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第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图,最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.,1.简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都_，上、下底面是_且平行的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_的三角形； (3)棱台可由_于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.,知 识 梳 理,平行且相等,全等,公共顶点,平行,2.旋转体的形成,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,3.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的_方、正左方、_方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 基本要求：长对正，_，宽相等. 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.,正前,正上,高平齐,4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为_，z轴与x轴、y轴所在平面_. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_.,45(或135),垂直,平行于,不变,一半,常用结论与微点提醒 1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的正视图和侧视图分别均为全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ),诊 断 自 测,解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱. (2)反例：如图所示图形不是棱锥. (3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以A也可能为135.,(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P10T1改编)如图，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱,解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱. 答案 C,3.(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( ),解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.,答案 B,4.(一题多解)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A.90 B.63 C.42 D.36,解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.,答案 B,5.正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.,考点一 空间几何体的结构特征 【例1】 (1)给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,(2)以下命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 (1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.,(2)由圆台的定义可知错误，正确.对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确. 答案 (1)A (2)B,规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.,【训练1】 给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体； 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是_.,解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.,答案 ,考点二 空间几何体的三视图(多维探究) 命题角度1 由空间几何体的直观图判断三视图 【例21】 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( ),解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图. 答案 B,命题角度2 由三视图判断几何体 【例22】 (1)(2014全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱,(2)(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( ),解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.,答案 (1)B (2)B,规律方法 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.,【训练2】 (1)(2018惠州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为( ),A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( ),解析 (1)设点P在平面A1ADD1的射影为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示.,答案 (1)B (2)A,考点三 空间几何体的直观图 【例3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.,解析 如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.,又四边形AECD为矩形，ADEC1.,由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.,解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.,
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