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二 次 函 数 应 用 题 专 题 训 练 例 1 ： 求 下 列 二 次 函 数 的 最 值 ：（ 1 ） 求 函 数 的 最 值 （ 2 ） 求 函 数 的 最 值 例 2 ： 某 商 品 现 在 的 售 价 为 每 件 6 0 元 ， 每 星 期 可 卖 出 3 0 0 件 ， 市 场 调 查 反 映 ： 每 涨 价 1 元 ， 每 星 期 少 卖 出 1 0 件 ； 每 降 价 1 元 ， 每 星 期 可 多 卖 出 2 0件 ， 已 知 商 品 的 进 价 为 每 件 4 0 元 ， 如 何 定 价 才 能 使 利 润 最 大 ？ 练 习 ： 1 某 商 店 购 进 一 批 单 价 为 2 0 元 的 日 用 品 ， 如 果 以 单 价 3 0 元 销 售 ， 那 么 半 个 月 内 可 以 售 出 4 0 0 件 根 据 销 售 经 验 ， 提 高 单 价 会 导 致 销售 量 的 减 少 ， 即 销 售 单 价 每 提 高 1 元 ， 销 售 量 相 应 减 少 2 0 件 如 何 提 高 售 价 ， 才 能 在 半 个 月 内 获 得 最 大 利 润 ？ x （ 元 ） 1 5 2 0 3 0 y （ 件 ） 2 5 2 0 1 0 2 某 旅 行 社 组 团 去 外 地 旅 游 ， 3 0 人 起 组 团 ， 每 人 单 价 8 0 0 元 旅 行 社 对超 过 3 0 人 的 团 给 予 优 惠 ， 即 旅 行 团 每 增 加 一 人 ， 每 人 的 单 价 就 降 低 1 0 元 你 能 帮 助 分 析 一 下 ， 当 旅 行 团 的 人 数 是 多 少 时 ， 旅 行 社 可 以 获 得 最大 营 业 额 ？ 例 3 ： 某 产 品 每 件 成 本 1 0 元 ， 试 销 阶 段 每件 产 品 的 销 售 价 (元 )与 产 品 的 日 销 售 量 (件 ) 之 间 的 关 系 如 下 表 ： 若 日 销 售 量 是 销 售 价 的 一 次 函 数 求 出 日 销 售 量 (件 )与 销 售 价 (元 )的 函 数 关 系 式 ； 要 使 每 日 的 销 售 利 润 最 大 ， 每 件 产 品 的 销 售 价 应 定 为 多 少 元 ？ 此 时 每 日 销 售 利 润 是 多 少 元 ？解 3 “健 益 ”超 市 购 进 一 批 2 0 元 /千 克 的 绿 色 食 品 ， 如 果 以 3 0 元 /千 克 销 售 ， 那 么 每 天 可 售 出 4 0 0 千 克 由 销 售 经 验 知 ， 每 天 销 售 量 (千 克 )与 销 售 单价 (元 ) (） 存 在 如 下 图 所 示 的 一 次 函 数 关 系 式 试 求 出 与 的 函 数 关 系 式 ； 设 “健 益 ”超 市 销 售 该 绿 色 食 品 每 天 获 得 利 润 P元 ， 当 销 售 单 价 为 何 值时 ， 每 天 可 获 得 最 大 利 润 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？ 根 据 市 场 调 查 ， 该 绿 色 食 品 每 天 可 获 利 润 不 超 过 4 4 8 0 元 ， 现 该超 市 经 理 要 求 每 天 利 润 不 得 低 于 4 1 8 0 元 ， 请 你 帮 助 该 超 市 确 定 绿 色 食 品 销 售 单 价 的 范 围 (直 接 写 出 答 案 ) 4 （ 2 0 0 6 年 青 岛 市 ） 在 2 0 0 6 年 青 岛 崂 山 北 宅 樱 桃 节 前 夕 ， 某 果 品 批 发 公 司 为 指 导 今 年 的 樱 桃 销 售 ， 对 往 年 的 市 场 销 售 情 况 进 行 了 调 查 统 计 ，得 到 如 下 数 据 ： 销 售 价 x （ 元 /千 克 ） 2 5 2 4 2 3 2 2 销 售 量 y （ 千 克 ） 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 （ 1 ） 在 如 图 的 直 角 坐 标 系 内 ， 作 出 各 组 有 序 数 对 （ x ， y ） 所 对 应 的点 连 接 各 点 并 观 察 所 得 的 图 形 ， 判 断 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 ， 并 求 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；（ 2 ） 若 樱 桃 进 价 为 1 3 元 /千 克 ， 试 求 销 售 利 润 P（ 元 ） 与 销 售 价 x （ 元 /千 克 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 出 当 x 取 何 值 时 ， P的 值 最 大 ？ 