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第八章 线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。n表示码长,k表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的 个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。设k个向量为 （7.3-2） 将它们写成矩阵形式： （7.3-3） （n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。即 C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G 式中 M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。故称这个由k个线性无关矢量组成的基底所构成的kn阶矩阵G为 码的生成矩阵（Generator Matrix）。H=校验矩阵H的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k个校验元，故须有r个独立的线性方程，因此H矩阵必由线性无关的r行组成，是一个(n-k)n阶矩阵，一般形式为一个（n,k）线性分组码生成矩阵有k行n列校验矩阵有(n-k)行n列。8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G，其左边k行k列是一个k阶单位方阵，系统码的校验矩阵H，其右边r行r列组成一个r阶单位方阵。8.5 什么是对偶码？试举例说明之。答：若把（n,k）码的H矩阵看成是(n,r)码的生成矩阵Gd,而（n,k）码的G矩阵就是（n,r），码的校验矩阵Hd,则称这两种码为互为对偶码。例如课本列举的（7，3）码Gd=H= 8.6 试述码的距离和重量的概念。线性分组码的最小距离有何实际意义？答：两个码字之间，对应位取值不同的个数，称为它们之间的汉明距离，简称距离用d(c1,c2)表示。码字中非零码元的个数，称为该码子的汉明重量，简称重量，用w(c)表示。一个线性分组码的最小距离是衡量码抗干扰能力的重要参数。码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。8.7 如果要构造一个能纠2个错的线性分组码，则其H矩阵中至少应保证多少列线性无关？答：4列 根据定理8.2检测e个错，则要求码的最小距离d大于等于e+1 纠正t个错，则要求码的最小距离d大于等于2t+1 纠正t个错误同时检测e个错误，则要求d大于等于t+e+1而根据定理8.3 （n,k）线性分组码有最小距离为d的重要条件是H矩阵中任意d-1列线性无关所以是4列8.8 什么是接收序列y的伴随式s？为什么伴随式s只由错误图样e决定？答：令 其中y为接收码字e为接收图样，称s为接收序列的伴随式。由式可知若e=0，则s=0;若 e0,则s0,因此伴随式s只由错误图样e决定。8.9 如何构造一个码的标准阵列？标准阵列有哪些性质？答：先把子群中的全部个码字,置于表的第一行，并把该子群的加法恒等元=0(即全零码字放在行的首位)在余下的-个n重中，选择一个n重作为第二行得首位元素，意识第二行的元素是和每个码字（i=1,2, ）相加，并把+置于的下面即同一列。第三行再从其余的n重 中选择一个作为首位元素，同理将+置于的下面完成第三行。以此类推，一直将n重用完为止。如下表：许用码字=（陪集首）禁用码字+标准阵列的性质有：如果把陪集看成是错误图样，则每一个陪集中具有相同的错误图样。每一个陪集中的个n重都有相同的伴随式而不同的陪集具有不同的伴随式。对于同一列的各子集, , , 来说，其中个n重得错误图样虽然不同，但全部对应于同一许用码字。8.10 如何利用标准阵列译码？为什么说用标准阵列译码时，译码错误概率的大小与陪集首的选择有关？答：当输入译码的接收序列为y时，经查表总能确定y落在标准阵列的第j行第i列，译码器就能判定发送码字是第i列（即子集）所对应的许用码字而粗我图样即第j行所在陪集的陪集首用上述方法译码时，译码正确的概率大小与陪集首的选择有关。显然任意选择陪集首不是好的方法。根据最大似然译码准则，重量最轻得错误图样产生的可能性最大，所以应选优先择重量小的n重作为陪集首，这样构造的译码表，可使+与之间的激励最小，从而使译码器以更大的概率正确译码，这就是最小译码距离。8.11 什么是完备码？为什么说汉明码是完备码？答：如果某一（n，k）线性分组码能使 =+成立，即错误图样正好等于伴随式数目，则称这种码为完备码。显然，汉明码是t=1完备码。8.12 某分组码的校验矩阵为H =求：（1） n = ？k= ？该码的码字有多少？ （2） 该码的生成矩阵； （3） 矢量010111和100011是否为码字。解：（1）n=6,k=3,该码有8个码字。（2）由校验矩阵可得 +=0 +=0 +=0所以 = = = = + = + =+由此可得生成矩阵为：（3）经验证，010111不是码字，100011是码字。8.13 某二元（n，k）系统线性分组码的全部码字如下 00000 01011 10110 11101求：（1） n = ？k= ？ （2） 码的生成矩阵G和校验矩阵H。解：（1）n=5，k=2。 根据码字可以得n=5，又因为总共4个码字，说明信息位有2位，即k=2。 （2）码的生成矩阵G=，校验矩阵H=。 =G，且G = : P,根据全部的码字可以得出P。进而可以得到G。又H = : ，从而推出矩阵H。其中、为单位矩阵8.14 已知一个线性分组码的校验矩阵为H=试求其生成矩阵。当输入信息序列为 1001 1100 1101时，求编码器输出的码字序列。解：生成矩阵G= 输出的码字序列为：1001100,1100110,1101001。 