高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末检测(B)北师大版选修2-1

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第二章空间向量与立体几何(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1空间四个点O、A、B、C,为空间的一个基底,则下列说法不正确的是()AO、A、B、C四点不共线BO、A、B、C四点共面,但不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线DO、A、B、C四点不共面2已知A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D903已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若xy,则x,y的值分别为()Ax1,y1 Bx1,yCx,y Dx,y4设E,F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A1ECF成60角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D65已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D46已知a(3,2,5),b(1,x,1)且ab2,则x的值是()A3 B4 C5 D67设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定8正三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D909已知(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为()A. B.C. D.10在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为()A. B.C. D.题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11若向量a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1),满足条件(ca)(2b)2,则x_.12若A,B,C是平面内的三点,设平面的法向量a(x,y,z),则xyz_.13平面的法向量为m(1,0,1),平面的法向量为n(0,1,1),则平面与平面所成二面角的大小为_14若向量a(2,3,),b的夹角为60,则_.15在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABBCAA12,点D是A1C1的中点,则异面直线AD和BC1所成角的大小为_三、解答题(本大题共6小题,共75分)16(12分)如图,已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设,试求、的值17.(12分)如图,四棱锥SABCD的底面是边长为2a的菱形,且SASC2a,SBSDa,点E是SC上的点,且SEa (00.B为锐角,同理,C,D均为锐角,BCD为锐角三角形8C建系如图,设AB1,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1)(1,0,1),(0,1,1)cos,.,60,即异面直线BA1与AC1所成的角等于60.9CQ在OP上,可设Q(x,x,2x),则(1x,2x,32x),(2x,1x,22x)6x216x10,x时,最小,这时Q.10C以点D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则(1,1,1),(1,1,1)可以证明A1C平面BC1D,AC1平面A1BD.又cos,结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.112解析a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1),ca(0,0,1x),2b(2,4,2)(ca)(2b)2(1x)2,x2.1223(4)解析,由a0,a0,得,xyzyy23(4)1360或120解析cosm,n,m,n120,即平面与所成二面角的大小为60或120.14.解析a(2,3,),b,ab1,|a|,|b|,cosa,b.15.解析建立如图所示坐标系,则(1,1,2),(0,2,2),cos,.即异面直线AD和BC1所成角的大小为.16解()()()(),.17(1)证明连结BD,AC,设BD与AC交于O.由底面是菱形,得BDAC.SBSD,O为BD中点,BDSO.又ACSOO,BD面SAC.又AE面SAC,BDAE.(2)解由(1)知BDSO,同理可证ACSO,SO平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系,设SOx,则OA,OB.OAOB,AB2a,(4a2x2)(2a2x2)4a2,解得xa.OAa,则A(a,0,0),C(a,0,0),S(0,0,a)SC平面EBD,是平面EBD的法向量(a,0,a),(a,0,a)设SA与平面BED所成角为,则sin ,即SA与平面BED所成的角为.18解a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0),b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ,a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k,k,0)(1,0,2)(k1,k,2),ka2b(k,k,0)(2,0,4)(k2,k,4),(k1,k,2)(k2,k,4)(k1)(k2)k280.即2k2k100,k或k2.19解以O为坐标原点,射线OB,OA,OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0),则C(1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1),SC的中点M.故,(1,0,1),所以0,0.即MOSC,MASC.故,为二面角ASCB的平面角cos,.即二面角ASCB的余弦值为.20(1)证明如图,以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则依题意可知A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2)(4,0,2),(0,2,0),(0,0,2)设平面PDC的一个法向量为n(x,y,1),则所以平面PCD的一个法向量为.PA平面ABCD,PAAB,又ABAD,PAADA,AB平面PAD.平面PAD的法向量为(0,2,0)n0,n.平面PDC平面PAD.(2)解由(1)知平面PCD的一个单位法向量为.,点B到平面PCD的距离为.21(1)证明连结BD,设AC交BD于点O,由题意知SO平面ABCD,以O点为坐标原点,、分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示设底面边长为a,则高SOa.于是S(0,0,a),D,C,B,0.OCSD,即ACSD.(2)解由题意知,平面PAC的一个法向量,平面DAC的一个法向量,设所求二面角为,则cos ,故所求二面角PACD的大小为30.(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量,且,设t,则t.由0,得t,即当SEEC21时,而BE不在平面PAC内,故BE平面PAC.- 11 -
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