高中数学 第一章 立体几何初步阶段质量评估 北师大版必修2

2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步阶段质量评估 北师大版必修2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A(1)是棱台 B(2)是圆台C(3)是棱锥 D(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确答案：C2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱 B棱台C圆锥 D圆台解析：先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和俯视图都是等腰梯形可排除C，故选D.答案：D3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. BC200 D240解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S20.又棱柱的高为10，所以体积VSh2010200.答案：C4分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()A相交 B异面C平行 D相交或异面解析：当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合情况时，异面答案：D5如图，PA矩形ABCD，下列结论中不正确的是()APDBDBPDCDCPBBCDPABD解析：PA面ABCD，PABD，故D正确；BCAB，BC面PAB，BCPB，故C正确；又CD面PAD，PDCD，故B正确只有A不正确答案：A6(2015长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为()A. BC. D解析：底边长为1，高为sin 45，S.答案：D7如图，BC是RtABC的斜边，PA平面ABC，PDBC于D点，则图中共有直角三角形的个数是()A8个 B7个C6个 D5个解析：因为PA平面ABC，所以PABC.因为PDBC，PAPDP，所以BC平面PAD，所以ADBC.图中直角三角形有PAC，PAD，PAB，ABC，PDC，PDB，ADC，ADB，共8个答案：A8以下说法中，正确的个数为()已知直线a，b和平面，若ab，a，则b；已知直线a，b，c和平面.a是斜线，与平面相交，b是射影所在直线，c，且cb，则ca；三个平面两两相交，且它们的交线各不相同，则这三条交线互相平行；已知平面，若a，ba，则b或b.A1个 B2个C3个 D4个解析：错误直线b的位置不确定，直线b可以在内，也可以平行于.正确c同时垂直于斜线和射影错误例如，长方体同一顶点的三个面错误没有说明b是否在平面或内，则b可以在这两个平面外答案：A9一个圆锥与一个球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥的侧面积与此球的表面积之比为()A.2 B2C.2 D32解析：设圆锥底面半径为r，高为h，则V球3r3，V锥r2h.由于体积相等，r3r2h，h.S球42r2，S锥侧r2，S锥侧S球2，所以选B.答案：B10正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. BC. D解析：画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角设正方体的棱长为a，则cosDD1H.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥CABD，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为_解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为，故其面积为2.答案：12有下列三个说法：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台其中正确的有_个解析：中的截面若不平行于底面，则不是棱台，故错；中的条件都不能保证多面体的所有侧棱交于一点，故不一定是棱台，可知错答案：013如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_解析：取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.答案：14将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是_解析：如右图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确设正方形的边长为a，则AECEa.由知AEC90是直二面角ABDC的平面角，ACa，ACD是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正确分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN，则MNAB，且MNABa，MECD，且MECDa，EMN是异面直线AB，CD所成的角在RtAEC中，AECEa，ACa，NEACa，MEN是正三角形，EMN60，故正确答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积解析：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则ROC2，AC4，AO2.如图所示易知AEBAOC，即，r1，S圆锥底2r22，S圆锥侧2rh2.SS圆锥底S圆锥侧22(22).16(本小题满分12分)如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点求证：(1)ACPB；(2)PB平面AEC.证明：(1)如图所示，PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC.又ABAC，而ABPAA，AC平面PAB，PB面PAB，ACPB.(2)如图所示，连接BD，与AC相交于点O，连接EO.四边形ABCD是平行四边形，点O是BD的中点又点E是PD的中点，EOPB.PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC.17(本小题满分13分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪种方案更经济些？解析：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积：V1Sh24(m3)如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积：V2Sh28(m3)(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m圆锥的母线长为l4(m)，则仓库的表面积S18432(m2)如果按方案二，仓库的高变成8 m圆锥的母线长为l10(m)，则仓库的表面积S261060(m2)(3)V2V1，S2S1，方案二比方案一更经济18(本小题满分13分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1B1的中点，(1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能使A1C平面AME？并证明你的结论；(2)求证：平面AED1平面C1FB.解析：(1)当M在AD1上运动时，总能使A1C面AEM.证明如下：连接A1D，取A1D的中点为G，连接EG，E，G分别为CD，A1D的中点，EGA1C.EG面AEG.A1C面AEG，当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内，A1C面AEM，故M在AD1上运动时，总能使A1C面AEM.