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数列的通项公式1.通项公式 如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2.数列的递推公式 （1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。 （2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.数列的前n项和与数列通项公式的关系 数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即 与通项的关系是4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n项和与的关系法， 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如4）. 累（叠）乘法：形如 5）.待定系数法 ：形如a=p a+q（p1，pq0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）6) 倒数法 ：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7). 对数变换法 ：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法: 形如 (然后用待定系数法或是等差数列)9). 归纳猜想证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳猜想证明”法递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法. 通项公式方法及典型例题1.前n项和与的关系法例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）(1)Sn2n23n； （2）解： (1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5. （1）， 当时=3经验证也满足上式 =3（2），当时， 由于不适合于此等式 。 (点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2.累加法: 型 2.在数列an中，a11，an1an2n；解:由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)个式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.当n1时，a11也符合， 所以an2n1(nN*)3.累乘法 型，3. 已知数列中满足a1=1，求的通项公式.解： . a1=*1= 4.待定系数法: a=p a+q（p1，pq0）型，通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。4.在数列an中，a13，an12an1.由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2为公比的等比数列所以bnb12n1(a11)2n12n1， 所以anbn12n11(nN*)5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式，分子只有一项（两边取倒，再分离常数化成求解）然后用待定系数法或是等差数列例5. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由 得是以首项为，公差为的等差数列 考点六、构造法 .形如 然后用待定系数法或是等差数列6、已知数列满足求an解：将两边同除，得，变形为设，则所以，数列为首项，为公差的等比数列因，所以= 得=求数列的通项公式一、数列通项公式的求法1、观察法观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式例、由数列的前几项写通项公式（1）1，3，5，7，9 （2）9，99，999，9999， （3）2、定义法：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目 例（1）已知是一个等差数列，且。求的通项.；（2）已知数列为等比数列，求数列的通项公式；（3）已知等比数列，若，求数列的通项公式。（4）数列中，求的通项公式（5）已知数列满足，求的通项公式（6）已知数列中, ,且当时,则 ; . 3、公式法：已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：注意：要先分n=1和n2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例（1）已知数列的前n项和，求的通项公式。（2）已知数列中, ,则 .（3）已知数列前n项和，求的通项公式4 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.例.（1）数列中，求的通项公式 （2）在数列中， ， 求数列的通项公式？5、 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例（1）已知数列的首项，且，求数列的通项公式（2）已知数列的首项，求数列的通项6、 凑配法（也叫构造新数列）: 将递推公式（为常数，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫凑配法（构造新数列.）例（1）数列中，求的通项公式（2）已知数列中, ,求的通项公式7、 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例（1）在数列中, , 求数列的通项公式？求前n项和的方法 (1)公式法等差数列前n项和Sn_，推导方法：_；等比数列前n项和Sn推导方法：乘公比，错位相减法常见数列的前n项和：a123n_； b2462n_；c135(2n1)_；de (2)分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和常见的裂项公式有：_x0001_ ； ；. (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和这种方法主要用于求数列的前n项和，其中和分别是 和 ；(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导考点二、分组求和法： 2.求数列的前n项和。 考点三、.裂项相消法： 3. 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 考点四、错位相减法：4. 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位,乘以公比）_x0001_ - 得 （错位相减） 考点五、倒序相加法：5. 求的值解：设. 将式右边反序得 .（反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5数列求和练习1、已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公差为3的等差数列，求bn的通项公式及前n项和Tn.3、已知等差数列an中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为()A. 130 B. 260 C. 156 D. 1684. 在数列an中，an4n，a1a2anan2bn，nN+，其中a，b为常数，则ab_.二、错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.2设数列的前n项和为，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前项和.例2已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列； （）数列的前项和2设数列的前n项和为，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前项和.三、分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。四、裂项相消法求和例1 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.练习1、设数列的前n项的和为，点均在函数的图像上（1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前n项的和，求3、数列的通项公式为，则它的前10项的和= 4、5已知数列是等差数列，其前项和为（I）求数列的通项公式； （II）求和：. 等差 等比 应用 例1.在等差数列中，则 .练习1.设为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）A.18 B.20 C.22 D.242.已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=（ ）(A) (B) 7 (C) 6 (D) 3.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d_4. 等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_5. 数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.6.正项等比数列= 。7.等比数列的前项和为,已知,则(A) (B) (C) (D)8.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（ ） A9 B3C -3 D-99. 设等差数列的前项和为,则 ( )A.3 B.4 C.5 D.610.已知数列为等差数列，且，那么则等于（ ）（A） （B） （C） （D）11.知数列为等差数列，是它的前项和.若，则( ) A10 B16 C20 D2412.在等比数列中，首项，则公比为 .13. 若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和_.14 等比数列中,公比,记(即表示数列的前 项之积),取最大值时n的值为（）A8B9C9或10D11 数列大题训练1、已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和2函数对任意都有(1)求和的值(2)数列满足：数列是等差数列吗？请给予证明3已知数列满足是首项为1、公比为的等比数列(1)求的表达式； (2)如果 求数列的前n项和4、数列的前项和记为 （）求的通项公式；（）等差数列各项为正，前项和为，又成等比数列，求. 5、已知数列是等差数列，且，是数列的前项和 ()求数列的通项公式及前项和；() 若数列满足，且是数列的前项和，求与6 设是正数组成的数列，其前n项和为 并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项 (1)求数列的通项公式；(2)令 求证：7、已知数列是等差数列， ；数列的前n项和是，且() 求数列的通项公式； () 求证：数列是等比数列；() 记，求的前n项和8.已知数列的前项和满足，其中（I）求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和为9.已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和10、已知数列满足 （1）求的通项公式；（2）证明：.11.已知数列的前项和是，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求适合方程 的正整数的值 数列大题训练( 答案 ) 1、【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=2(1)因为 故令得 即(2) ：而两式相加得所以 又故数列是等差数列3(1) 当时， 故即 (2)因故 一得 故 又故4、解：（）由可得，两式相减得：，又 故是首项为1，公比为3的等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得等差数列的各项为正， 5、()设数列的公差为，由题意可知：,解得: 3分 5分 6(1)由题意可知：整理得 所以故整理得：由题意知 而 故即数列为等差数列，其中 故(2)令 则故故7、解：()设的公差为，则：，2分 4分（）当时，由，得 5分当时，即7分 是以为首项，为公比的等比数列9分（）由（2）可知： 13分8.解:（I）， 当，当， -：，即： 4分又， ，对都成立，所以是等比数列，（II）， ， ，即 .12分9.（1）由已知得，当时，（2）由可得当为偶数时，当为奇数时，为偶数，综上， 10.（1）解 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，。 （2）证明： ， n是正整数， 。 11.解：（1） 当时，由，得 当时， ， ，即 5分是以为首项，为公比的等比数列故 （2） ，（3）解，得 19
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