E 2x = =0 2 n Pn =n也绝对收敛，从而D=E 2x +EE （E+1）= = + 1 )1( n nn P=nE（E+1）=2 () = = 11n n i nPi x E （E+1）=2 = = 11in Pi =nE（E+1）=2 = 1i Pi iE （E+1）。 2.41解：设成功与失败均出现时的试验次数为，则 P（1）=1 ，P（n）= 11 + nn qp ,n=2,3, （q=1-p） 利用上题的结论， EP（1）+ =2n Pn=1+ () + 2 11 n nqp pp1 qq1 )1( 1 2 pp pp + 2.42 解： （1） 若摸球是不返回的，则 P( =k)= mn n+ 11+nmn 11+ + knm kn knm m + k=0,1,n 所以 E= + + )(1).(1)( )1).(1( knmknmnmnm mknnkn = 1+mm 。 （2） 若摸球是返回的，则 P（=k）= )( nm n k + nm m + , k=0,1,2. 所以 E= nmmk k k nm n + + =0 )( = mn .k=0，1，2，. 2.43 解：设每批件产品，则的分布列为： 1 2.k . 0n PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 P P pq 1kp p. 010 nn qpq + (q=1-p) 因而 E =p+2pq+kp 1kq + )( 00 10 nn qpqn + =p(1+2q+k 1001 . + nqnqk )= p pqn p pqnq nnnn 0000 )1(11 0 0 =+ 2.44 解：设第 i-1 个不合格品出现后到第 i 个不合格品出现时的产品数为 iz ， i=1,2,k。有设在两次检修之间产品总数为，则= = k i i 1 x 。 诸 iz 独立同分布，P（ ji =x ）= 1jq p,j=1,2,(q=1-p)由此得： E ix = = k j j pjq 1 1 = p 1 ,E = pqj j i 122x = 2 2 p p , D ix = 22 )( ii EE xx = 21p p 。 所以， E= = k i iE 1 x = pk ，D= 2 1 )1( p pkDk i i = = x 。 2.45解：设 ix =1 第i次试验中事件A出现 0 第i次试验中事件A不出现 则诸相互独立且具有分布 1 0 p ip 1- ip (i=1,2,n) 于是E ix = ip ， D ix = )1( ii pp = = n i i 1 x ，因而D= = 1 )1( i ii pp 。 在 ppn n i i = =1 1 时 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 D= = = n i n i n i ppnppp 11 22 1 )()1( 所以当且仅当 ppi = 时D最大 2.46证： ( ) ()() ()()()() () ()()22 22 22222222 2222 222 . hxhxhx xhhx hxhxhxhx hxhx xhhxxh EDDEDD DEDE EEEEEEEE EEEE EED += += += = =）（ 2.47解：（ 1 ） P （ =i/=k）=101 i=0，1，9。 （2） 91)/( = kiP hx i=0，1，9，ik， P（=k/=k）=0。 2.48解：（ 1 ） P （ =k/=0）= = = = = 3,2,1, 3 1 0,0 )0( )0,( k k P kP h hx （2）P（=k/=2）= = = = = = = 5,256 4,3,2,51 1,253 0,251 )2( ),2( k k k k P kP x hx 2.49解： 。nrn rnrP n rn r n q nq rP rP rP ni rnr rnr n niii ni qp qp =+= = = =+ =+= =+= + 1)./1( , 1 ).( ).,0( )./0( 21 1 21 111 21 xxxx xxx xxxxx xxxx 2.50 证 ： PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 ）（ ）（）（ ）（ ），（）（ nP knPkP nP nkPnkP =+ = =+ =+=+= 21 21 21 211 211 / xx xx xx xxxxxx 由普硅松分布的可加性知 2121 llxx + 服从参数为 的普硅松分布，所以 + + + = + =+= ll l ll l ll ll xxx ll ll 21 1 21 1/ 1 21 21 21 21 211 knk n knk k n en eknek nkP ）（ ！ ）（ ）！（！）（ 。 2.51 证： )|,( 111 nnnP rrr =+= xxxx = )( ),( 1 111 nP nnnP r rrr =+ =+= xx xxxx = )( ),( 1 11 nP nnP r rr =+ = xx xx 由于 rxxx , 21 相互独立且服从同一几何分布，所以， = = =+= =+ ri k nk r i k r ipqnP ,1 2 1 1 1 )( xx = rnrpqrn 1 1。 从而 )|,( 111 nnnP rrr =+= xxxx = rnr rnr pqrn pq 1 1 = 1 1 1 r n PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建