(2)证明：在正方体中，连接AD1，D1E，AD1BC1，BC1面AED1，BC1面AED1.取AB中点H，连接FH，CH，C1F，FH綊CC1，四边形FHCC1为平行四边形，FC1HC.又易知四边形AHCE为平行四边形，AEHC，C1FAE.又C1F面D1AE，C1F面D1AE.而BC1C1FC1，且BC1，C1F面BC1F，面BC1F面D1AE.(B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间中，下列说法中正确的是()平行于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两直线平行A BC D解析：正确，由平行公理可证；错误，如图所示，A1D1AA1，ABAA1，但A1D1与AB不平行；错误，AA1平面DC1，A1B1平面DC1，但AA1A1B1A1；正确答案：B2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()解析：先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.答案：D3设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，该球的表面积为()A3a2 B6a2C2a2 D24a2解析：由长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线为a，与外接球的直径相等，故2Ra，S球4R26a2.答案：B4用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A8 B7C6 D5解析：由正视图和侧视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最下层有5个小正方体；结合三个图可知，上层仅有一个正方体所以共有6个小正方体答案：C5如图，l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析：Dl，l，D，又C，CD；同理，CD平面ABC，平面ABC平面CD.答案：C6已知点O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是()A直线OA1平面AB1C1B直线OA1平面CB1D1C直线OA1直线ADD直线OA1直线BD1解析：可证平面A1BD平面CB1D1.答案：B7一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形 D任意四边形解析：如图所示，AC平面EFGH，则EFHG，而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行所以四边形EFGH是梯形答案：C8如图，三棱锥VABC中，每个侧面与底面所成的二面角均相等，且VO平面ABC，垂足为O，则点O是ABC的()A垂心 B重心C内心 D外心解析：在VOD，VOE，VOF中，因为VDOVEOVFO，且VO公用，RtVODRtVOERtVOF，ODOEOF，O为ABC的内心答案：C9已知二面角AB的平面角是锐角，面内有一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan ()A. BC. D解析：如图，作CE，CDAB，则CE3，CD4，DEAB，CDE为二面角AB的平面角，即CDE.在RtCDE中，DE，tan .答案：A10把表面积相等的球与正方体的体积依次记为V球与V正方体，球的直径为d，正方体的棱长为a，则有()Ada，V球V正方体 Bda，V球V正方体CdV正方体 Dda，V球a2，da.又d a， 1.V球V正方体答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11设，为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；若l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直上面命题中，正确的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析：即面面平行的判定定理；即线面平行的判定定理；由内有一条直线垂直于l不能得到该直线垂直于，也就得不到和垂直，故不正确；不符合线面垂直的判定定理，因此不正确答案：12若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为_解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h.r2，r1.又rl2，l2.则h.故该圆锥的体积Vr2h.答案：13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_解析：由三视图知该几何体是躺着的三棱柱，底面是等腰三角形，底边上的高为1，侧棱长为3，S底21.S侧(222)3126S表2S底S侧2126128答案：12814(2015长沙高一检测)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA1，则异面直线A1B1与BD1所成的角的大小等于_解析：因为A1B1AB，所以ABD1是异面直线A1B1与BD1所成的角在RtABD1中，BAD190，AB1，AD1，所以tanABD1，所以ABD160.答案：60三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)画出如图所示几何体的三视图解析：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示16(本小题满分12分)已知一直棱柱底面是菱形，该棱柱的对角线长分别为15 cm,9 cm，高为5 cm，求这个棱柱的侧面积解析：如图所示，设BD19 cm，A1C15 cm.A1AD1D5 cm，BD2D1B2D1D2925256，AC2A1C2A1A215252200.四边形ABCD为菱形，AB2BC2CD2AD2BD2AC2，即4AB256200256，2AB16，AB8 cm，S棱柱侧4ABA1A485160(cm2)，故此棱柱的侧面积为160 cm2.17(本小题满分13分)如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解析：(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由，得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题意知A1C1E60.因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1.于是A1C1A1E，故C1E2.又B1C12，所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.18(本小题满分13分)如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)求证：平面AOC平面AOB.解析：(1)在正方体中AA綊CC，四边形ACCA为平行四边形，ACAC，OAC(或补角)为异面直线AO与AC所成的角在AOC中，AC，OC，AO，AO2OC2AC2，OAC30，AO与AC所成角的度数为30.(2)取BC的中点，连接OE，AE(图略)，O为BC的中点，OECC.又CC面ABCD，OE面ABCD，OAE为AO与面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE，tanOAE.AO与平面ABCD所成角的正切值为.(3)证明：在AOC中，由(1)知OCAO.在正方形BCCB中，OCOB，AO面AOB，OB面AOB，AOOBO，OC面AOB，又OC面AOC，面AOC面AOB.