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点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：3、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：4、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集个数（ ） 1 2 3 4 答案：5、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：6、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：7、设，拓扑,的既开又闭的非空真子集个数（ ） 1 2 3 4 答案：8、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） Q R -Q R 答案：9、在实数空间中，区间的内部是（ ） 答案：10、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 答案: 11、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 12、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 13、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 答案：14、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若, 则 答案：15、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若,则 答案：16、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：17、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基. 答案：18、 设,则下列的拓扑中（ ）以为子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：19、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：20、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：21、实数空间R的子集A =1, ,则（ ） R A0 A 答案：22、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（） 1 2 3 4 答案：23、已知,则上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个 答案： 24、已知=a,b,c,则上的含有个元素的拓扑有（）个 3 5 7 9 答案：25、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) 当时, 当时, 答案：26、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：27、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：28、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：29、有理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：30、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若, 则Z为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：二、填空题1、设,则的平庸拓扑为 ;答案：2、设,则的离散拓扑为 ;答案：3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_. 答案： R5、当且仅当对于的每一邻域有 答案： 6、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;答案：7、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;答案：8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;答案：9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;答案：10、设,则的平庸拓扑为 ;答案：11、设,则的离散拓扑为 答案：12、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：3 13、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个 .答案：嵌入14、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 ;答案：商映射15、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个答案：开映射16、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个答案：闭映射17、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个 ；答案：不连通空间18、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ; 答案：连通子集19、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个 ；答案：不连通空间.三判断1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的. 2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )答案:理由：因为（1）是的拓扑，故T1，T，从而；（）对任意的T1T，则有T1且T，由于T1, T2是的拓扑，故T1且T2，从而 T1T；（）对任意的，则，由于T1, T2是的拓扑，从而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；综上有T1T也是的拓扑3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）答案:理由：设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续.4、设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）答案:理由：设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以是的开子集，且有，即,从而 .5、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：理由：设,则对于任意,有唯一的一个邻域，且有,从而，因此是的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域，有,所以有.6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：理由：对于任意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻域，且有，因此是的一个凝聚点，即，所以有.四 名词解释 1同胚映射 答案：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.2、集合的聚点 答案：设A是拓扑空间X的一个子集，如果的每一个邻域U中都有A中异于的点，即，则称点是集合A的一个凝聚点。3、集合的内部 答案：设是一个拓扑空间，.则集合的所有内点构成的集合称为集合的内部.4拓扑空间的基 答案：设是一个拓扑空间，是的一个子族.如果中的每一个元素是中的某些元素的并，则称是拓扑的一个基.5闭包 答案：设是一个拓扑空间，.集合与集合的导集的并称为集合的闭包.6. 拓扑性质 在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质.7、导集 答案：设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.8、不连通空间 答案：设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.11、空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为空间.12、空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为空间.13、可分空间 答案：如果拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间.14、Lindeloff空间： 答案：设X是一个拓扑空间如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelff空间15空间 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.15、空间 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.16、空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间是空间.17、正则空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间. 18、正规空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正规空间.五简答题1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.答案：对于任意,设是的任何一个邻域，则有,由于，从而，因此，故.2、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试说明也是连续映射.答案：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.答案：对于,则，由于是一个闭集，从而有一个邻域使得,因此，即,所以对任何,是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.答案：设,则,由于是一个开集，所以是的一个邻域，且满足,因此,从而,即有，这说明是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：6、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：六、证明题1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 2设是拓扑空间上的两个拓扑，证明：也是上的拓扑，并举例说明不是的拓扑。证明：1）.(1) 是的拓扑，故，从而； (2) 对任意的，则有且，由于是的拓扑，故，且，从而； (3) 对任意的，则，由于是的拓扑，从而UTU, UTU,故UTU ； 综上有也是的拓扑 2）. 设，易见，都是的拓扑，但是，而，因此，不是的拓扑。3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集 使得.因此由于是连通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可证如果，则,均与假设矛盾.故也 是的一个连通子集. 9
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