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狭义相对论补充例题 第一部分选择题 B 在某地发生两件事，静止于该地的甲测得时间间隔为 4 s，若相 对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为 5 s，则乙相对于甲的 运动速度是 ( c 表示真空中光速) (A)(4/5)c。(B)(3/5)c。 (C)(1/5)c D)(2/5)c。 2 2 154 c u = 原时小于动时(两地时) cu 25 16 1= C 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行。如果宇航员希望把 这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是： (A) v = (1/2)c。(B) v = (3/5)c。 (C) v = (4/5)c D) v = (9/10)c。 (c 表示真空中光速) 22 153 cu= B 一火箭的固有长度为 L，相对于地面做匀速直线运动 的速度为 v 1 ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前 端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为 v 2 的 子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔 是： (A)。 (B)。 (C)。 (D)。 21 vv L + 2 v L 12 vv L 22 1 cvv L 11 C 下列表述中错误 的是： (A)固有长度总是最长。 (B)要测量两点之间的固有长度，测量者相对于这两点应该是 静止的。 (C)设 x = l 0 (固有长度)，则 t 一定为零。 (D)平行于物体运动速度方向的长度将收缩。 B 一火箭的固有长度为 L，相对于地面做匀速直线运动的速度为 v 1 ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发 射一颗相对于火箭的速度为 v 2 的子弹。在火箭上测得子弹从 射出到击中靶的时间间隔是： (A)。 (B)。 (C)。 (D) 。 21 vv L + 2 v L 12 vv L 22 11 1 cvv L C K 系与 K 系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K 系相对于 K 系沿 OX 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在 K 系 中，与 OX 轴成 30 o 角。今在 K 系中观测得该尺与 OX 轴 成 45 o 角，则 K 系相对于 K 系的速度是： (A)(2/3)c。(B)(1/3)c。 (C)。(D)。()c 21 32 ( ) c 21 31 y x x D 30 O O y K K u 解：尺在 K 系中静止，K 系测得固有 长度。它在 x、 y 轴上投影分别为 x 和 y；在 K 系，尺的投影分 别为 x 和 y，由题设条件， DD 45tan ,30tan = x y x y , yy = () 2 1 cuxx = () 3 1 tan45 tan30 1 2 = D D cu cu 3 2 = 又 可得 A 有一直尺固定在 S 系中，它与 Ox 轴的夹角 = 45 o ，如 果 S 系以速度 u 沿 Ox 轴方向相对于 S 系运动，S 系中观 察者测得该尺与 Ox 轴的夹角 (A)大于45 o 。 (B)小于45 o 。 (C)等于45 o 。 (D)当 S 系沿 Ox 正方向运动时的 大于 45 o ，而当 S 系 沿 Ox 负方向运动时的 小于 45 o 。 A tc tv ( ) 2 1 cvtc () 2 1 cv tc 宇宙飞船相对于地面以速度 v 做匀速直线飞行，某一时刻飞船头 部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 t (飞船上的钟) 时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (A)。 (B)。 (C) 。 (D ) 。 B 边长为 a 的正方形薄板静止于惯性系 S 的 xOy 平面内， 且两边分别与 x， y 轴平行。今有惯性系 S 以 0.8c (c 为真 空中光速) 的速度相对于 S 系沿 x 轴做匀速直线运动，则 从 S 系测得薄板的面积为 (A) a 2 。(B) 0.6a 2 。(C) 0.8a 2 。(D) a 2 /0.6。 A 下列那个物理量与测量者所处的参考系无关，总是不变的？ (A)真空中的光速。 (B)两事件的时间间隔。 (C)物体的长度。 (D)(A)与( B)。 (E)(A)与(C )。 (F)(B)与(C )。 B 站台上的相距 1 m 的两机械手同时在速度为 0.6 c 的火车上画 出两痕，则车厢内的观察者测得两痕的距离为 (A) 0.8 m。( B) 1.25 m。( C) 0.45 m。( D) 0.6 m。 B 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空 中的光速。 (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者 的相对运动状态而改变的。 (3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事 件在其他一切惯性系中也是同时发生的。 (4) 惯性系中的观察者观察一个与他做匀速相对运动的 时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走 得慢些。 (A)(1)，( 3)，( 4)。 (B) (1)， ， (2)， ， (4) )。 (C)(1)，( 2)，( 3)。 ( D)(2)，( 3)，( 4)。 C 一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为 a， 宽为 b，质量为 m 0 。由此可算出其面密度为 m 0 /ab。假定该薄板沿长度方向以接近光速的 速度 v 做匀速直线运动，此时再测算该矩形 薄板的面密度则为 (A)。(B)。 (C)。(D)。 () 2 0 1 cvab m ( ) ab cvm 2 0 1 () 2 0 1 cvab m () 23 2 0 1 cvab m 令电子的速率为 v，则 电子的动能 E k 对于比值 v/c 的图线可用下列图 中哪一个图表示？( c 表 示真空中光速) v/c E k 1.00 (A) v/c E k 1.00 (B) v/c E k 1.00 (C) v/c E k 1.00 (D) () 2 0 2 2 0 k 1 cm cv cm E = D A 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的 3 倍时， 其动能为静止能量的 (A) 2 倍。 (B) 3 倍。 (C) 4 倍。 (D) 5 倍。 2 0 2 k cmmcE = 2 0 2 0 3 cmcm = 2 0 2 cm= A 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4 倍时， 其质量为静止质量的 (A) 5 倍。 (B) 6 倍。 (C) 4 倍。 (D) 8 倍。 A 已知电子的静止能量约为 0.5 MeV，若一个电子的相对论 质量与静止质量的比值为 1.5，则该电子的动能为 (A) 0.25 MeV。(B) 0.5 MeV。 (C) 0.75 MeV D) 1 MeV。 C C 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的 K 倍，则其运动速 度的大小为(以 c 表示真空中的光速) (A)。 (B)。 (C)。(D)。 一个电子运动速度 v = 0.99c，它的动能是：(电子的静止能 量为 0.51 MeV) (A) 3.5 MeV。(B) 4.0 MeV。 (C) 3.1 MeV D) 2.5 MeV。 1K c 2 1 K K c 1 2 K K c ()2 1 + + KK K c () 2 0 2 2 0 2 1 cKm cv cm mcE = = () K cv = 2 1 1 () 2 0 2 2 0 k 1 cm cv cm E = MeV 51.01 99.01 1 2 = C A 某核电站年发电量为 100 亿度，它等于 36 10 15 J 的能量，如 果这是由核材料的全部静止能转化产生的，则需要消耗的核材 料的质量为 (A) 0.4 kg。(B) 0.8 kg。 (C) 12 10 7 kg。(D)(1/12) 10 7 kg。 已知电子的静能为 0.511 MeV，若电子的动能为 0.25 MeV， 则它所增加的质量 m 与静止质量 m 0 的比值近似为 (A) 0.1。(B) 0.2。 (C) 0.5。(D) 0.9。 2 0 cmE = 2 0 c E m = 0 0 0 m mm m m = ( ) 2 0 2 0 cm cmm = 0 k E E = B 把一个静止质量为 m 0 的粒子，由静止加速到 v = 0.6c (c 为真空 中光速) 需做的功等于 (A) 0.18 m 0 c 2 。(B) 0.25 m 0 c 2 。 (C) 0.36 m 0 c 2 D) 1.25 m 0 c 2 。 C 根据相对论力学，动能为 1/4 MeV的电子，其运动速度约等于 (A) 0.1c。(B) 0.5c。( C) 0.75c。( D) 0.85c。 (c 表示真空中的光速) () = 1 1 1 51.0 4 1 2 cv 需做的功等于动能 B 将电子由静止加速到 0.6c 的速度，需要做功 A 1 ；继续加速至 0.8c，又做功 A 2 。则 A 1 与 A 2 的关系为 (A) A 1 A 2 。 (B) A 1 a) 的水平细 杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进门 内，则此杆的运动速率 u 至少为 。 ( ) 2 0 1 lac () 22 0 1 cvab m = = bcvacv m ba m 2222 0 1 1 1 已知惯性系 S 相对于惯性系 S 以 0.5c 的匀速度沿 x 轴的负方 向运动，若从 S 系的坐标原点 O 沿 x 轴正方向发出一光波， 则 S 系中测得此光波的波速为 c 。 狭义相对论确认，时间和空间的测量值都是 相对的 相对的 ，它们 与观察者的 运动 运动 密切相关。 在宇宙飞船上的人从飞船的后面 向前面的靶子发射一颗高速 子弹，此人测得飞船长度为 60 m，子弹速度是 0.8c，求该飞 船对地球以 0.6c 的速度运动时，地球上的观测者测的子弹飞 行的时间为 36 10 15 J 。 远方一颗星以 0.8c 的速度离开我们，地面上测得此星两次闪 光的时间间隔为 5 昼夜，那么固定在此星上参照系测得此星 两次闪光的时间间隔为 1.67 昼夜 昼夜 。 观察者 A 测得与他相对静止的 xoy 平面上一个圆的面 积是 12cm 2 ，另一个观察者 B 相对于 A 以 0.8c (c为真 空中光速) 平行于 xoy 平面作匀速直线运动， B 测得这 一图形为一椭圆，其面积是 7.2 cm 2 。 一门宽度为 a，今有一固有长度为 l 0 (l 0 a) 的水平细 杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进门 内，则此杆的运动速率 u 至少为 。 () 2 0 1 lac 牛郎星距离地球约 16 光年，宇宙飞船以 2.9110 8 m/s 的 匀 速度飞行，将用 4 年的时间 (宇宙飞船上的钟指示的时间) 抵达 牛郎星。 (1)在 速度 v = 情况下粒子的动量等于非相对论动量的 两倍。