资源描述
章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1(2016江苏高考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_【解析】法一：设等差数列an的公差为d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d.所以a2a1d2d，代入a1a3，化简得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：设等差数列an的公差为d，由S510，知5a310，所以a32.所以由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化简得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.【答案】202(2016全国卷改编)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.【解析】法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.【答案】983已知数列an的前n项和为Snkn2，若对所有的nN*，都有an1an，则实数k的取值范围是_【解析】由Snkn2，得ank(2n1)an1an，an是递增数列，k0.【答案】(0，)4已知数列an，an0，若a13,2an1an0，则a6等于_【解析】因为2an1an0，an0，所以，所以数列an是首项为a13，公比为q的等比数列，所以ana1qn13n1，所以a6361.【答案】5数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.【解析】设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.【答案】16如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.【解析】当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是等比数列，an2n1，nN*.【答案】2n1，nN*7一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是_【解析】设三边为a，aq，aq2(q1)，则(aq2)2(aq)2a2，q2，较小锐角记为，则sin .【答案】8(2016徐州高二检测)若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则_.【解析】.【答案】9下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是_图1【解析】从题图中可观察图案的构成规律：n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；第n个图案比第n1(n2)个图案增加了n个星星an1234n.【答案】an10等比数列an的公比q0，已知a21，an2an12an，则an的前2 016项和等于_【解析】由an2an12an，得qn1qn2qn1，即q2q20，又q0，解得q1，又a21，a11，S2 0160.【答案】011设数列an的通项公式为an2n7(nN*)，则|a1|a2|a15|_.【解析】an2n7，a15，a23，a31，a41，a53，a1523，|a1|a2|a15|(531)(13523)9153.【答案】15312把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是_【解析】按照题中的分组方法，前10组共有121055个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.【答案】11413某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1 元/m2，顶层由于景观好价格为a2 元/m2，第二层价格为a 元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价 元/m2，则该商品房各层的平均价格为_元/m2.【解析】设第二层到第22层的价格构成数列bn，则bn是等差数列，b1a，公差d，共21项，所以其和为S2121a23.1a，故平均价格为(a1a223.1a)元/m2.【答案】(a1a223.1a)14给出数阵：0191210 9 其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为_. 【导学号：91730049】【解析】设b10129，b212310，b1091018，则bn是首项b145，公差d10的等差数列，S10451010900.【答案】900二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2015北京高考)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？【解】(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2得n63，所以b6与数列an的第63项相等16(本小题满分14分)在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列(2)求数列an的前n项和Sn.【解】(1)证明：由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)知，bnn，bnn.ann2n1.Sn1221322n2n1，两边乘以2得，2Sn121222(n1)2n1n2n，两式相减得，Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.17(本小题满分14分)数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上，nN*.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.【解】(1)点(Sn，an1)在直线y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n2，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，即an14an，n2.又a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，an4n1，所以bnlog4an1n.cnanbn4n1n, 那么Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).18(本小题满分16分)已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列【解】(1)由已知，anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化简得q2q10，解得q.(2)证明：若q1，则an的每项ana，此时amk，ank，alk显然构成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl构成等差数列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn，因此，amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk也成等差数列19(本小题满分16分)设an是正数组成的数列，其前n项和Sn，并且对于所有的nN*，都有8Sn(an2)2.(1)写出数列an的前3项；(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)；(3)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn1)，两式相减得：8an(an2)2(an12)2，即aa4an4an10，也即(anan1)(anan14)0.an0，anan14，即an是首项为2，公差为4的等差数列，an2(n1)44n2.(3)bn.Tnb1b2bn.Tn 对所有nN*都成立，即m10，故m的最小值是10.20(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)【解】(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d.整理得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元
展开阅读全文