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第一章 弹塑性力学基础 1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解： 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力 状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2 对照应力张量 与偏应力张量 ，试问：两者之间的关系？两者主方向之 间的关系？ 解： 两者主方向相同。 。 1.3 简述应力和应变 Lode 参数定义及物理意义： 解： 的定义、物理意义： ； 1) 表征 Sij 的形式； 2) 相等，应力莫尔圆相似， Sij 形式相同； 3) 由 可确定 S1： S2： S3。 1.4设某点应力张量 的分量值已知，求作用在过此点平面 上的应 力矢量 ，并求该应力矢量的法向分量 。 解： 该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量 满足关系 最后结果为： 1.5利用上题结果求应力分量为 时，过平 面 处的应力矢量 ，及该矢量的法向分量 及切向分量 。 解： 求出 后，可求出 及 ，再利用关系 可求得 。 最终的结果为 ， 1.6 已知应力分量 为 ，其特征方程为 三次多项式 ，求 。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求 以 及 与 的关系。 解： 求主方向的应力特征方程为 式中： 是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为 形式，可令 代入，正好 项被抵消，并可得 关系 代入数据得 ， ， 1.7已知应力分量 中 ，求三个主应力 。 解： 在 时容易求得三个应力不变量为 ， ， 特征方程变为 求出三个根，如记 ，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ， 是材料的屈服极限，求 及主应力 。 解： 先求平均应力 ，再求应力偏张量 ， ， ， ， ， 。 由此求得： 然后求得： ， ，解出 然后按大小次序排列得到 ， ， 1.9 已知应力分量 中 ，求三个主应力 ，以及每个 主应力所对应的方向余弦 。 解： 特征方程为 记 ，则其解为 ， ， 。对应于 的方向余弦 ， ， 应满足下列关系 （ a） （ b） （ c） 由（ a） ,(b)式， 11得 ， ，代入（ c）式，得 ，由此求得 对 ， ，代入得 对 ， ，代入得 对 ， ，代入得 1.10当 时，证明 成立。 解 ： 由 ，移项之得 证得 第五章 简单应力状态的弹塑性问题 5.1 简述 Bauschinger 效应： 解： 拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象 5.2 在拉杆中，如果 和 为试件的原始截面积和原长，而 和 为拉伸后的截 面积和长度。则截面收缩率为 ，而应变 ，试证明当体积不变 时，有这样的关系： 证明 ： 体积不变，则有 证毕！ 5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若 ，试求 （ 1）、已知给定应力路径为 ，求对应的应变值。 （ 2）、已知给定应变路径为 ，求对应的应力值。 （ 1）解 ： 、 ， ； 、 ， 、 ， ； 、 ， 、 ， （ 2）解 ： 、 ， ； 、 ， 、 ， ； 、 ， 、 ， 5.4 在拉伸试验中，伸长率为 ，截面收缩率为 ，其中 和 为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关 系： 证明 ：将 和 的表达式代入上式，则有 5.5 为了使幂强化应力 -应变曲线在 时能满足虎克定律，建议采用以下应力 -应变关系： (1)为保证 及 在 处连续，试确定 、 值。 (2)如将该曲线表示成 形式，试给出 的表达式。 解：（ 1） 由 在 处连续，有 （ a） 由 在 处连续，有 （ b） （ a）、（ b）两式相除，有 （ c） 由（ a）式，有 （ d） （ 2） 取 形式时 ， 当 ： 即 当 ：应力相等，有 解出得， （代入 值） （代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力 -应变曲线 如图 5-1所示，并表示如下： 问当采用刚塑性模型是，应力 -应变曲线应如何表 示？ 图 5-1 解 ：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为 曲 线，这不难由原式推得 而在强化阶段， ，因为这时 将 都移到等式左边，整理之即得答案。 其中 5.7 已知简单拉伸时的 曲线由（ 5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应 变的比值 在弹性阶段， 为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后 值开 始增大最后趋向于 。试给出 的变化规律。 解： 按题设在简单拉伸时总有 （ a） 左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有 （ b） 比较（ a），（ b）两式，得 将 表达式代入，即可得 。 5.8如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处 作用一个逐渐增加的力 。