高一数学上学期周清 第八周周清 一元二次不等式

第八周周清 一元二次不等式核心知识总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.自我测评类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2不等式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则a=_, b=_。【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。由根与系数关系得解得a=-2, b=-2。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集为：.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.的解集为：.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时， 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 所以， 即， 1m19。 综上所述，实数m的取值范围是m|1m19。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集 即的解集为R 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意. 当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当时，只需， 即，解得， 综上，的取值范围为：.