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2导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义,第四章导数应用,学习导航,第四章导数应用,1.功与功率在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是_的导数2.降雨强度在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是_的导数,功W对时间t,降雨量对时间,3.边际成本在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为边际成本4.瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是_的导数；速度对时间的导数是_5.线密度单位长度的物体质量称为线密度，它是_的导数,位移s对时间t,加速度,质量关于长度,6.把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生产、生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力处理这类问题，通常分为三步：阅读理解，即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数,将实际问题转化为数学问题进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决,7.解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如图所示,审题：阅读理解文字所表达的含义，分清条件和结论，找出问题中各量之间的关系；建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；对结果进行验证评估：定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案,1一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒解析：s12t，则s(3)5，即该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒,C,2一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数,用yf(t)表示,则f(10)表示()At10时的降雨强度Bt10时的降雨量Ct10时的时间Dt10时的温度解析：f(t)表示t时刻的降雨强度,A,3某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A公司已经亏损B公司的盈利在增加，增加的幅度变大C公司在亏损且亏损幅度变小D公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的,D,导数在物理中的应用,某质点的运动方程为s2t23t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)(1)求t从1s变到3s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义(链接教材第四章2.1例1),1.电流通过一导线，从0时刻到t时刻通过该导线横断面的电荷量Q与t有如下的函数关系：Q4t2t1(Q的单位：C；t的单位：s)，求t3时的瞬时电流解：Q4t2t1，Q(t)8t1.t3时，Q(3)83125(A),导数在日常生活中的应用,方法归纳(1)要理解导数的实际意义，首先必须正确理解函数表达式的实际意义(2)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同.,导数在产量与成本中的应用,方法归纳导数在经济生活中应用时，要准确理解一些常用经济学概念，如成本、利润、销售量等，才能正确解释其导数的实际意义,在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是h(t)4.9t26.5t10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t1s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解h(t)9.8t6.5，h(1)3.3.故运动员在t1s时的瞬时速度是3.3m/s，此时运动员向下以3.3米/秒的速度运动,错因与防范(1)对该问题求得当t1s时的瞬时速度为3.3m/s，但由于对其中的“负”号物理意义理解不明，易回答为正值而出错(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向(3)利用导数解决物理问题,关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解,3一杯80的热红茶置于20的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T(单位：)与时间t(单位：min)之间的关系由函数Tf(t)给出，请问：(1)f(t)的符号是什么？为什么？(2)f(3)4的实际意义是什么？解：(1)由题意可知f(t)0，所以f(t)为负数，因为红茶温度在下降(2)f(3)4的实际意义是：t3min时，温度的瞬时变化率为4/min，即3min附近时，红茶约以4/min的速度下降,如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域；(2)求(1)中函数的导数，并写出导函数的定义域,感悟提高(1)恰当设出自变量和因变量并正确确定定义域，寻找它们之间的关系是此题关键点和难点(2)函数在闭区间的端点无导数,
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