5 有 一 种 螃 蟹 ， 从 海 上 捕 获 后 不 放 养 ， 最 多 只 能 存 活 两 天 如 果 放 养 在 塘 内 ， 可 以 延 长 存 活 时 间 ， 但 每 天 也 有 一 定 数 量 的 蟹 死 去 假 设 放 养期 内 蟹 的 个 体 质 量 基 本 保 持 不 变 ， 现 有 一 经 销 商 ， 按 市 场 价 收 购 这 种 活 蟹 1 0 0 0 k g 放 养 在 塘 内 ， 此 时 市 场 价 为 每 千 克 3 0 元 ， 据 测 算 ， 此 后 每千 克 活 蟹 的 市 场 价 每 天 可 上 升 1 元 ， 但 是 ， 放 养 一 天 需 支 出 各 种 费 用 为 4 0 0 元 ， 且 平 均 每 天 还 有 1 0 k g 蟹 死 去 ， 假 定 死 蟹 均 于 当 天 全 部 销 售出 ， 售 价 都 是 每 千 克 2 0 元 (1 )设 x 天 后 每 千 克 活 蟹 的 市 场 价 为 p 元 ， 写 出 p 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ；(2 )如 果 放 养 x 天 后 将 活 蟹 一 次 性 出 售 ， 并 记 1 0 0 0 k g 蟹 的 销 售 总 额 为 Q元 ， 写 出 Q关 于 x 的 函 数 关 系 式 (3 )该 经 销 商 将 这 批 蟹 放 养 多 少 天 后 出 售 ， 可 获 最 大 利 润 (利 润 =Q 收 购 总 额 )？ (2 0 0 8 湖 北 恩 施 )为 了 落 实 国 务 院 副 总 理 李 克 强 同 志 到 恩 施 考 察 时 的 指示 精 神 ， 最 近 ， 州 委 州 政 府 又 出 台 了 一 系 列 “三 农 ”优 惠 政 策 ， 使 农 民 收 入 大 幅 度 增 加 某 农 户 生 产 经 销 一 种 农 副 产 品 ， 已 知 这 种 产 品的 成 本 价 为 2 0 元 /千 克 市 场 调 查 发 现 ， 该 产 品 每 天 的 销 售 量 (千 克 )与 销 售 价 (元 /千 克 )有 如 下 关 系 ： = 2 8 0 设 这 种 产 品 每天 的 销 售 利 润 为 (元 ) (1 )求 与 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2 )当 销 售 价 定 为 多 少 元 时 ， 每 天 的 销 售 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ? (3 )如 果 物 价 部 门 规 定 这 种 产 品 的 销 售 价 不 得 高 于 2 8 元 /千 克 ， 该 农 户 想 要 每 天 获 得 1 5 0 元 的 销 售 利 润 ， 销 售 价 应 定 为 多 少 元 ? 7 (2 0 0 8 河 北 )研 究 所 对 某 种 新 型 产 品 的 产 销 情 况 进 行 了 研 究 ， 为 投 资 商 在 甲 、 乙 两 地 生 产 并 销 售 该 产 品 提 供 了 如 下 成 果 ： 第 一 年 的 年 产 量 为(吨 )时 ， 所 需 的 全 部 费 用 (万 元 ） 与 满 足 关 系 式 ， 投 入 市 场 后 当 年 能 全 部 售 出 ， 且 在 甲 、 乙 两 地 每 吨 的 售 价 ， （ 万 元 ） 均 与 满 足 一 次 函 数 关 系 （ 注 ： 年 利 润 年 销 售 额 全 部 费 用 ）（ 1 ） 成 果 表 明 ， 在 甲 地 生 产 并 销 售 吨 时 ， ， 请 你 用 含 的 代 数 式 表 示 甲 地 当 年 的 年 销 售 额 ， 并 求 年 利 润 （ 万 元 ） 与 之 间 的 函 数 关 系 式 ；（ 2 ） 成 果 表 明 ， 在 乙 地 生 产 并 销 售 吨 时 ， （ 为 常 数 ） ， 且 在 乙 地 当 年 的 最 大 年 利 润 为 3 5 万 元 试 确 定 的 值 ； （ 3 ） 受 资 金 、 生 产 能 力 等 多 种 因 素 的 影 响 ， 某 投 资 商 计 划 第 一 年生 产 并 销 售 该 产 品 1 8 吨 ， 根 据 （ 1 ） ， （ 2 ） 中 的 结 果 ， 请 你 通 过 计 算 帮 他 决 策 ， 选 择 在 甲 地 还 是 乙 地 产 销 才 能 获 得 较 大 的 年 利 润 ？ 