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第一章第一章第一章第一章 习习习 习 题题题 题 1-1 画出下列各信号的波形 ：(1) f 1(t)=(2-e-t)U(t); (2) f2(t)=e-tcos10tU(t-1)-U(t-2)。 解：（ 1） )(1 tf 的波形如图 1.1（a）所示 . (2) 因 tpi10cos 的周期 sT 2.0102 = pipi ,故 )(2 tf 的波形如图题 1.1(b)所示 . 1-2 已知各信号的波形如图题 1-2 所示 ，试写出它们各自的函数式 。 解： )1()1()()(1 += tutututtf )1()()1()(2 = tututtf )3()2()2()(3 = tututtf 1-3 写出图 题1-3所示各信号的函数表达式 。 解 )2()2(2sin)(3 += tututtf pi )3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4 += tutututututf 1-4 画出下列各信号的波形 ：(1) f 1(t)=U(t2-1); (2) f2(t)=(t-1)U(t2-1); (3) f3(t)=U(t2-5t+6); (4)f4(t)=U(sint)。 解 (1) )1()1()(1 += tututf ,其波形如图题 1.4(a)所示 . (2) )1()1()1()1()1()1()1()(2 +=+= tuttuttututtf 其波形如图题 1.4(b)所示 . (3) )3()2()(3 += tututf ,其波形如图 1.4(c)所示 . (4) )(sin)(4 tutf pi= 的波形如图题 1.4(d)所示 . 1-5 判断下列各信号是否为周期信号 ，若是周期信号 ，求其周期 T。 )42cos(2)()1( 1 pi= ttf ; 2 2 )6sin()()1( pi= ttf ; (3) )(2cos3)(3 ttUtf pi= 。 解：周期信号必须满足两个条件 :定义域 Rt ,有周期性 ,两个条件缺少任何一个 ,则就不是周期信号 了. (1) 是, sT 32pi= . (2) )32cos(1213)( pi= ttf ,故为周期信号 ,周期 sT pipi = 22 . (3) 因 0t 时有 ,0)( =tf 故为非周期信号 1-6 化简下列各式 ： （1） 1)12( t d ; (2) ( ) + )() 4cos( ttdt d pi ; (3) tdtttdtd sin)(cos 。 解 (1) 原式 = )21(21)21(21)(2 21 = tudd tt (2) 原式 = )(22)(4cos ttdtd pi = (3) 原式 = 1cos)(nsisin)( 00 = = = tt ttdtt 1-7 求下列积分 ：（ 1） dttt 0 )2()3(cos ; (2) dtte jwt )3( 0 + ; (3) 0 0 2 )( dttte t 。 解 (1) 原式 = cos)cos()32(cos = (2) 原式 = 00)3(0 33 =+ jj edtte (3) 原式 = 00 22 0 0 2 1)( ttt eedttte = 1-8 试求图题 1-8中各信号一阶导数的波形 ，并写出其函数表达式 ，其中 )5()(2cos)(3 = tUtUttf pi 。 解 （a） )2()(3)1(2)(1 += tutututf ， )(tf 的波形如图题 1。8（d）所示 。 （b） )3()2(3)1(2)1()(2 += tututututf ， )(2 tf 的波形如图题 1。8（e）所示。 （c） )()5()(2sin)(3 ttututtf pi += , )(3 tf 的波形如图题 1.8（f）所示 . 1-9 已知信号 )21(f 的波形如图题 1-9 所示 ，试画出 y(t)=f(t+1)U(-t)的波形 。 解解解 解 )()1()( tutfty += 的波形如 图题 1.9(b)所示 。 1-10 已知信号 f(t)的波形如图题 1-10所示 ，试画出信号 t df )2( 与信号 )26( tfdtd 的波形 。 解解解 解 (1) )2( tf 的波形与 t df )2( 的波形分别如图题 1.10(b),(c)所示 。 (2) )26( tf 的波形与 )26( tfdtd 的波形分别如图题 1.10(d),(e)所示 。且 )3(2)5.2()2()26( += ttttfdtd 1-11 已知 f(t)是已录制的声音磁带 ，则下列叙述中错误的是 (_C_)。 A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号 B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放 C.f(2t)表示磁带放音速度降低一 半播放 D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放 1-12 求解并画出图题 1-12 所示信号 f1(t), f2(t)的偶分量 fe(t)与奇分量 fo(t)。 解解解 解 因 )()(21)()(21)()()( 0 tftftftftftftf e +=+= 式中 )()(21)(),()(21)( 0 tftftftftftfe =+= 。故可画出各待求偶分量 与奇分量的波形 ，相应如图题 1.12中所示 。 1-13 已知信号 f(t)的偶分量 fe(t)的波形如图题 1-13(a)所示 ，信号 f(t+1)U(-t-1)的波形如图题 1-13(b) 所示 。求 f(t)的奇分 量 f o(t)，并画出 fo(t)的波形 。 解解解 解 因 )()()( 0 tftftf e += 故有 )()()()()()( 0 tutftutftutf e += 将信号 )()(),()()11()11()1()1( 1 tutftutftutftutf =+ + 右移 的波形如图题 1.13(c)所示 。又有 )()()()()()(0 tutftutftutf e = )()(0 tutf 的波形如图题 1.13(d)所示 。 