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能 相同。求左端反力 和力 的关系。 解： （ 1）弹性阶段 基本方程：平衡方程 （ a） 几何方程 （ b）本构方程 （ c）联立求出 显然， ， 段先屈服，取 ，得 ，当 时， 值如上述表达式。 （ 2）弹塑性阶段（ a 段塑性， b 段弹性）平衡方程和几何方程仍为（ a）、 （ b）式。 本构方程： 且设 将本构方程代入几何方程： 即 两侧同乘面积 ，并利用平衡方程（ a），得 解出 令 ，则得 （ e） 本阶段结束时， 由几何方程 z 且 利用平衡方程 （ f） 当 时， 为（ e）式。 （ 3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。 本构方程 （ g） 与（ 2）弹塑性阶段同样步骤：可得 5.9 如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处作用一个逐渐增加 的力 。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析 结构所处不同状态，并求力 作用截面的位移 与 的关系。 解： 基本方程为 平衡方程 （ a） 几何方程 （ b） 本构方程 （ 1）弹性阶段 由前题知， 因 ，故 。 截面位移 本阶段终止时， （ 2）弹塑性阶段（ ） 此时， 截面 位移由 段变形控制： 且本阶段 终止时， （ 3）塑性阶段（ ） 无限位移（ 为不定值）。 （ 4）图线斜率比较： 段： 段： 5.10 如图所示 三杆桁架，若 ，杆件截面积均为 ，理想弹塑性材料 。 加载时保持 并从零开始增加，求三杆内力随 的变 化规律 解 ：基本 方程为 （ a) 几何方程： （ b） 协调关系： 本构方程： （ 1）弹性阶段 （ ） 利用（ a）、（ b）及（ c）第一式，联立求解得 即 可看出 结构弹性极限：令 有 （ 2）弹塑性阶段 （ ） 取 ，结构成为静定，由平衡方程 解得 若取 ，即 此时 即当 时，内力为上列 值，当 时，杆 1和杆 2 已 进入塑性阶段，当 时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故， 此结构 。 第六章 屈服条件和加载条件 6.1 简述屈服面、屈服函数的概念： 解： 根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界 限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起来，就形成一个 区分弹性和塑性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服 函数或屈服条件。 6.2 简述 Tresca 屈服条件和 Mises 屈服条件： 解： Tresca 条件： (1-3)/2=k， k=s/2或 s； Mises 条件： J2 =C， C=s2/3或 s2； 6.3 设 为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其 形式为： 证明 ： Mises 屈服条件为 故有 6.4 试用应力张量不变量 和 表示 Mises 屈服条件。 解 ： Mises 屈服条件： 故有 6.5 试用 Lode 应力参数 表达 Mises 屈服条件。 解： 由定义： 即 Mises 屈服条件为 将上式代入，得： 即： 6.6 物体中某点的应力状态为 ，该物体在单向拉伸 时 ，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性 状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被 研究点所处状态的判断有无变化 ? 解： （ 1） Mises 屈服条件判断 故该点处于弹性状态 （ 2） Tresca 屈服条件判断 故该点处于塑性状态 如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。 6.7 已知薄壁圆球，其半径为 ，厚度为 ，受内压 的作用，如采 用 Tresca 屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压 值。 解 ：研究半球的静力平衡 内球面： ，外球面： 由 Tresca 条件，内壁先 开始屈服，此时 6.8证明下列等式： （ 1）、 （ 2）、 证明： （ 1）、右边 =左边 证毕！ （ 2）、 证毕！ 6.9 设 、 、 为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为 ，提示： 证明 ： Mises 屈服条件： ， ， 又 又 证毕！ 第七章 塑性本构关系 7.1 塑性全量理论的成立条件： 解： （ 1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相 似，应力 Load 参数 和应变 Load 参数 相等，而且在整个加载过程中主方向 保持不变； （ 2）平均应力与平均应变成比例； （ 3）应力偏量分量与应变偏量分量成比例； （ 4）等效正应力是等效正应变的函数，而这个函数对每个具体材料都应通过试 验来确定。 7.2 简述简单加载定理： 解 ：简单加载就是指单元体的应力张量各分量之间的比值，在加载过程中保持不 变，按同一参数单调增长。 7.3 简述单一曲线假定： 解 ：按不 同应力组合所得的 曲线基本上和简单拉伸时的 曲线 一样。 