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第三章一元函数的导数和微分3.1导数概念 一、问题的提出1.切线问题割线的极限位置切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即切线MT的斜率为2.自由落体运动的瞬时速度问题二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量x（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果y与x之比当x0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作注意：2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.导数定义例题：例1、115页8设函数f（x）在点x=a可导，求：（1）【答疑编号11030101】（2）【答疑编号11030102】三、单侧导数1.左导数：2.右导数：函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103】解闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间a，b上可导.由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104】解例4、设函数【答疑编号11030105】解同理可以得到例5、求例6、求函数的导数。【答疑编号11030106】解例7、求函数的导数。【答疑编号11030107】解 四、常数和基本初等函数的导数公式 五、导数的几何意义表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即 切线方程为法线方程为例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。【答疑编号11030108】解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为六、可导与连续的关系1.定理 凡可导函数都是连续函数.注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。我们有：不连续一定不可导极限存在、连续、可导之间的关系。2.连续函数不存在导数举例例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。【答疑编号11030109】解：例10、 P115第10题设，在什么条件下可使f（x）在点x=0处。（1）连续；（2）可导。【答疑编号11030110】解：（1）（2）七、小结1.导数的实质：增量比的极限；2.导数的几何意义：切线的斜率；3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；4.5.求导数最基本的方法：由定义求导数.6.判断可导性3.2求导法则 3.3基本求导公式 一、和、差、积、商的求导法则1.定理：如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且推论2.例题分析例1、求的导数。【答疑编号11030201】解例2、求的导数。【答疑编号11030202】解例3、求y=tanx的导数。【答疑编号11030203】解同理可得例4、求y=secx的导数。【答疑编号11030204】解同理可得例5、131页例2设，求.【答疑编号11030205】二、反函数的导数1.定理：如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.例题分析例6、求函数y=arcsinx的导数【答疑编号11030206】解同理可得例7、求函数的导数。【答疑编号11030207】解特别地三、小结：初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u（x），v=v（x）可导，则例8、127页1题（6）（14）（15）（1）1题（6）小题【答疑编号11030208】解：（2）1题（14）小题【答疑编号11030209】解：（3）1题（15）小题【答疑编号11030210】解：例9、115页3若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。【答疑编号11030211】解：例10、115页5求曲线的与直线y=5x的平行的切线。【答疑编号11030212】另一条求出来是四、分段函数的求导问题1.114页定理：设（1）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则（2）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则2.分段函数的求导问题举例例11、 116页11 求下列分段函数f（x）的：（1）【答疑编号11030213】解：五、复合函数的求导法则1.复合函数的求导法则定理如果函数在点x0可导，而y=f（u）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）推广设，则复合函数的导数为2.例题分析例1.求函数y=lnsinx的导数。【答疑编号11030301】解y=lnu，u=sinx.例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求。【答疑编号11030302】例3.求y=sin5x的导数【答疑编号11030303】例4.求函数的导数【答疑编号11030304】解 例5.（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求的导数【答疑编号11030305】例6.求的导数【答疑编号11030306】例7.求的导数（a0）【答疑编号11030307】例8.求函数的导数【答疑编号11030308】解例9.（教材128页习题3.2，3题（5）小题）求的导数【答疑编号11030309】例10.（教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx）（cosnx）的导数【答疑编号11030310】例11.求的导数【答疑编号11030311】例12.求的导数【答疑编号11030312】例13.求的导数【答疑编号11030313】例14.求的导数【答疑编号11030314】例15.（教材习题3.2，8题）已知在点x1可导，求a，b。【答疑编号11030315】幂指函数、抽象的复合函数的求导例题一、幂指函数求导例1： xx【答疑编号11030401】例2： y=（sinx）cosx求y【答疑编号11030402】二、抽象的复合函数求导例3：设f（u）可导，求下列函数的导数（1）f（lnx）+lnf（x）【答疑编号11030403】解：（2）y=f（e-x） 【答疑编号11030404】解：（3）y= ef（x）【答疑编号11030405】（4）【答疑编号11030406】（5）【答疑编号11030407】3.4高阶导数 一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度。设s=f（t），则瞬时速度为v（t）=f（t）加速度是速度v对时间t的变化率a（t）=v（t）=f（t）定义如果函数f（x）的导数f（x）在点x处可导，即存在，则称（f（x）为在点x处的二阶导数。记作。二阶导数的导数称为三阶导数,。三阶导数的导数称为四阶导数,。例4：y=3x2+sinx【答疑编号11030408】一般地，函数f（x）的n-1阶导数的导数称为函数f（x）的n阶导数，记作相应地，f（x）称为零阶导数；f（x）称为一阶导数。例5：求下列函数的二阶导数：（1）y=ax+b【答疑编号11030409】（2）y=cos nx；【答疑编号11030410】（3）y=esinx【答疑编号11030411】二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。例6：求下列函数的n阶导数（1）y=ex【答疑编号11030412】（2）y=x5【答疑编号11030413】例7：设y=x求y（n）解：用数学归纳法可以证明：特别，当=n时，即y=xn，其n阶导数y（n）= （x n）（n）=n!【答疑编号11030414】例8：【答疑编号11030415】例9：设y=（x2+1）10（x9+x3+1），求y（30）【答疑编号11030416】例10：设y=sinx，求y（n）。【答疑编号11030417】解同理可得注意：求n阶导数时,求出13或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.（数学归纳法证明）例11：设f（x）的n-2阶导数，求f（n）（x）。【答疑编号11030418】3.5函数的微分 问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.设边长由x0变到x0+x，正方形面积是x的线性函数且为A的主要部分，是x的高阶无穷小，当|x|很小时可忽略。微分的定义定义：设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，如果成立（其中A是与x无关的常数），则称函数y=f（x）在点x0可微，并且称Ax为函数y=f（x）在点x0相应于自变量增量x的微分，记作微分dy叫做函数增量y的线性主部。（微分的实质）可微的条件定理：函数f（x）在点x0可微的充要条件是函数f（x）在点x0处可导，且通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dx=x即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，导数也叫“微商”。微分的几何意义几何意义:（如图）当y是曲线的纵坐标增量时，dy就是切线纵坐标对应的增量，当|x |很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线段MN。微分的求法求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分。1.基本初等函数的微分公式 2.函数和、差、积、商的微分法则例1：设，求dy。【答疑编号11030501】例2：，求dy。【答疑编号11030502】例3：，求dy。【答疑编号11030503】微分形式的不变性设函数y=f（x）有导数f（x）（1）若x是自变量时，dy= f（x）dx（2）若x是中间变量时，同样有结论：无论x是自变量还是中间变量，函数y=f（x）的微分形式总是，这就是微分形式的不变性例4：设y=sin（2x+1），求dy。【答疑编号11030504】解法一：解法二：y=sinu,u=2x+1dy=cosudu=cos（2x+1）d（2x+1）=cos（2x+1）2dx=2cos（2x+1）dx例5（P144、例6（1）:设函数f（u）可微，求函数y=f（lnx）的微分：【答疑编号11030505】解：例6：求【答疑编号11030506】例7（P144、例7）：求【答疑编号11030507】利用微分计算函数的近似值求f（x）在点x=x0附近的近似值；例8：计算的近似值。【答疑编号11030508】解：3.6导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。42
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