因为 )(0 tf 是奇函数 ，关于坐标原点对称 ，故 )()(0 tutf 的波形如图题 1.13(e)所示 。最后得 )1()1()()()()()( 000 =+= tutututftutftf )(0 tf 的波形如图题 1.13(f)所示 。 1-14 设连续信号 f(t)无间断点 。试证明 ：若 f(t)为偶函数 ，则其一阶导数 f(t)为奇函数 ；若 f(t)为奇函 数，则其一阶导数 f(t)为偶函数 。 解解解 解 （1）若 )(tf 为偶函数 ，则有 )()( tftf = .故 )()( tftf = .故 )(tf 为奇函数 。 (2）若 )(tf 为奇函数 ，则有 )()( tftf = . 故 )()( tftf = ，即 )()()()( tftftftf = .故 )(tf 为偶函数 。 1-15 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的 、时不变的 、因果的系统 。式中 f(t)为激励 ，y(t)为响应 。 (1) )()( tfdtdty = (2) y(t)=f(t)U(t) (3) y(t)=sinf(t)U(t) (4) y(t)=f(1-t) (5) y(t)=f(2t) (6) y(t)=f(t)2 (7) = t dfty )()( (8) = t dfty 5 )()( 答答答 答 (1) 线性 ，时不变 ，因果系统 (2) 线性 ，时变 ，因果系统 。因为当激励为 )(tf 时，其响应 )(ty ；当激励为 )( 0ttf 时，其响应为 )()()( 01 tuttfty = ，但是 )()( 10 tytty ，所以系统为时变系统 。 (3) 非线 性，时变 ，因果系统 。 (4) 线性 ，时变 ，非因果系统 。因为当 0=t 时有 )1()0( fy = ，即系统当前时刻的响应决定于未来时 刻的激励 ，故为非因果系统 。 (5) 线性 ，时变 ，非因果系统 。 (6) 非线性 ，时不变 ，因果系统 。因为当激励为 )(tf 时，响应为 )(ty ；当激励为 )(tkf 时，响应为 2 1 )()( tkfty = ， 但 )()(1 tkyty ，故该系统为非线性系统 。 (7）线性 ，时不变 ，因果系统 。 (8) 线性 ，时变 ，非因果系统 。 1-16 已知系统的激励 f(t)与响应 y(t)的关系为 defety tt = )()( ， ，则该系统为 (_A_)。 A 线性时不变系统 B线性时变系统 C 非线性时不变系统 D 非线性时变系统 1-17 图题 1-17(a)所示系统为线性时不变系统 ，已知当激励 f1(t)=U(t)时，其响应为 y1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激励为 f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题 117(b)所示系统的响应 y2(t)。 解解解 解 += )3()2(2)1(2)2()1(2)()(2 tututututututy =+ )6()5(2)4()5()4(2)3(2 tutututututu )6()5(4)4(5)2(5)1(4)( + tutututututu )(2 ty 的波形如图题 1.17(c)所示 . 1-18 图题 1-18(a)所示为线性时不变系统 ，已知 h1(t)=(t)-(t-1), h 2(t)=(t-2)-(t-3)。（ 1）求响 应 h(t)； （2） 求当 f(t)=U(t)时的响应 y(t)（见图题 1-18(b)。 解解解 解 （ （1 1） ） )3()2()1()()()()( 21 += ttttththth (2) 因 = t dtutf )()()( ，故根据现行系统的积分性有 )3()2()1()()3()2()1()()( +=+= tutututuddhty t t 1-19 已知系统激励 f(t)的波形如图题 1-19(a)所示 ，所产生的响应 y(t)的波形如图题 1-19(b)所示 。试求激励 f1(t)（波形如图题 1-19(c)所示 ）所产生的 响应 y1(t)的波形 。 解解解 解 用 )(tf 表示 )(1 tf 即 )1()1()(1 += tftftf 故 )(1 tf 在同一系统中所产生的响应为 )1()1()(1 += tytyty 故 )(),1(),1( tytyty + 的波形分别如图题 1.19(d),(e),(f)所示 。 1-20 已知线性时不变系统在信号 (t)激励下的零状态响应为 h(t)=U(t)-U(t-2)。试求在信号 U（t-1)激励下 的零状态响应 y(t)，并画出 y(t)的波形 。 解解解 解 因有 = t dtu )()( ，故激励 )(tu 产生的响应为 = t t duudhty )1()()()(1 =t t dudu )1()( = 32 311 10 )1()1()( t tt t tutttu 故激励 )1( tu 产生的响应为 )2()2()1()1()1()( 1 = tuttuttyty )(ty 的波形如图题 1。20所示 。 1-21 线性非时变系统 具有非零的初始状态 ，已知激励为 f(t)时的全响应为 y1(t)=2e-tU(t)；在相同的初始状态 下，当激励为 2f(t)时的全响应为 y2(t)=(e-t+cost)U(t)。求在相同的初始状态下 ，当激励为 4f(t)时的 全响应 y3(t)。 解解设系统的零输入响应为 )(tyx ，激励为 )(tf 时的零状态响应为 )(ty f ， 故有 )(2)()()(1 tuetytyty tfx =+= )()cos()(2)()(2 tutetytyty tfx pi+=+= 故联解得 )()cos3()( tutety tx pi= )()cos()( Tutety tf pi= 故得 )()cos3()cos(4cos3)(4)()(3 tutetetetytyty tttfx pipipi +=+=+=
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