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,欢迎进入数学课堂,6.2几何平均数与算术平均数（第二课时）-利用均值不等式求最值,引入,请同学们帮我女儿解决这样一个难题：,上周末，我女儿的数学老师布置了一个家庭作业，用20厘米长的铁丝制作一个矩形，并猜测怎样设计长和宽才能使做出的矩形的面积最大？,我女儿做了如下几种情况的矩形,(1),(2),(3),（1）长为8，宽为2,（3）长为6，宽为4,于是她就猜想出结果：矩形面积最大值为24,（2）长为7，宽为3,即x+y=10，因面积P=xy,由基本不等式得x+y2,即P=xy=25（定值）,9162125,xy,在周长给定后，长x和宽y的和x+y不变(定值)，但长和宽还可以在一定范围内变化，这样面积也在变，面积xy的取值构成一个集合，但集合中每个元素的数值不超过25，且在x=y=5时，即是正方形时面积等于25，所以面积的最大值为25,例1、已知x、y都是正数，(1)如果和x+y是定值S，,积xy有,最大值,那么当x=y时，,(2)如果积xy是定值P，,那么当x=y时，,和x+y有最小值2,在两个证明中的关键步骤和都出现一端是定值，限定了另一端的变化的范围，这是用不等式求最值的重要依据。,求证:,例1、例2、判断正误（1）函数y=x+的最小值为2（2）已知1x3,2y4,则当x=y=3时，xy有最大值9（3）函数y=的最小值为2,利用均值不等式求最值应注意三点：,）条件（或目标）式中各项必须都是正数;,)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；,）等号成立的条件必须存在.,例题1的变式,例题3（1）已知m、n都是正数，且2m+n=3，求mn的最大值,（2）若正数x，y满足6x+5y=18，求xy的最大值,目标式,练习1、（1）已知y=x(1-x),(0x1),求y的最大值,练习2、（1）求函数y=x+值域,（2）y=x(1-2x),(0x),求y的最大值,（2）求函数y=x+值域,例题1的变式,课堂小结：,利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括就是三个字：正、定、等,正：两项必须都是正数；,定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。,等：等号成立的条件必须存在.,1作业4、5、6、7补充练习1已知a、b是实数，且a+b=4,求2a+2b的最小值2求函数y=x+的值域3已知a、b是正数，且a2+=1，求a的最大值4y=3x+的最小值5y=2x,(0x1),求y的最大值,作业与补充练习,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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