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1 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X和 Y的联合分布律. 【解】 X 和 Y的联合分布律如表： 2.盒子里装有 3只黑球、2只红球、2 只白球，在其中任取 4只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y表示取到红球的只数.求 X和 Y的联合分布律. 【解】 X 和 Y的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（ X， Y）的联合分布函数为 F（ x， y）= . , 0 2 0 , 2 0 , sin sin 其他 y x y x 求二维随机变量（ X， Y）在长方形域 内的概率. 3 6 , 4 0 y x 【解】如图 0 , (3.2) 4 6 3 P X Y + . , 0 , 0 , 0 , ) 4 3 ( 其他 y x A y x e e e e 求： （1） 常数 A； （2） 随机变量（ X， Y）的分布函数； （3） P0 X = = 其他 (3) 0 1,0 2 P X Y 1 2 (3 4 ) 3 8 0 0 0 1,0 2 12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499. x y P X Y x y + = = = 5.设随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y）= . , 0 , 4 2 , 2 0 ), 6 ( 其他 y x y x k （1） 确定常数 k； （2） 求 P X1， Y3； （3） 求 P X1.5； （4） 求 P X+ Y4. 【解】 （1） 由性质有3 2 4 0 2 ( , )d d (6 )d d 8 1, f x y x y k x y y x k + + = = = 故 1 8 R = （2） 1 3 1, 3 ( , )d d P X Y f x y y x = 1 3 0 2 1 3 (6 )d d 8 8 k x y y x = = (3) 1 1.5 1.5 ( , )d d a ( , )d d x D P X f x y x y f x y x y . , 0 , 0 , 5 5 其他 y y e e e e 求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） P Y X. 题 6 图 【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X的密度函数为 1 , 0 0.2, ( ) 0.2 0, . X x f x . , 0 , 0 , 0 ), 1 )( 1 ( 2 4 其他 y x y x e e e e e e e e 求（ X， Y）的联合分布密度. 【解】 (4 2 ) 2 8e , 0, 0, ( , ) ( , ) 0, x y x y F x y f x y x y + = = 其他. 8.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y）= 4.8 (2 ), 0 1, 0 , 0, . y x x y x 其他 求边缘概率密度. 【解】 ( ) ( , )d X f x f x y y + = x 2 0 4.8 (2 )d 2.4 (2 ), 0 1, = 0, . 0, y x y x x x = 其他 ( ) ( , )d Y f y f x y x + = 1 2 y 4.8 (2 )d 2.4 (3 4 ), 0 1, = 0, . 0, y x x y y y y + = 其他5 题 8图 题 9图 9.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y）= = 其他 题 10 图 10.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y）= . , 0 , 1 , 2 2 y x y c x （1） 试确定常数 c； （2） 求边缘概率密度. 【解】 （1） ( , )d d ( , )d d D f x y x y f x y x y + + 如图 2 1 1 2 -1 4 = d d 1. 21 x x c x y y c = = 得 . 21 4 c = (2) ( ) ( , )d X f x f x y y + = 6 2 1 2 4 2 21 21 (1 ), 1 1, d 8 4 0, 0, . x x x x x y y = = 其他 ( ) ( , )d Y f y f x y x + = 5 2 2 21 7 d , 0 1, 4 2 0, 0, . y y x y x y y = = 其他 11.设随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（ x， y）= . , 0 , 1 0 , , 1 x x y 求条件概率密度 f Y X （ y x） ， f X Y （ x y）. 题 11图 【解】 ( ) ( , )d X f x f x y y + = 1d 2 , 0 1, 0, . x x y x x = = 其他 1 1 1d 1 , 1 0, ( ) ( , )d 1d 1 , 0 1, 0, . y Y y x y y f y f x y x x y y + = + = = = 其他 所以 | 1 , | | 1, ( , ) ( | ) 2 ( ) 0, . Y X X y x f x y f y x x f x = = 其他7 | 1 , 1, 1 ( , ) 1 ( | ) , 1, ( ) 1 0, . X Y Y y x y f x y f x y y x f y y = = . , 0 , 0 , 2 1 2 / 其他 y y e e e e （1）求 X和 Y的联合概率密度； （2） 设含有 a的二次方程为 a 2 +2 X a+ Y=0，试求 a有实根的概率. 【解】 （1） 因 1, 0 1, ( ) 0, X x f x = 其他. 故 / 2 1 e 0 1, 0, ( , ) , ( ) ( ) 2 0, . y X Y x y f x y X Y f x f y . , 0 , 1000 , 1000 2 其他 x x 求 Z= X/ Y的概率密度. 【解】如图, Z的分布函数 ( ) Z X F z P Z z P z Y = = (1) 当 z0时， ( ) 0 Z F z = （2） 当 0 z1时， （这时当 x=1000 时, y= ）(如图 a) 1000 z 3 3 6 6 10 2 2 2 2 10 10 10 ( ) d d d d y z Z z x y z F z x y y x x y x y + = = 3 3 6 10 2 3 10 10 = d 2 z z y y z y + = 题 15 图 (3) 当 z1时， （这时当 y=10 3 时， x=10 3 z） （如图 b） 3 3 6 6 2 2 2 2 10 10 10 10 ( ) d d d d z y Z x y z F z x y y x x y x y + = = 3 3 6 2 3 10 10 10 1 = d 1 2 y y z y z + = 即 1 1 , 1, 2 ( ) , 0 1, 2 0, . Z z z z f z z = 其他10 故 2 1 , 1, 2 1 ( ) , 0 1, 2 0, . Z z z f z z = 其他 16.