根据G = : P，H = : 的关系，由H矩阵可以写出G矩阵。 又由 =G可以分别得出信息序列为1001,1100,1101的码字分别为： 1001100,1100110,1101001。8.15 设一个（7，4）分组码的生成矩阵为G=求：（1） 该码的全部码字 （2） 码的标准序列 （3） 码的简化译码表答：(1)信息组码字00000000000000100011100010001001100110011101010001001010101010101101100110110011101110001000100011110011001001101010101001011101101011001100010110111011001110111000111111111111（2）标准矩阵列信息组m00000001001000110100010101100111许用码字c00000000001110001001100111010100101010101101101100111000 有 单错的n重00000010001111001001000111000100100010101001101110111001000001000011000010001001111101001110101001011010001110100000100000101000101110011001010000101011110110010011110000010000000110001101100101010101101010001101111100110000001000000111100000011000110101101010111011010011001010000100000010111001100110111101000010100010110010110001100010000001001110101001110111011100101110101111101101111000信息组m10001001101010111100110111101111许用码字c10001111001001101010010110101100010110110011100011111111有 单错的n重10001101001000101010110110111100011110110111100001111110100010110010111010110101100011000001101110111001111111011000011100110110100001011110110011011010001111001111101110011111000001101110010100101101010110010011100011110111101011110110011000100100101011100101111100110000111011111100111110100111101001111010100001010011001010001101111100001110001001001010000110100100010010110001100010111111（3）译码表伴随式s错误图样（陪集首）e000000000000100000010100000010100000010011000010000110010000101010000011110000008.16 构造8.15题中（7,4）分组码的对偶码，构造其系统码形式的G矩阵和H矩阵，并写出全部码字。答：G矩阵码字：信息组码字000000000000111100010101011010011010101110011011001010011101110011011011110001118.17 某（5,2）线性分组码的H矩阵H = 求：（1）该码的G矩阵 （2）该码的标准阵列 （3）该码的简化译码表 （4）说明该码是否为完备码答：（1）由H矩阵的形式可知，该线性分组码为系统码 根据系统码可知 H =P : G = : 、为单位矩阵所以可以求出 G = （2）根据题意（5,2）的线性分组码可以知道 信息组 m = 然后 根据c = m G可以求出c = * = 所以 根据标准阵列的定义有信息组m00011011许用码字c00000011011011111010有单错的n重0000101100101101101100010011111010111000001000100110011111100100000101111111001010000111010011101010有两错的n重0001101110101001100100110010111000111100有三错的n重00111010101000011101(3)由标准阵列可以得到错误图样表（陪集首） 与 其伴随式 s = . 根据公式计算有 伴随式s错误图样（陪集首）e0000000000100001010000101000010010101000111100000110001111000110（4）不是完备码根据（2）（3）可以知道伴随式数目为 = 8（个） 又由于完备码的概念是使得 的= 成立表示错误个数小于等于t的错误图样数 根据（2）（3）可以知道 明显e的个数大于伴随式的个数 所以不相等 也就是说明改码不是完备码8.18 试构造GF（2）上的（15,11）汉明码。求出其系统码形式的H矩阵和G矩阵答：取 r = 4构造GF（2）上的（15,11）的汉明码。当r = 4时，有15个非全0的四重，即（0001）（0010）（0100）（1000）（0011）（0101）（0110）（0111）（1001）（1010）（1011）（1100）（1101）（1110）（1111）构成H矩阵根据H矩阵和G矩阵的关系以及系统码的概念有H =P : G = : 、为单位矩阵所以有G矩阵
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