概率论第三章题库.doc

第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1、（易）设任意二维随机变量（X，Y）的两个边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)，则以下结论正确的是（ ） A. B.C. D.2、（易）设二维随机变量,则X（ ） A. B. C. D. 3、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域D：x2+y21上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度为（ ）A. f(x，y)=1B. C. f(x，y)=D. 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. . . .5、（易）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)= 则P0X1，0Y0时, X的边缘分布函数FX(x)=_. YX12300.20.10.1510.30.150.114、（易）已知当0x 1,0 y 1时，二维随机变量(X,Y）的分布函数F(x,y) =，记（x,y）的概率密度为f(x,y) ，则f(）=_.15、（中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为则_.16、（易）设二维随机变量(X，Y)的概率密度f (x,y)=则PX+Y1=_.X-1012P17、（中等）设随机变量X的分布律为 ，且Y=X2，记随机变量Y的分布函数为FY（y），则FY（3）=_.18、（易）设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为Y-10PX-101P ，则_.19、（易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为 YX0502则PXY=0=_.三、计算题20、（中等）.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） 求关于X和关于Y的边缘分布； （3） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立21、（中等）某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名，现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席，设X，Y分别为主席来自理科、工科的人数，求：（1）（X,Y）的联合分布律；（2）X,Y的边缘分布.P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56X边缘分布YYYYP(X=i)0123X0 1/56 9/56 9/56 1/56 5/14X1 3/28 9/28 3/280 15/28X2 3/56 3/560 0 3/28Y边缘分布P(Y=j) 5/28 15/28 15/56 1/56122、（中等）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）常数c;f(x,y)dxdy=cxydxdy=cxdxydy=c(1/2*x2|从0到2)(1/2*y2|从0到1)=c(1/2*22-0)(1/2*12-0)=c*2*1/2=c并且f(x,y)dxdy=1所以c=1 （2）求（X，Y）分别关于X，Y的边缘密度 （3）判定X与Y的独立性，并说明理由； （4）求P. 23、（较难）设随机变量的分布函数为，试求： （1）常数A、B、C （2）试问X与Y是否独立？ （3）求X与Y的联合概率密度函数 F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-,-)=A(B-/2)(C-/2)=0F(-,+)=A(B-/2)(C+/2)=0F(+,-)=A(B+/2)(C-/2)=0F(+,+)=A(B+/2)(C+/2)=1解得：A=1/2,B=/2,C=/2F(+,y)=1/2+1/*arctan（y/3)F(x,+)=1/2+1/*arctan（x/2)F(x,y)=F(+,y)F(x,+)X和Y相互独立.(X,Y)的联合概率密度：6/(11)(/2+arctan x/2)(/2+arctan Y/3) 24、（中等）设二维随机变量的概率密度为其他 求： （1）常数k； （2）关于X,Y的边缘概率密度； （3）. 【解】（1） 由性质有故 (3) 题5图25、(中等）设二维随机变量的概率密度为其他 求： （1）关于X,Y的边缘概率密度； （2）判断随机变量X与Y是否独立？ 26、（中等）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0，4上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）= 求X和Y的联合概率密度. 【解】（1） 因 故 题14图