数学分析3期末练习题三参考答案.doc

10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案1. 试求极限 解 . 2. 试求极限 解 由 . 3. 试求极限解 由于 , 又 ,所以 ， , 所以 . 4. 试讨论解 当点沿直线趋于原点时， . 当点沿抛物线线趋于原点时， . 因为二者不等，所以极限不存在. 5. 试求极限解 由 = .6. ,有连续的偏导数，求 解 令 则 7. 求解 由 . 8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。解 由于 ,在处 ， 所以, 切平面方程为 . 即 法线方程为 . 9. 求在处的泰勒公式.解 由 . 得. 10. 求函数的极值.解 由于 解得驻点， 所以 是极小值点, 极小值为 11. 叙述隐函数的定义.答: 设，函数 对于方程, 若存在集合与，使得对于任何，恒有唯一确定的，使得满足方程 ,则称由方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。一般可记为 且成立恒等式12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答: 若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数;（iv）0,则在点的某邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得1 ,时且；2 在内连续.13. 叙述隐函数可微性定理的内容.答: 若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数;（iv）0,又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答: 设在的某邻域内有连续的导函数，且; 考虑方程由于, , 所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数.反函数的导数是15. 解: 显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于的导数（其中是的函数）并以3除之，得,或 （1）于是 （2）再对（1）式求导，得： 即 （3）把（2）式代入（3）式的右边，得再利用方程就得到 16. 解: 由于处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数，且可求得它得偏导数如下：17. 解: (1)令, 则有.由于均连续,且,故在点附近由上述方程能确定隐函数和.(2)当时, 由定理知;同理, 当时, 由定理知.于是求得并且有, .18. 解: 首先，即满足初始条件. 再求出F，G的所有一阶偏导数容易验算，在点处的所有六个雅可比行列式中只有因此，只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数. 除此之外，在的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得的偏导数，只需对方程组分别关于求偏导数，得到 （1） （2）由（1）解出由（2）解出19. 解: 设,.(1) 关于的雅可比行列式是,当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数;(2) 关于的雅可比行列式是,当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数.20. 解: 设 ，. 它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为： 和， ， .所以曲线在处的切线方程为：，即法平面方程为 ，即.21. 解: 令, 则,故, 因此曲面在点处的法向量为,所求切平面方程为,即.法线方程为即22. 解: 这个问题实质上就是要求函数（空间点到原点的距离函数的平方）在条件及下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令.对求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有求得这方程组的解为与 （1）（1）就是拉格朗日函数的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值），故由所求得的两个值，正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.23. 叙述含参量的正常积分定义.答: 用积分形式所定义的这两个函数 （1）与 , （2）通称为定义在上含参量的（正常）积分，或简称含参量积分.（1）式的意义如下：设是定义在矩形区域上的二元函数。当取上某定值时，函数则是定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在可积，则其积分值是在上取值的函数，记它为，就有.（2）式的意义如下：一般地，设为定义在区域上的二元函数，其中为定义在上的连续函数，若对于上每一固定的值，作为的函数在闭区间上可积，则其积分值是在上取值的函数，记作时，就有 24. 叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.答: 设二元函数在区域上连续，其中为上的连续函数，则函数 （6）在上连续.25. 叙述含参量的无穷限反常积分定义.答: 设二元函数定义在无界区域上，若对于上每一固定的值，反常积分 (1)都收敛, 则它的值是在上取值的函数, 当记这个函数为时, 则有,称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分.26. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.答: 若含参量反常积分 与函数对任给的正数，总存在某一实数使得当时，对一切，都有 即 则称含参量反常积分 在上一致收敛于，或简单地说含参量积分 在上一致收敛.27. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.答: 含参量反常积分 在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有.28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.答: 设对一切实数Nc，含参量正常积分对参量在上一致有界，即存在正数M，对一切Nc及一切，都有对每一个，函数关于y是单调递减且当时，对参量一致地收敛于0. 则含参量反常积分在上一致收敛29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.答: 设在上一致收敛；对每一个，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量反常积分在上一致收敛。30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.答: 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且设在上连续.若关于在任何闭区间上一致收敛，关于在任何区间上一致收敛； 积分 （18）中有一个收敛， 则（18）中另一个积分也收敛，且31. 解: 因为所以 由于函数在上满足定理的条件，所以交换积分顺序得到32. 解: 因为,所以该积分是正常积分.交换积分次序, 得.在上面的内层积分中作变换,有,于是.解法二: 取为参量, 利用积分号下求导数的方法,有积分上式,可得由于,即有,于是有.33. 解: 因为，所以 （21）由于及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分在上一致收敛.由于在上连续，根据定理19.11交换积分（21）的顺序，积分I的值不变.于是 在上述证明中，令，则有, (22)由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在上一致收敛.于是由定理19.9，在上连续，且又由（22）式在上式中，令，则有.34. 解: 由于对任一实数成立及反常积分收敛，所以原积分在上收敛. 考察含参量反常积分, (24)由于对一切成立及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得 于是有,.从而，又由原积分，所以，因此得到35. 解: 把含参数的反常积分.中的被积函数关于求偏导数, 可得,当时, 有,因此,由M判别法, 关于参量是一致收敛的,因此对可以在积分号下求导,即.因为,所以.于是.令,有.36.解：. 37.解： 直线段的参数方程是：， 于是， .38.解:原式 39.解: .40.解： 由于，因此，全微分的原函数是. 41.解:().画出积分区域 ().42.解:.43.解: (). 由,得.于是,故是抛物线.令,得.故与轴相交于.().令 ,则，故 .().44.解: .45.解:.46.解：因为,故,.于是 .47.解：S是分解为两部分:,.故 .48.解：原式= . 49.解:().画出积分区域 ().原式=.50.解：由Gauss公式，得，由广义球坐标变换 , ，得 18