7.4 比较两种塑性本构理论的特点： 解： 增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列的微小增量加 载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系， 再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。全量理论不去考虑应力路径的影 响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。 7.5 已知一长封闭圆筒半径为 r,壁厚为 t，受内压 p 的作用，从而产生塑性变形， 材料是各向同性的。如果忽略弹性应变，试求轴向、周向和径向应变增量的比。 解： 在 方向 的主应 力分别 为： ，则 ，从而求得应力偏量 ，再根据增量理论 ，得最终结果为（ -1）： 1： 0 7.6 已知薄壁圆筒受拉应力 的作用，若使用 Mises 屈服条件，试求屈服时扭转应 力为多大， 并求此时塑性应变增量的比。 解： 设扭转剪应力 ，主应力为： ， ，代 入 Mises 屈服条件，得 。 7.7 证明等式： 证明： 将 对 求偏导，可得 ，同理可得 ， ， ，所以 ；用同样的方法求得 。 7.8 一泊松比为 ，满足 Mises 屈服条件的单元体，已知其受力状态为 ， ， ， x,y,z 是主方向。求： （ 1）当 从零增加到 时屈服，求 ； （ 2）当 = 时，继续加载，使 ，求此时的 、 、 。 解 ： 1）开始屈服时 ，代入 Mises 屈服准则 得 ； 2）屈服后对应的塑性应变增量为 由 及 屈 服 条 件 的 微 分 形 式 ， 联 列 可 得 ， ，代入 式子得到答案结果 。 7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。 （ 1）单向拉伸应力状态， ； （ 2）纯剪力状态， 。 解： （ 1）单向拉伸应力状态 有 则 （ 2）纯剪切应力状态， 有 故 7.10 如何利用与 Tresca 屈服条件相关联的流动法则？ 第八章 理想刚塑性的平面应变问题 8.1简述滑移线的概念： 解： 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移 线。 剪切应力是最大剪应力。 平衡方程 沿 线： 2k=C 或 =2k ； 沿 线： +2k=C 或 = 2k ； 速度方程 沿 线： dv v d=0； 沿 线： dv +v d=0。 8.2 简述 Hencky 第一定理： 解： 如果由一条滑移线 转到另一条滑移线 ，则沿任何一个 族的滑移线而 变化的 角和压力 的改变值而保持常数。 8.3推导 Levy Mises 关系式 证明 ：对于平面应变问题，刚塑性材料的本构关系为： 证毕！ 8.4在刚塑性平面应变条件下，用 Tresca 屈服条件下，证明公式 证明 ： Tresca 屈服条件为： 对于平面应变（在 xoy 平面内）有： 同时： ，其中 k 为纯剪 屈服应力。 整理得： 是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定： 整理得： 证毕！ 8.5图示的楔体，两面受压，已知 ，分别对 q=0.5p,q=p 两中情况，求极限荷载 p 解 ： q=p 时，见图（ 1），在 中： 沿 线， ， , ， q=0.5p 时， 情况一见图（ 2），在 中： ， 在 中： 沿 线， ， , 情况二见图（ 1），与 一样 所以 8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、 楔体与 V 形缺口之间完全光滑； 2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。 解： 1） OD 边： GD 边： 沿 线， ， 2） 沿 OB 线， ， 8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ ）和泊松比 条件下， 试导出用表示的强化规律和本构关系。 解： 当 时，在弹性阶段有 得 平均应力 因此在弹性阶段有 ，进入塑性后有 对平均应变 刚进入塑性时 。由上式导出 。因此进入塑性 后还满足 。由于 ，得出 ，故实际独立变量 只是 与 。在塑性应变增量方面，由于 ，而 。 则有 ，并可得出 最后得到答案结果。 8.8 理想刚塑性材料的平面应变问题，已知 ，分别对 Mises 和 Tresca 两种屈服条件，讨论应力偏张量 的值。 解： （ 1） Mises 屈服条件。由流动 法则 ，现在 ，将得出 。 （ 2） Tresca 屈服条件，在 平面内求得主应力 如下： (a) 由于 ，而 ，即 即 (b) 由流动法则，这要求应力点处在屈服面 上，即 (c） 并要求 ，或 (d)由 代入 (d)式，得 由 代入，得 第九章 塑性极限分析 9.1 弹性弯曲时，材料力学中对梁的两个基本假定内容： 解： （ 1）平截面假定：梁的横截面变形后仍然保持平面； （ 2）只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量均可忽略。 9.2 上、下限定理的表述及应用： 解： 上限定理：机动乘子 S*真实乘子 S； 下限定理： 静力乘子 S0真实乘子 S； 综合： S0 S S*。 9.3 塑性铰的主要特征为： 解： （ 1）铰上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩， M=Ms; (2)铰的转角 可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致，因而它是个单向转动的 铰，若截面上的 M 减小，也即卸载，需按弹性计算。此时铰 就停止转动，保持 一个残余转角。 