例 4 ： 在 矩 形 ABCD中 ， AB=6 cm， BC=1 2 cm， 点 P从 点 A出 发 ， 沿 AB边 向 点 B以 1 cm s的 速 度 移 动 ， 同 时 点 Q从 点 B出 发 沿 BC边 向 点 C以 2 cm s的 速 度 移 动 ， 如 果 P、 Q两 点 同 时 出 发 ， 分 别 到 达 B、 C两 点 后 就 停 止移 动 （ 1 ） 运 动 第 t秒 时 ， PBQ的 面 积 y (cm)是 多 少 ？（ 2 ） 此 时 五 边 形 APQCD的 面 积 是 S(cm)， 写 出 S与 t的 函 数 关 系 式 ， 并 指 出 自 变 量 的 取 值 范 围 （ 3 ） t为 何 值 时 s最 小 ， 最 小 值 时 多 少 ？ 例 2 ： 小 明 的 家 门 前 有 一 块 空 地 ， 空 地 外 有 一 面 长 1 0 米 的 围 墙 ， 为 了 美 化 生 活 环 境 ， 小 明 的 爸 爸 准 备 靠 墙 修 建 一 个 矩 形 花 圃 ， 他 买 回 了 3 2 米 长的 不 锈 钢 管 准 备 作 为 花 圃 的 围 栏 ， 为 了 浇 花 和 赏 花 的 方 便 ， 准 备 在 花 圃 的 中 间 再 围 出 一 条 宽 为 一 米 的 通 道 及 在 左 右 花 圃 各 放 一 个 1 米 宽 的 门（ 木 质 ） 花 圃 的 长 与 宽 如 何 设 计 才 能 使 花 圃 的 面 积 最 大 ？ 例 6 ： 某 人 定 制 了 一 批 地 砖 ， 每 块 地 砖 （ 如 图 (1 )所 示 ） 是 边 长 为 0 .4 米 的 正 方 形 A B CD， 点 E 、 F 分 别 在 边 B C和 CD上 ， CF E 、 A B E 和 四 边形 A E F D均 由 单 一 材 料 制 成 ， 制 成 CF E 、 A B E 和 四 边 形 A E F D的 三 种 材 料 的 每 平 方 米 价 格 依 次 为 3 0 元 、 2 0 元 、 1 0 元 ， 若 将 此 种 地 砖 按 图 (2 )所示 的 形 式 铺 设 ， 且 能 使 中 间 的 阴 影 部 分 组 成 四 边 形 E F GH (1 )判 断 图 (2 )中 四 边 形 E F GH是 何 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(2 )E 、 F 在 什 么 位 置 时 ， 定 制 这 批 地 砖 所 需 的 材 料 费 用 最 省 ？ 作 业 布 置 ： 1 (2 0 0 8 浙 江 台 州 )某 人 从 地 面 垂 直 向 上 抛 出 一 小 球 ， 小 球 的 高 度 (单位 ： 米 )与 小 球 运 动 时 间 (单 位 ： 秒 )的 函 数 关 系 式 是 ， 那 么 小 球 运 动 中 的 最 大 高 度 4 .9 米 2 (2 0 0 8 庆 阳 市 )兰 州 市 “安 居 工 程 ”新 建 成 的 一 批 楼 房 都 是 8 层 高 ， 房 子 的 价 格 y(元 /平 方 米 )随 楼 层 数 x(楼 )的 变 化 而 变 化 (x=1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，7 ， 8 )； 已 知 点 (x， y)都 在 一 个 二 次 函 数 的 图 像 上 ， (如 图 所 示 )， 则 6 楼 房 子 的 价 格 为 元 /平 方 米 4 (2 0 0 8 湖 北 恩 施 )将 一 张 边 长 为 3 0 的 正 方 形 纸 片 的 四 角 分 别 剪 去 一 个 边 长 为 的 小 正 方 形 ， 然 后 折 叠 成 一 个 无 盖 的 长 方 体 当 