高中数学 第2章 圆锥曲线 2.1 截面欣赏 2.2 直线与球、平面与球的位置关系学案 北师大版选修4-1

2直线与球、平面与球的位置关系2.1直线与球的位置关系2.2平面与球的关系1.了解截面的概念.2.理解直线与球的位置关系.3.理解平面截球及球面的意义及性质.基础初探教材整理1直线与球的位置关系(1)直线与球的位置关系已知球O的半径为r，球心到直线l的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有两个公共点dr(2)球的切线性质从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆.1.从球外一点引球的切线，则()A.可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B.可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C.只可以引两条切线，两切点的连线过球心D.只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】根据球的切线性质知B正确.【答案】B教材整理2平面与球的位置关系(1)平面与球的位置关系设球的半径为r，球心到平面的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有无数个公共点dr(2)球的截面性质一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面.如图211所示，平面截球得一截面圆O1，OO1与平面垂直，P为截面圆上一点，在RtOO1P中有OP2OOO1P2，这个等式给出了球半径、截面圆半径与球心到截面圆的距离三者之间的关系.图2112.一个平面去截一个球面，其截线是() 【导学号：96990044】A.圆B.椭圆C.点D.圆或点【解析】由平面与球的位置关系知，选D.【答案】D3.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为()A.4B.3C.2D.5【解析】设球的半径为R，由题意知1，解得R3.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型与球有关的截面问题如图212，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为_.图212【精彩点拨】根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积.【自主解答】根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，ACD1内切圆的半径是tan 30.则所求的截面圆的面积是.【答案】1.本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想.2.解决有关球的问题，通常是通过研究球的截面来实现的，实质上是利用球的截面，化空间问题为平面问题.再练一题1.已知球O的半径为3，它有一内接正方体ABCDA1B1C1D1，如图213所示，则球心到平面ABCD的距离为_.图213【解析】平面ACC1A1截球所得截面图形如图所示.AC1AA1，AA12.OO1AA1.球心到平面ABCD的距离为.【答案】直线、平面与球的位置关系一个球放在水平地面上，球在阳光下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处，同一时刻，一根高1米的垂直立于地面的标杆的影子长是2米，求球的半径.【精彩点拨】作出球的截面，构造三角形，利用切线长定理及三角形相似求解.【自主解答】如图所示，O为球的轴截面图，AB与O切于A，AB10米，它是AC的影长，则AC5米，BC切O于D，由切线长定理知BD10米，CB5，CDCBBD510，CC，ODCCAB90，OCDBCA，OD1020(米)，故球的半径为1020米.1.解答本题时首先应明确地面与球相切，球的投影最远点是由光线与球的切点决定的，然后作出截面，构造三角形求解.2.利用球的轴截面可把球的问题转化为圆的问题求解.再练一题2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，求球面面积.【解】如图所示，设球心为O，球半径为R，M是AB的中点.作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，则O1CM.设O1Mx，易知O1MAB，则O1AO1CCMO1Mx，即4x，解得x，则O1AO1BO1C，在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理得22R2，解得R.故S球面4R254.综合问题已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积.【精彩点拨】(1)外接球的球心就是SAC外接圆的圆心；(2)以内切球的球心为顶点，以正四棱锥的各个面为底面的棱锥的体积之和等于正四棱锥的体积.【自主解答】(1)如图，设外接球的半径为R，球心为O，连接OAOC，则OAOCOS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径，ABBCa，ACa.SASCACa，SAC为正三角形.由正弦定理得2Ra，因此Ra，V球R3a3.(2)设内切球的半径为r，作SE底面于E，作SFBC于F，连接EF.则有SFa.SSBCBCSFaaa2，S棱锥全4SSBCS底(1)a2，又SEa，V棱锥S底ha2aa3，ra，S球4r2a2.1.解答本题第(2)小题时，内切球的球心无法确定，从而利用等体积法直接求内切球的半径.2.当几个平面与球都相切时，根据平面与球相切的定义，球心到各平面的距离都等于球半径.同时在解决此类问题时，一要注意用好图形，二要注意使用线面关系解题.再练一题3.如图214所示，已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，求球心O到棱AB的距离.图214【解】设内切球半径为r，由等积法：BO1aa，AO1 a.4a2rVABCDa3，ra.AOAO1OO1aaa.又AOBO，设E为AB的中点，连接OE，则OE为球心O到AB的距离，OE a.探究共研型截面距离与位置关系探究1如何求球的两个平行截面间的距离？【提示】(1)作出过球心和截面圆圆心的截面.(2)分两种情况：一是两截面在球心同侧；二是两截面在球心异侧.(3)利用球的半径R，截面圆半径r及球心到截面圆的距离d的关系r2d2R2来求解.探究2如何判断点、直线、平面与球的位置关系？【提示】点、直线、平面与球的位置关系与它们到球心的距离和球的半径的大小有着密切的关系.因而要判断点、直线和平面与球的位置关系，关键是寻找球心到点、直线、平面的距离d与球的半径R的大小关系，特别地要证明点在球面上、直线或平面与球相切，只需证明dR.已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12和16，求这两个截面间的距离.【自主解答】设球心为O，两截面的圆心分别为C，D，由已知2CE12，得CE6，由2DF16，得DF8，当两截面在球心同侧时，如图(1).(1)(2)CDOCOD2；当两截面在球心两侧时，如图(2)所示.CDOCOD14.故两个截面间的距离为2或14.构建体系1.已知球的半径R6，过球外一点P作球的切线长为8，则P点到球面上任意一点Q的最短距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】设点P到球心的距离为d，则d10.PQ的最短距离为1064.【答案】B2.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图215所示，则截面图可能是()图215A.B.C.D.【解析】根据截面的位置不同，可得到的截面形状可能是，但不可能为，故选D.【答案】D3.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACr，则球的体积与三棱锥体积之比是() 【导学号：96990045】A.B.2C.3D.4【解析】如图所示，由题意知OAOBOSr，易知ACB为直角三角形，所以4.【答案】D4.已知球面上的三点A，B，C，且AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm，球的半径为13 cm.求球心到平面ABC的距离(如图216).图216【解】因为6282102，所以ABC是直角三角形.因为球心O在平面ABC内的射影M是ABC所在截面圆的圆(外接圆)心，所以M是直角三角形斜边AC上的中点，且OMAC.在RtOAM中，OM12，所以球心到平面ABC的距离为12 cm.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)