9.4 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解 1：（ 1）静力法 首先该超静定梁（ ）化为静定结构（ ）、（ ）。分别求出其弯矩图，然后叠加， 得该超静定梁的弯矩图（ ） 在极限情况下： 设 点支反力为 ，则： ， 由上二式得 当 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故 为该梁的完全解。 （ 2）机动法 设破坏机构如图（ ），并设 点挠度为 ，则： ， 外力功 ，内力功 由 ，可得极限载荷上限为 由于在 作用下， ，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解 2：（ 1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（ ）、（ ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯 矩图（ ） 设 点为坐标原点，此时弯矩方程为： 在极限状态时，有 ； 令 得 （ 1） 而 （ 2） （ 3） 联立解（ 1）、（ 2）、（ 3）得 解得 取较大的值，可得 在以上 值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。 （ 2）机动法 如图（ g） 设在 、 两点形成塑性铰 内力功为： 外力功为： 由虚功原理 ，得： 该解与完全解的误差为 解 3：（ 1）静力法 设坐标原点在 点，此时弯矩方程为： 段（ ） 段（ ） 在 处， 为极大值，设 在 段，由 得 ，则 （ 1） 在极限情况下： ， 即： （ 2） （ 3） 联立解（ 1）、（ 2）、（ 3）得： 取正号 由于此时形成破坏机构，故 值完全解。 （ 2）机动法 ,如图（ g） 设此梁在 和 处形成塑性铰，则 ， 内力功为： 外力功为 ： 由虚功原理 得： 由极值条件 得 代入 的表达式，则得 的极小值： 由于此结果满足 ，故所得 的值为完全解的极限载荷。 9.5试用机动法求下列图示板的极限载荷 。 (1)四边简支，边长为 的正方形板，载荷作用在板的中点； (2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用； (3)四边简支矩形板，在板上任意点 ( )承受集中力的作用 解： （ a）外力功 如破坏时四角可以翘起。内力功 其中 代入上式后，得 由虚功原理 得 其中 值由 确定即 由此得 因此 （ b）外力功 内力功 由 得 而 故 （ c）外力功 内力功 其中 由 得 9.6 使用机动法求图示连续梁的极限载荷。 解 1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（ b）、（ c）。 若塑性铰在 、 处形成，此时 外力功： 内力功： 由 得： 若塑性铰在 、 处形成，设 到 得距离为 ，此时有 外力功： 内力功： 由 得： 令 得： 将 代入 的表达式 比较以上两种可知该梁的极限荷载为 解 2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式： （ 1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（ b） 、 形成塑性铰 故 ， 由 得 图（ c） 、 两点形成塑性铰，此时有 故 ， 由 得： （ 2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能： 图（ d）在 、 、 三点形成 塑性铰，此时有 由 得： 图（ e）在 、 、 三点形成塑性铰，此时 由 得 图（ f）在 、 、 三点形成塑性铰，此时 由 得： （ 3） 形成三个塑性 铰，产生整体破坏，只有一种可能性，如图（ g），此时 由 得： 比较上述六种情况，以（ g）的情况 为最小，而且此载荷满足 的 塑性弯矩条件。 故破坏载荷为 解 3：该梁 的可能破坏结构与第一题完全相同 若塑性铰在 、 处形成： 若塑性铰在 、 处形成： 比较可知梁的极限载荷为 解 4：此梁为一次超静定结构，当形成两个塑性铰时，梁即成为破坏机构，其破 坏形式有（ b）（ c）（ d）三种可能。 按图（ b）形式破坏时 由 得： 按图（ c）形式破坏时，同上得 按图（ d）形式破坏时 由 得： 比较得 9.7 试求图示刚架的极限载荷 解： （ a）设如图在 四点形成塑性铰， 由 得 得 且此值满足 ，条件 所以 解 2：如图设在 四点形成塑性铰， 由 点到 点的距离 待定。 由 得 化简得 令 得 故 解 3：如图设在 等处形成塑性铰。 外力功 内力功 由 得 故 9.8对图所示的连续梁，利用上限定理求极限载荷 q. 题图 11.6 解 1）对破损机构（ a） 可得 由 ，得 代入上式，得 （ a） 2）对破损机构（ b） 由 ，得 ，代入上式得， （ b） 当（ a）式和（ b）式相等时， ，故有 9.9 图示宽度 b 不变，高度 h 线性变化的矩形截面梁，简支座截面高为 ，固定 端处截面高为 。集中力 据简支端距离为 ，对 两种情况用上限方法 求塑性极限载荷 P 值。 题图 9.9 解： 由于各截面的 值不同，因此除集中力 作用点 能形成铰外，另一铰 距 点距离 为 ，而不一定总在固定端，如图所示。 由 外力功率 ，内力功率 ，得 令 ，得 （ a） 上式中 是定值，调整 使 最小，由 ，得 （ b） 1） 当 时，即 ，代入（ b）式，得 。因为 ，而现在 ，故 最小值的 只能取在固定端处，将 代入（ a） 式，得 2） 当 时，即 ，代入（ b）式，得 。因为 ，这表明铰 不在固定端，将 代入（ a）式，得