设某种型号的电子管的寿命 （以小时计） 近似地服从 N（160，20 2 ） 分布 .随机地选取 4 只 ， 求其中没有一只寿命小于 180的概率. 【解】设这四只寿命为 X i ( i=1,2,3,4)，则 X i N（160，20 2 ） ， 从而 1 2 3 4 1 2 min( , , , ) 180 180 180 i P X X X X X P X P X i 之间独立 3 4 180 180 P X P X i 1 2 3 4 1 180 1 180 1 180 1 180 P X P X P X P X = i i i 4 4 1 4 4 180 160 1 180 1 20 1 (1) (0.158) 0.00063. P X = = 0 ( , )d ( , )d y y x y x f x y f x y = V=max( X, Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 U=min( X, Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 W= X+ Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0513 2 / 4 0 5 4 2 / 4 0 1 d d 1 d d R R r r R r r R = 3/8 3 ; 1/ 2 4 = = (2) 0 max( , ) 0 1 max( , ) 0 P M P X Y P X Y = = 0 0 1 3 1 0, 0 1 ( , )d 1 . 4 4 x y P X Y f x y = = = = 21.设平面区域 D 由曲线 y=1/ x 及直线 y=0， x=1,x=e 2 所围成，二维随机变量（ X， Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（ X， Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？ 题 21图 【解】区域 D 的面积为 （ X, Y）的联合密度函数为 2 2 e e 0 1 1 1 d ln 2. S x x x = = = 2 1 1 , 1 e ,0 , ( , ) 2 0, . x y f x y x 0)的泊松分布， 每位乘客在中途下车的概率为 p（0 p1） ，且中途下车与否相互独立，以 Y表示在中途下车的人数，求： （1）在发车 1 y 2 y 3 y i i P X x P = = 1 x 1 24 1 8 1 12 1 4 2 x 1 8 3 8 1 4 3 4 j j P Y y p = = 1 6 1 2 1 3 1 Y X15 时有 n个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； （2）二维随机变量（ X， Y）的概率 分布. 【解】(1) . | C (1 ) ,0 , 0,1, 2, m m n m n P Y m X n p p m n n = = = = (2) , | P X n Y m P X n P Y m X n = = = = = = i e C (1 ) , , 0,1, 2, . ! m m n m n n p p n m n n n = = i 24.设随机变量 X和 Y独立，其中 X的概率分布为 X ，而 Y的概率密度为 f( y)， 7 . 0 3 . 0 2 1 求随机变量 U= X+ Y的概率密度 g( u). 【解】设 F（ y）是 Y的分布函数，则由全概率公式，知 U= X+ Y的分布函数为 ( ) 0.3 | 1 0.7 | 2 G u P X Y u P X Y u X P X Y u X = + = + = + + = 0.3 1| 1 0.7 2 | 2 P Y u X P Y u X = = + = 由于 X 和 Y独立，可见 ( ) 0.3 1 0.7 2 G u P Y u P Y u = + 0.3 ( 1) 0.7 ( 2). F u F u = + 由此，得 U 的概率密度为 ( ) ( ) 0.3 ( 1) 0.7 ( 2) g u G u F u F u = = + 0.3 ( 1) 0.7 ( 2). f u f u = + 25. 25. 设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 Pmax X, Y 1. 解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 1 , 0 3, ( ) 3 0, 0, 3; x f x x x = 1 , 0 3, ( ) 3 0, 0, 3. y f y y y = 因为 X，Y相互独立，所以 1 , 0 3,0 3, ( , ) 9 0, 0, 0, 3, 3. x y f x y x y x y = 推得 . 1 max , 1 9 P X Y = 26. 设二维随机变量（ X， Y）的概率分布为16 其中 a, b, c 为常数，且 X 的数学期望 E( X)= 0.2, P Y0| X0=0.5，记 Z= X+ Y.求： （1） a, b, c的值； （2） Z的概率分布； （3） P X= Z. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+ b+ c+0.6=1 即 a+ b+ c = 0.4. 由 ，可得 ( ) 0.2 E X = . 0.1 a c + = 再由 , 0, 0 0.1 0 0 0.5 0 0.5 P X Y a b P Y X P X a b + + = = = + + 得 . 0.3 a b + = 解以上关于 a，b，c的三个方程得 . 0.2, 0.1, 0.1 a b c = = = (2) Z的可能取值为2，1，0，1，2， ， 2 1, 1 0.2 P Z P X Y = = = = = ， 1 1, 0 0, 1 0.1 P Z P X Y P X Y = = = = + = = = ， 0 1, 1 0, 0 1, 1 0.3 P Z P X Y P X Y P X Y = = = = + = = + = = = ， 1 1, 0 0, 1 0.3 P Z P X Y P X Y = = = = + = = = ， 2 1, 1 0.1 P Z P X Y = = = = = 即 Z的概率分布为 (3) . 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 P X Z P Y b = = = = + + = + + = 1 0 1 1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 X Y
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