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,欢迎进入数学课堂,2,数列的应用,北师大版高中数学必修5第一章数列,3,数列的应用,与数列有关的应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.,4,解决有关数列的应用题与解决其它应用题相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.,数列的应用,5,例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个,分析由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟，40分钟，60分钟，分裂后的个数分别为1，2，22，23，.这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时，这种细菌的个数为a10=1210-1=29=512.故本题应选B.,说明此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出29的结果.,6,经过1个20分钟,2=21,经过2个20分钟,4=22,经过3个20分钟,8=23,经过3小时,29,=512,7,例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？,分析依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.,8,解：设从每一台工作起，这n台收割机工作的时间依次为a1，a2，an小时，依题意，an是一个等差数列，,由得，a1+a2+an=24n,9,由、联立方程组得，,解之得，a1=40，an=8.,答：用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用40小时.,10,例3.某林场原有木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大值.（设1.2520=86.74）,分析木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来a，翻一翻2a，翻两翻4a，依次类推.,解,11,12,例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金),（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后一年后顾客欠商场本利和.,（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？,13,（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后一年后顾客欠商场本利和.,解,1个月后欠商场本利和：1+11%=1(1+1%)=1.01万元,2个月后欠商场本利和:1.01(1+1%)=1.02万元,3个月后欠商场本利和:11.013=1.03万元,一年后欠商场本利和:11.0112=1.13万元.,14,（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？,主要思路：,思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.,思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.,思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.,15,思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.,解法1,1个月后欠1（1+1%）-x=1.01-x,2个月后欠（1.01-x）1.01-x=1.012-1.01x-x,3个月后欠（1.012-1.01x-x）1.01-x=1.013-1.012x-1.01x-x,12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110 x-1.01x-x,设每月付款x元，,16,由1.0112-1.0111x-1.0110 x-1.01x-x=0,得x+1.01x+1.0110 x+1.0111x=1.0112,答：每月还870元.,17,思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.,解法2,商品购买1年后货款全部付清时货款增值为11.0112万元.,设每期付款额为x万元,第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元，,第11期付款x万元,经过1个月增值为x1.01万元，,第10期付款x万元,经过2月增值为x1.012万元，,第1期付款x万元,经过11月增值为x1.0111万元.,18,由x+1.01x+1.0110 x+1.0111x=1.0112,答：每月还870元.,19,思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.,解法3,货款初为1万元.,设每期付款x元,则,第1期所付的x元,在货款初只值,第2期所付的x元,在货款初只值,第3期所付的x元,在货款初只值,第12期所付的x元,在货款初只值,20,以下同解法一.,21,例5（1996年全国高考试题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷，设1.0110=1.1045）,分析这是一个实际应用问题.由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列.,设该地区现有人口为P，那么10年后人口为P（1+1%）10.,设耕地每年至多只能减少x公顷，那么10年后耕地面积为（10000-10 x）公顷.,设现在粮食单产为M吨/公顷，那么10年后粮食单产为M（1+22%）吨/公顷.,解,22,答：按规划耕地平均每年至多只能减少4公顷.,23,思考题：,24,2.环境问题严重危害人民群众身心健康，也直接影响着北京举办2008年奥运会.2000年我国北方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化引起的.据调查，沙漠化土地面积每年以4%的速度递增.北京市以北地区1995年底有沙漠化土地面积25200亩，计划从1996年起每年在沙漠上种植相同面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在2007年年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树多少亩？(1.0412=1.601),思考题：,25,第一题提示：,26,第二题提示：,96年底沙漠化土地面积为:(25200-x)1.04;,97年底沙漠化土地面积为:(25200-x)1.04-x1.04=252001.042-x(1.042+1.04);,2007年底沙漠化土地面积为:252001.0412-x(1.0412+1.0411+1.04).,答案：每年至少植树2582亩.,27,3.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息.若银行贷款利息均按年利息10%计算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取1.1102.594,1.31013.79）,思考题：,28,第三题提示：,净收益32.5-15.94=16.6万元,所以甲方案优于乙方案.,29,小结：（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;（2）.银行存款的计息方式;（3）.银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型;（5）.定期自动转存模型；（6）.教育储蓄模型.作业：习题14第1、2题五、教后反思：,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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