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模块综合检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1命题“x0R,2x031”的否定是()Ax0R,2x031BxR,2x31CxR,2x31 Dx0R,2x031解析：选C由特称命题的否定的定义即知2已知条件甲：ab0；条件乙：a0，且b0，则()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选B甲乙，而乙甲3对kR，则方程x2ky21所表示的曲线不可能的是()A两条直线 B圆C椭圆或双曲线 D抛物线解析：选D分k0,1及k0且k1，或k0可知：方程x2ky21不可能为抛物线4下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5已知空间向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A.B.C. D.解析：选D由已知可得2ab(2,2n,4)(2，1,2)(4，2n1,2)又(2ab)b，82n140.2n5，n.|a| .6下列结论中，正确的为()“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A BC D解析：选Bpq为真p真q真pq为真，故正确，由綈p为假p为真pq为真，故正确7已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一个焦点与抛物线y236x的焦点重合，则该双曲线的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C由已知得，c9，a227，b254，且焦点在x轴，所以方程为1.8若直线y2x与双曲线1(a0，b0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A(1，) B(，)C(1， D，)解析：选B双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为yx.由条件知，应有2，故e .9已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2.当时，F1PF2面积最大，则mn的值是()A41 B15C9 D1解析：选B由SF1PF2|F1F2|yP3yP，知点P为短轴端点时，F1PF2面积最大此时F1PF2，得a2 ，b，故mn15.10正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为()A. B.C. D.解析：选C取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则动点P的轨迹方程是_解析：由4得x1y24，因此所求动点P的轨迹方程为x2y40.答案：x2y4012命题“x0R,2x3ax090”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：x0R,2x3ax090为假命题，xR,2x23ax90为真命题，9a24290，即a28，2a2.答案：2，213已知过点P(4,0)的直线与抛物线y24x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x4，代入y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，yy161632；当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x4)，与y24x联立，消去x得ky24y16k0，由题意知k0，则y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.综上，(yy)min32.答案：3214.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析：如图，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)2.cos ，.EF和BC1所成的角为60.答案：60三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：xR，4x24mx4m30.若(綈p)q为真，求m的取值范围解：p真时，m2.q真时，4x24mx4m30在R上恒成立16m216(4m3)0,1m3.(綈p)q为真，p假，q真即1m2.所求m的取值范围为1,216(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1 ，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的正切值大小解：法一：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC，AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD.ABA1C，A1C平面ABD，BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD.在RtBAD中，tan ADB，二面角AA1CB的正切值为.法二：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1AB，AA1AC.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)1000( )0，ABA1C.(2)取m(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量设平面A1BC的法向量n(x，y，z)，则xy，yz.令y1，则n(，1,1)，cos m，n，sinm，n ，tanm，n.二面角AA1CB的正切值为.17.(本小题满12分)如图，点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解：(1)法一：由条件知，P.故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q.所以直线F2Q的方程为yx.故Q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.则b2a2c23.故椭圆方程为1.法二：设直线x与x轴交于点M.由条件知，P.因为PF1F2F2MQ，所以.即，解得|MQ|2a.所以解得a2，c1.则b23.故椭圆方程为1.(2)直线PQ的方程为，即yxa.将上式代入椭圆方程得，x22cxc20，解得xc，y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点18(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CMEM；(2)求CM与平面CDE所成角的大小解：(1)证明：分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AEa，则M(a，a,0)，E(0，2a，a)，所以(a，a,0)，(a，a，a)，所以aa(a)a0(a)0，所以，即CMEM.(2)(0，2a，a)，(2a,0,2a)，设平面CDE的法向量n(x，y，z)，则有即令y1，则n(2,1,2)，cos，n，所以直线CM与平面CDE所成的角为45.19(本小题满分12分)如图，椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2：yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长(1)求C1，C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MDME.解：(1)由题意知对C1：e，从而a2b，又2a，解得a2，b1.故C1，C2的方程分别为y21，yx21.(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.由得x2kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x2k，x1x21.又点M的坐标为(0，1)，所以kMAkMB1.故MAMB.即MDME.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知条件，知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10.又因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，则8k244k220，解得k或k.故k的取值范围为.(2)不存在理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程，得x1x2.又因为y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k或k，故没有符合题意的常数k.
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