随机变量的独立性.ppt

May-20,3.2随机变量的独立性,一、二维随机变量的独立性,定义设(X,Y)是二维随机变量,若对任意实数对(x,y)均有,随机事件A与B相互独立，若,P(AB)=P(A)P(B),成立，称X与Y相互独立.,May-20,意义对任意实数对(x,y)，随机事件Xx、Yy都相互独立.,例3.2.1,等价条件:,1.X与Y相互独立,对任意实数(x,y)均成立.,2.(离散型)X与Y相互独立,May-20,对所有(xi,yj)均成立.,注若否定结论,只需找到一对(i,j)使,pijpipj,或pij=pipj,3.(连续型)X与Y相互独立,在平面上除去“面积”为0的集合外成立.,例3.2.2,例3.2.3,例3.2.4,练习,May-20,二.多维随机变量的独立性,定义设n维随机变量（X1,X2,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,xn)，若对任意实数x1,x2,xn均有,称X1,X2,Xn相互独立.,注对任意实数向量(x1,x2,xn),n个随机事件Ak=Xkxk,k=1,2,n，都相互独立.,May-20,思考随机事件A1，A2，An相互独立，应有以下,P(Ai1Ai2Ais）=P(Ai1)P(Ai2)P(Ais）,2n-n-1个等式同时成立，缺一不可.如何理解？,May-20,定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,，Xn)相互独立，则任意k个随机变量(2kn)也相互独立.,注随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真.,例3.2.5,定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,，Xn)相互独立，则,2).随机变量g1(X1),g2(X2),gn(Xn)也相互独立.,May-20,3)m维随机向量(X1,X2,Xm)与n-m维随机向量(Xm+1,Xm+2,Xn)也相互独立.,4)随机变量h(X1,X2,Xm)与g(Xm+1,Xm+2,Xn)也相互独立.,如3维随机变量X1,X2,X3相互独立，则,X12,X22,X32也相互独立.,X1+X2与X3也相互独立.,sinX1与X3也相互独立.,May-20,X1+X2与X1X2不一定相互独立.,随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性,May-20,例3.2.1设随机变量X的概率密度为,问X与X是否相互独立.,分析1)直观判断X与X是否相互独立？,对所有实数对(a,b)均成立.,2)判定X与X相互独立，则需验证,May-20,3)随机事件Xa与Xa有下述关系,解对于任意给定的实数a0有,May-20,即X与X不相互独立.,May-20,例3.2.3已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为,问X,Y是否相互独立？,解,1,May-20,May-20,例3.2.4设随机变量X,Y相互独立,XU(0,a),YU(0,/2)且0ba试求PXbcosY,解,因为随机变量X,Y相互独立，则,May-20,May-20,练习设随机变量X与Y相互独立,填出空白处的数值.,3/4,1/4,1/2,1/24,3/8,May-20,例3.2.2设随机变量(X,Y)具有联合概率密度,问:X、Y是否相互独立？,分析f(x,y)在如图所示区域内不等于0,在其余区域均等于0。,May-20,因为,当x0或x1时,在整个积分路径上被积函数f(x,y)始终为0;因此,当0x1时,May-20,类似地,当y0或y1时,当0y1时,May-20,于是,故当0x1且0yx时,f(x,y)=2fx(x)fy(y)=4x(1-y),因此,X与Y不相互独立.,找出了一个面积不为0的区域,May-20,例3.2.6将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下,令,May-20,有,May-20,但因,即1、2、3不相互独立.,即1与2相互独立，同理可验证1与3，2与3也分别相互独立.,