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模块综合检测(一)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本题共10小题,每小题6分,共60分)1命题“x0R,2x031”的否定是()Ax0R,2x031BxR,2x31CxR,2x31 Dx0R,2x031解析:选C由特称命题的否定的定义即知2已知条件甲:ab0;条件乙:a0,且b0,则()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分又不必要条件解析:选B甲乙,而乙甲3对kR,则方程x2ky21所表示的曲线不可能的是()A两条直线 B圆C椭圆或双曲线 D抛物线解析:选D分k0,1及k0且k1,或k0可知:方程x2ky21不可能为抛物线4下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2b20”D一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:选D否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选D.5已知空间向量a(1,n,2),b(2,1,2),若2ab与b垂直,则|a|等于()A.B.C. D.解析:选D由已知可得2ab(2,2n,4)(2,1,2)(4,2n1,2)又(2ab)b,82n140.2n5,n.|a| .6下列结论中,正确的为()“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件;“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件;“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件;“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A BC D解析:选Bpq为真p真q真pq为真,故正确,由綈p为假p为真pq为真,故正确7已知双曲线的中心在原点,离心率为,若它的一个焦点与抛物线y236x的焦点重合,则该双曲线的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析:选C由已知得,c9,a227,b254,且焦点在x轴,所以方程为1.8若直线y2x与双曲线1(a0,b0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为()A(1,) B(,)C(1, D,)解析:选B双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为yx.由条件知,应有2,故e .9已知F1(3,0),F2(3,0)是椭圆1的两个焦点,点P在椭圆上,F1PF2.当时,F1PF2面积最大,则mn的值是()A41 B15C9 D1解析:选B由SF1PF2|F1F2|yP3yP,知点P为短轴端点时,F1PF2面积最大此时F1PF2,得a2 ,b,故mn15.10正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为()A. B.C. D.解析:选C取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC1,则A,B,D.,.由于为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1,1),cosn,sinn,.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)11在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足4,则动点P的轨迹方程是_解析:由4得x1y24,因此所求动点P的轨迹方程为x2y40.答案:x2y4012命题“x0R,2x3ax090”为假命题,则实数a的取值范围是_解析:x0R,2x3ax090为假命题,xR,2x23ax90为真命题,9a24290,即a28,2a2.答案:2,213已知过点P(4,0)的直线与抛物线y24x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则yy的最小值是_解析:当直线的斜率不存在时,直线方程为x4,代入y24x,得交点为(4,4),(4,4),yy161632;当直线的斜率存在时,设直线方程为yk(x4),与y24x联立,消去x得ky24y16k0,由题意知k0,则y1y2,y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.综上,(yy)min32.答案:3214.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是_解析:如图,以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系设ABBCAA12,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则(0,1,1),(2,0,2)2.cos ,.EF和BC1所成的角为60.答案:60三、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)已知命题p:方程1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:xR,4x24mx4m30.若(綈p)q为真,求m的取值范围解:p真时,m2.q真时,4x24mx4m30在R上恒成立16m216(4m3)0,1m3.(綈p)q为真,p假,q真即1m2.所求m的取值范围为1,216(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,ACAA1 ,ABC60.(1)证明:ABA1C;(2)求二面角AA1CB的正切值大小解:法一:(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,ABAA1.在ABC中,AB1,AC ,ABC60.由正弦定理得ACB30,BAC90,即ABAC,AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1,ABA1C.(2)如图,作ADA1C交A1C于D点,连接BD.ABA1C,A1C平面ABD,BDA1C,ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中,AD.在RtBAD中,tan ADB,二面角AA1CB的正切值为.法二:(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,AA1AB,AA1AC.在ABC中,AB1,AC ,ABC60.由正弦定理得ACB30,BAC90,即ABAC.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0),A1(0,0,),(1,0,0),(0,)1000( )0,ABA1C.(2)取m(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量设平面A1BC的法向量n(x,y,z),则xy,yz.令y1,则n(,1,1),cos m,n,sinm,n ,tanm,n.二面角AA1CB的正切值为.17.(本小题满12分)如图,点F1(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点解:(1)法一:由条件知,P.故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q.所以直线F2Q的方程为yx.故Q.由题设知,4,2a4,解得a2,c1.则b2a2c23.故椭圆方程为1.法二:设直线x与x轴交于点M.由条件知,P.因为PF1F2F2MQ,所以.即,解得|MQ|2a.所以解得a2,c1.则b23.故椭圆方程为1.(2)直线PQ的方程为,即yxa.将上式代入椭圆方程得,x22cxc20,解得xc,y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点18(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,EA平面ABC,DB平面ABC,ACBC,ACBCBD2AE,M是AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:(1)求证:CMEM;(2)求CM与平面CDE所成角的大小解:(1)证明:分别以CB,CA所在直线为x轴、y轴,过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系设AEa,则M(a,a,0),E(0,2a,a),所以(a,a,0),(a,a,a),所以aa(a)a0(a)0,所以,即CMEM.(2)(0,2a,a),(2a,0,2a),设平面CDE的法向量n(x,y,z),则有即令y1,则n(2,1,2),cos,n,所以直线CM与平面CDE所成的角为45.19(本小题满分12分)如图,椭圆C1:1(ab0)的离心率为,x轴被曲线C2:yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长(1)求C1,C2的方程;(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.证明:MDME.解:(1)由题意知对C1:e,从而a2b,又2a,解得a2,b1.故C1,C2的方程分别为y21,yx21.(2)证明:由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为ykx.由得x2kx10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1x2k,x1x21.又点M的坐标为(0,1),所以kMAkMB1.故MAMB.即MDME.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由解:(1)由已知条件,知直线l的方程为ykx,代入椭圆方程得(kx)21,整理得x22kx10.又因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,则8k244k220,解得k或k.故k的取值范围为.(2)不存在理由如下:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x1x2,y1y2)由方程,得x1x2.又因为y1y2k(x1x2)2.而A(,0),B(0,1),(,1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式,解得k.由(1)知k或k,故没有符合题意的常数k.
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