高中数学 学业质量标准检测 新人教A版必修5

学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在锐角三角形ABC中，已知A2C，则的范围是(C)A(0,2)B(，2)C(，)D(，2)解析2cosC，又ABC，A2C，C，bc，a20，Abc，ABC又ABC，A，故选C8(2015唐山市一模)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则(C)A4n1B4n1C2n1D2n1解析设公比为q，则a1(1q2)，a2(1q2)，q，a1a1，a12.ana1qn12()n1，Sn41()n，2(2n1)2n1.点评用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：a2a4q(a1a3)，q，2n1.9根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(C)Aan2nBan2(n1)Can2nDan2n1解析由程序框图可知a12，a222，a323，an2n.10已知等比数列an中，an0，a5、a95为方程x210x160的两根，则a20a50a80的值为(B)A32B64C256D64解析由条件知a5a9510，a5a9516，an是等比数列，a16，an0，a504，a20a50a80a64.11ABC中，AB12，ACB的平分线CD把ABC的面积分成32两部分，则cosA等于(C)ABCD0解析CD为ACB的平分线，点D到AC与点D到BC的距离相等，ACD与BCD的高相等AB12，ACBCSACDSBCD32，.由正弦定理，得，又B2A，cosA.12若ABC的三边为a，b，c，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2，则函数f(x)的图象(B)A与x轴相切B在x轴上方C在x轴下方D与x轴交于两点解析函数f(x)相应方程的判别式(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0A，cos2A10，0，函数图象与x轴没交点故选B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13(2015安徽文，13)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于27.解析n2时，anan1，且a11，an是以1为首项，为公差的等差数列S99191827.14三角形一边长14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为40.解析设另两边长为8x和5x，则cos60，x2，另两边长为16和10，此三角形面积S1610sin6040.15若数列an满足a12，an1，则a20161.解析a12，an1，a21，a311，a412，a51，数列an的值呈周期出现，周期为3.a2016a31.16(2014新课标理，16)已知a，b，c分别为 ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为.解析由a2，(2b)(sinAsinB)(cb)sinC及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)cb2c2a2bc，cosA，A60.在ABC中，a2b2c22bccos60b2c2bc2bcbcbc，(等号在bc时成立)，bc4.SABCbcsinA4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2016河北邯鄣市一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosBbcosA2ccosC(1)求C；(2)若ABC的面积为2，ab6，求ACB的角平分线CD的长度解析(1)已知acosBbcosA2ccosC，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，所以sin(AB)2sinCcosC，即sinC2sinCcosC因为0C，所以cosC，故C.(2)方法一：由已知，得SabsinCab2，所以ab8.又ab6，解得，或当时，由余弦定理，得c241622412，所以c2.所以b2a2c2，ABC为直角三角形，B.因为CD平分ACB，所以BCD.在RtBCD中，CD.当时，同理可得CD.方法二：在ABC中，因为CD平分ACB，所以ACDBCD.因为SABCSACDSBCD，所以SABCb CDsinaCDsinCDsin(ab)(ab)CD因为SABC2，ab6，即26CD，解得CD.18(本题满分12分)(2016甘肃省一诊)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若m(cos2，1)，n(cos2(BC)，1)，且mn.(1)求角A；(2)当a6，且ABC的面积S满足时，求边c的值和ABC的面积解析(1)因为mn，所以cos2(BC)cos2cos2Acos2cos2A0，即2cos2AcosA10，(2cosA1)(coaA1)0.所以cosA或cosA1(舍去)，即A120.(2)由及余弦定理，得tanC，所以C30.又由正弦定理，得c2.所以ABC的面积SacsinB3.19(本题满分12分)(2016广西自治区质检)已知数列an的前n项和为Sn，且Snan1(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2log31，求.解析(1)当n1时，a1a11，a12.Snan1，Sn1an11(n2)，得an(an1)(an11)，即an3an1，数列an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.(2)由(1)得bn2log312n1，(1)()().20(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解析购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列an，故a11002 0000.01120(万元)，a2100(2 000100)0.01119(万元)，a3100(2 0001002)0.01118(万元)，a4100(2 0001003)0.01117(万元)，an1002 000100(n1)0.01121n(万元)(1n20，nN*)因此an是首项为120，公差为1的等差数列故a1012110111(万元)，a2012120101(万元)20次分期付款的总和为S202 210(万元)实际要付3002 2102 510(万元)即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元21(本题满分12分)在ABC中，若a2c2b2ac，log4sinAlog4sinC1，SABC，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的度数.解析由a2c2b2ac，得cosB.0Bc时，由，得a，c.三边的长分别为a，b2，c.由正弦定理，得sinAsin105.A105，即C15.同理，当ac时，a，b2，c，A15，B60，C105.22(本题满分14分)(2015石家庄市一模)设数列an的前n项和为Sn，a11，an1Sn1(nN*，1)，且a1、2a2、a33为等差数列bn的前三项.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和解析(1)解法1：an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)，an1anan，即an1(1)an(n2)，10，又a11，a2S111，数列an为以1为首项，公比为1的等比数列，a3(1)2，4(1)1(1)23，整理得2210，得1an2n1，bn13(n1)3n2，解法2：a11，an1Sn1(nN*)，a2S111，a3S21(11)221，4(1)12213，整理得2210，得1an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)an1anan，即an12an(n2)，又a11，a22，数列an为以1为首项，公比为2的等比数列，an2n1，bn13(n1)3n2.(2)anbn(3n2)2n1，Tn11421722(3n2)2n12Tn121422723(3n5)2n1(3n2)2n得Tn1132132232n1(3n2)2n13(3n2)2n整理得：Tn(3n5)2n5.