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3条件概率与独立事件A组1.设A与B是相互独立事件,则下列命题正确的是()A.A与B是对立事件B.A与B是互斥事件C.A与B不相互独立D.A与B是相互独立事件解析:若A与B是相互独立事件,则A与B也是相互独立事件.答案:D2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.5960B.35C.12D.160解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,15.因此,他们不去北京旅游的概率分别为23,34,45,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-233445=35.答案:B3.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576解析:方法一由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,K,A1,A2相互独立,A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2)=0.90.96=0.864.方法二A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P(A1 A2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统正常工作的概率为P(K)1-P(A1 A2)=0.90.96=0.864.答案:B4.已知A,B,C是三个相互独立事件,若事件A发生的概率为12,事件B发生的概率为23,事件C发生的概率为34,则A,B,C均未发生的概率为.解析:A,B,C均未发生的概率为P(A B C)=1-121-231-34=124.答案:1245.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是15,25,15,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是16,12,14,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为.解析:同命中红色区域的概率为1516=130,同命中黄色区域的概率为2512=15,同命中蓝色区域的概率为1514=120,二人命中同色区域的概率为130+15+120=2+12+360=1760.答案:17606.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45,35,25,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手顺利通过三轮考核的概率;(2)该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?解(1)设“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件记为Ai(i=1,2,3),且它们相互独立.则P(A1)=45,P(A2)=35,P(A3)=25,设“该选手顺利通过三轮考核”为A事件,则P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=453525=24125.(2)因为回答2个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是P=451-35=825.7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选甲和乙的概率为0.12,至少选一门的概率为0.88,用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)求学生小张选修甲的概率;(2)记“函数f(x)=x2+x为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;(3)求的分布列.解(1)由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为1-0.88=0.12.设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为x,y,z.则x(1-y)(1-z)=0.08,xy(1-z)=0.12,(1-x)(1-y)(1-z)=0.12,解得x=0.4,y=0.6,z=0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x2+x为R上的偶函数,则=0,当=0时,表示小张选修了三门功课或三门功课都不选.所以P(A)=P(=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.40.60.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,故事件A的概率为0.24.(3)依题意知=0,2,所以的分布列为02P0.240.768.导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13232+2313232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.所以X的分布列为X2345P59291081881B组1.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13解析:设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(A)=23,B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(B)=23.则P(AB)=P(A)P(B)=2323=49.答案:A2.一个盒子中有20个大小、形状、质地相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是()A.56B.34C.23D.13解析:记A:取的球不是红球.B:取的球是绿球.则P(A)=1520=34,P(AB)=1020=12,P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=23.答案:C3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是()A.29B.118C.13D.23解析:设事件A发生的概率为x,事件B发生的概率为y,则由题意得(1-x)(1-y)=19,x(1-y)=(1-x)y,联立解得x=23,故事件A发生的概率为23.答案:D4.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A=第一次出现正面,事件B=第二次出现正面,则P(B|A)=()A.12B.14C.16D.18解析:P(A)=12,P(AB)=14,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=12.故选A.答案:A5.箱子里有除颜色外都相同的5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C33C41C54B.59349C.5914D.C4159349解析:因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是59,在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球,第4次才取出白球,故所求概率为59349.答案:B6.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的该元件还能继续使用1年的概率为.解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知P(AB)=P(B)=0.3,于是P(B|A)=P(AB)P(A)=0.30.6=0.5.答案:0.57.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率.解记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与B,A与B,A与B都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB.P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=AB.P(D)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.5)0.6=0.3.(3)方法一:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件E包括AB,AB,AB,且它们彼此为互斥事件.P(E)=P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.50.6+0.50.4+0.50.6=0.8.方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.P(E)=1-P(A B)=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.8.导学号43944035设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的分布列.解记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.B表示事件:甲需使用设备.C表示事件:丁需使用设备.D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2BC+A2B.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06.P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25.P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25.P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.X的分布列为X01234P0.060.250.380.250.06
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