取 下 面 哪个 数 值 时 ， 长 方 体 的 体 积 最 大 （ ） A 7 B 6 C 5 D 4 5 如 图 ， 铅 球 运 动 员 掷 铅 球 的 高 度 (m)与 水 平 距 离 (m)之 间 的 函 数 关 系 式 是 ：， 则 该 运 动 员 此 次 掷 铅 球 的 成 绩 是 ( ) A 6 m B 1 2 m C 8 m D 1 0 m （ 图 5 ） （ 图 6 ） （ 图 7 ）6 某 幢 建 筑 物 ， 从 1 0 m高 的 窗 口 A， 用 水 管 向 外 喷 水 ， 喷 出 的 水 流 呈 抛 物 线 状 (抛 物 线 所 在 的 平 面 与 墙 面 垂 直 ， 如 图 6 ， 如 果 抛 物 线 的 最 高 点M离 墙 1 m， 离 地 面 m， 则 水 流 落 地 点 B离 墙 的 距 离 OB是 ( ) A 2 m B 3 m C 4 m D 5 m7 (2 0 0 7 乌 兰 察 布 )小 明 在 某 次 投 篮 中 ， 球 的 运 动 路 线 是 抛 物 线 的 一 部 分 ， 如 图 7 所 示 ， 若 命 中 篮 圈 中 心 ， 则 他 与 篮 底 的 距 离 L是 （ ）A 4 .6 m B 4 .5 m C 4 m D 3 .5 m 8 某 居 民 小 区 要 在 一 块 一 边 靠 墙 (墙 长 1 5 m)的 空 地 上 修 建 一 个 矩 形 花 园ABCD， 花 园 的 一 边 靠 墙 ， 另 三 边 用 总 长 为 4 0 m的 栅 栏 围 成 若 设 花 园 的 宽 为 x (m) ， 花 园 的 面 积 为 y (m)(1 )求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 ， 并 写 出 自 变 量 的 取 值 范 围 ； （ 2 ） 根 据 （ 1 ） 中 求 得 的 函 数 关 系 式 ， 描 述 其 图 象 的 变 化 趋 势 ； 并结 合 题 意 判 断 当 x 取 何 值 时 ， 花 园 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？ 9 如 图 ， 要 建 一 个 长 方 形 养 鸡 场 ， 鸡 场 的 一 边 靠 墙 ， 如 果 用 5 0 m长 的篱 笆 围 成 中 间 有 一 道 篱 笆 隔 墙 的 养 鸡 场 ， 设 它 的 长 度 为 x米 (1 )要 使 鸡 场 面 积 最 大 ， 鸡 场 的 长 度 应 为 多 少 m？(2 )如 果 中 间 有 n(n是 大 于 1 的 整 数 )道 篱 笆 隔 墙 ， 要 使 鸡 场 面 积 最 大 ， 鸡 场 的 长 应 为 多 少 米 ？ 比 较 (1 )(2 )的 结 果 ， 你 能 得 到 什 么 结 论 ？ 1 0 如 图 ， 矩 形 ABCD的 边 AB=6 cm， BC=8 cm， 在 BC上 取 一 点 P， 在 CD边 上 取 一 点 Q， 使 APQ成 直 角 ， 设 BP=x cm， CQ=y cm， 试 以 x 为自 变 量 ， 写 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 1 2 (2 0 0 8 四 川 内 江 )如 图 ， 小 明 的 父 亲 在 相 距 2 米 的 两 棵 树 间 拴 了 一 根 绳子 ， 给 他 做 了 一 个 简 易 的 秋 千 ， 拴 绳 子 的 地 方 距 地 面 高 都 是 2 .5 米 ， 绳 子 自 然 下 垂 呈 抛 物 线 状 ， 身 高 1 米 的 小 明 距 较 近 的 那 棵 树 0 .5 米 时 ， 头 部刚 好 接 触 到 绳 子 ， 则 绳 子 的 最 低 点 距 地 面 的 距 离 为 米 1 3 (2 0 0 8 黑 龙 江 哈 尔 滨 )小 李 想 用 篱 笆 围 成 一 个 周 长 为 6 0 米 的 矩 形 场地 ， 矩 形 面 积 S(单 位 ： 平 方 米 )随 矩 形 一 边 长 x (单 位 ： 米 )的 变 化 而 变 化 （ 1 ） 求 S与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ； （ 2 ） 当 x 是 多 少 时 ， 矩 形 场 地 面 积 S最 大 ？ 最 大 面 积 是 多 少 ？