( 2)在 速度 v = 情况下粒子的动能等于它的静止 能量。 静止时边长为 50 cm 的立方体，当它沿着与它的一个棱边平 行的方向相对于地面以匀速度 2.410 8 m/s 运动时，在地面 上测得它的体积是 0.075 m 3 。 观察者甲以 4c/5 的速度 ( c 为真空中光速) 相对于静止的观察 者乙运动，若甲携带一长度为 l、截面积为 S，质量为 m 的棒 ，这根棒安放在运动方向上，则甲测得此棒的密度为 m/sl ； 乙测得此棒的密度为 25 m/(9sl) 。 某核电站年发电量为 100 亿度，它等于 36 10 15 J 的能量， 如果这是由核材料的全部静止能转化产生的，则需要消耗的核 材料的质量为 0.4 kg 。 23c 23c 地面上的运动员用 10s跑完了 100m全程，跑道方向自西向 东。一飞船以 0.98c（ c为真空中的光速）的速度向西飞行， 其中的观察者看来，运动员跑过的路程为 m ，所用的 时间为 s。 解：根据洛伦兹坐标变换得 2 2 1 c u tux x = 2 8 98.01 1010398.0100 = = 1.48 10 10 m ()() = 12 2 1212 xx c u tttt 2 28 98.01 )103/(10098.010 = c =50.27s 第三部分计算题 例 一发射台向东西两侧距离均为 L 0 的 两个接收站 E 与 W 发射讯号，如 图，今有一飞机以匀速度 v 沿发射 台与两接收站的连线由西向东飞 行，求：在飞机上测得两接收站收 到发射台同一讯号的时间间隔。 W E 0 L 0 L 解 ：设东西接收到讯号为两个事件，时空坐标为 地面 S 系中： (x E ， t E )， (x W ， t W ) 飞机 S 系中： (x E ， t E )， (x W ， t W ) 0 00 WE = c L c L ttt () 22 WE 2 WE 1 cv xx c v t ttt = = 负号表示东先接收到讯号。 222 0 1 2 cvc vL = 由洛仑兹时空变换得 x 例 一根米尺沿长度方向相对于观察者以 0.6c 的速 度运动，米尺通过观察者面前要花多长时间？ 解 ： (1) l = 1 m 是固有长度， 观察者测得的米尺长度 ( )m 8.06.0111 222 = = cull 在观察者参考系中，米尺掠过观察者的时间为 ()s1044.4 1036.0 8.0 9 8 = = u l t (2) 在米尺参考系中，观察者掠过米尺的时间为 ()s1056.5 1036.0 1 9 8 = = = u l t 在观察者参考系中，观察者不动，测出固有时 ()s1044.46.011056.51 92922 = = cutt 例 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率 为c，而地球以速度u = 30km/s 垂直于光线运动。求 在地面参考系中测量，星光速度的大小和方向。 解：以太阳参考系为S系，以地球参考系为S系。 x y O x y O c u x v y v c S系相对于S系的 速度是u， v x = 0，v y = c，v z = 0 代入洛伦兹速度变换，得 01 22 = = = zyx vcucvuv， cvvvv zyx = + + = 222 光速不变，大小仍为c ( ) 6.20101|tan 422 = = ，cucucuvv yx 例 已知太阳 m 0 = 2.010 30 千克，地面上每 m 2 吸收太阳光 的功率 1.3510 3 W，知 d = 1.510 11 m，则日光所辐射 的功率为 (1) P S总 = P 1 4d 2 = 3.810 26 W，又 R e = 6.410 6 m，则地吸收太阳总功率为 (2) P 总 = P 1 R e 2 (非 的光线等效， R e 2 面积) 。 问：经多少年，太阳的质量将减少 1%？ 解： %0.1 2 0 = cmE 一年太阳发射能量为 606024365108.3 26 1 =E 1 E E t = = 1.510 11 (年 ) d 例 C + O 2 CO 2 + 6.510 -19 J 2 c E m = ( ) 2 8 19 103 105.6 = ()kg 102.7 36 = 2 CO m m = 万亿分之一 一百万吨 煤 3.310 16 J， m = 0.37 kg。 R e Example By how much would the mass of a butterfly increase after one hour facing the sun, assuming all of the energy is absorbed (From the sun: 0.10 watts/cm 2 )? Assume area of butterfly is 75 cm 2 . Solution： s3600=t 7536001.0 1 =E 2 1 c E m = = 310 -13 kg J27000= 例 已知二质点 A， B 静止质量均为 m 0 ，若质点 A 静 止，质点 B 以 6m 0 c 2 的动能向 A 运动，碰撞后合成 一粒子，无能量释放。求：合成粒子的静止质量 M 0 ? 解 ：二粒子的能量分别为 2 0 2 0 2 0B 2 0A 76 cmcmcmEcmE =+=， 由能量守恒，合成后粒子的总能量为 2 0BA 8 cmEEE =+= 由质能关系： E = Mc 2 0 8mM = 由质速关系： 22 0 22 0 181 cvmcvMM = 关键求复合粒子的速度 v = ? 由动量守恒： BBA pppp GGGG =+= M p vMvp B B =， 对 B 应用能量与动量关系，即 M p vMvp B B =， 对 B应用能量与动量关系，即 42 0 22 B 2 B cmcpE += 22 0 2 B 48 cmp = 2 2 0 22 0 2 2 B 2 4 3 64 48 c m cm M p v = 0 22 00 418 mcvmM =