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1.7.1定积分在几何中的应用明目标、知重点会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 1当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.2当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图)探究点一求不分割型图形的面积思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可例1计算由曲线y2x，yx2所围图形的面积S.解由得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABDdxx2dxx|x3|.反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果跟踪训练1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或，所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S(x2)dx(x24)dx(2xx2)|(x34x)|().探究点二分割型图形面积的求解思考由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下例2计算由直线yx4，曲线y以及x轴所围图形的面积S.解方法一作出直线yx4，曲线y的草图解方程组得直线yx4与曲线y交点的坐标为(8,4)直线yx4与x轴的交点为(4,0)因此，所求图形的面积为SS1S2dx|(x4)2|.方法二把y看成积分变量，则S(y4y2)dy(y24yy3)|.反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限跟踪训练2求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解画出图形，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以S(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(xx2)|(2xx2x2)|(2xx2)|692.探究点三定积分的综合应用例3在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程解如图，设切点A(x0，y0)，其中x00，由y2x，过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即C(，0)，设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC，S曲边AOBx00x2dxx3|x00x，SABC|BC|AB|(x0)xx.Sxxx.x01，从而切点为A(1,1)，切线方程为2xy10.反思与感悟本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决跟踪训练3如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx|.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx|(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.1在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()Sf(x)g(x)dxS(22x8)dxSf(x)dxf(x)dxA B C D答案D解析应是Sf(x)g(x)dx，应是S2dx(2x8)dx，和正确，故选D.2曲线ycos x(0x)与坐标轴所围图形的面积是()A2 B3 C. D4答案B解析Scos xdxcos xdxsin x|sin x|sin sin 0sin sin 10113.3由曲线yx2与直线y2x所围成的平面图形的面积为_答案解析解方程组得曲线yx2与直线y2x交点为(2,4)，(0,0)S(2xx2)dx(x2x3)|(4)0.4由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_答案解析由图形可得S(x245x)dx(5xx24)dx(x34xx2)|(x2x34x)|44243444.呈重点、现规律对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的一、基础过关1用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx答案D解析xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.2直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.答案C解析抛物线方程为x24y，其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数yx2的图象和x轴正半轴及直线x2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S42dx4.3若yf(x)与yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xa，xb所围成的平面区域的面积为()Aaf(x)g(x)dxBag(x)f(x)dxCa|f(x)g(x)|dxD.答案C解析当f(x)g(x)时，所求面积为af(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，所求面积为ag(x)f(x)dx.综上，所求面积为a|f(x)g(x)|dx.4曲线yx21与x轴所围成图形的面积等于()A. B.C1 D.答案D解析函数yx21与x轴的交点为(1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为S2(1x2)dx2(xx3)|2.5由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为_答案(x3)dx解析画出y和yx3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S(x3)dx.6由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S_.答案解析图形如图所示：Sx2dxx2dxx2dxx3|.二、能力提升7设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在答案C解析数形结合，如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|(2xx2)|(422).8若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c等于()A. B. C1 D.答案B解析由得x0或x.0xcx3，S(x2cx3)dx(x3cx4)|.c3.c.9从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_答案解析根据题意得：S阴3x2dxx3|1，则点M取自阴影部分的概率为.10求曲线y6x和y，y0围成图形的面积解作出直线y6x，曲线y的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得直线y6x与曲线y交点的坐标为(2,4)，直线y6x与x轴的交点坐标为(6,0)因此，所求图形的面积SS1S2dx(6x)dx|(6xx2)|(6662)(6222)8.11求由抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积解由y2x4得在点A、B处切线的斜率分别为2和2，则两直线方程分别为y2x2和y2x6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，SSABC(x24x3)dx222.12设点P在曲线yx2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1、S2.(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2有最小值时，求点P的坐标和最小值解(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt3.因为S1S2，所以t，点P的坐标为(，)(2)SS1S2t32tt3t32t，St22，令S0得t220.因为0t2，所以t，因为0t时，S0；t0.所以，当t时，S1S2有最小值，此时点P的坐标为(，2)三、探究与拓展13已知抛物线yx22x及直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解作出yx22x的图象如图(1)当a0时，S(x22x)dx(x3x2)|a2，(a1)(a2)20.a0时，若00，a2.当a2时，S(x22x)dx(x22x)dx(x3x2)|(x3x2)|(4)(a3a24)(a3a24).a3a20a2不合题意综上a1，或a2.- 13 -
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