安徽省安庆市2017届高三数学上学期期末教学质量调研检测试题文

安庆市20162017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分150分）第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则=A.B. C.D.2. 下列命题中的假命题是A. ，C. ，B. ，D. ，3. 等差数列中，若，则数列的前11项和等于A. B. C. D. 4. 己知，则 A. B. C. D. 5. 右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图其中真命题的个数是A. 3 B. 2 C. 1 D. 06. 已知平面向量，满足，且与的夹角为，则“”是“”的A. 充分不必要条件C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A. B. 或2C. 2D. 8. 过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D. 9. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为A. B. C. D. 10. 已知、是圆上的三个点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点. 若，其中，. 则的取值范围是A. B. C. D. 11. 设是等比数列的前项和，公比，则与的大小关系是A. B. C. D. 12. 设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，且当时，. 记在上零点的个数为，方程在上的实数根和为，则有A. ，B. ，B. ，D. ，第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则 14. 设，若展开式中的常数项为，则 15. 若变量，满足约束条件则的最大值为 16. 在正四面体中，为棱的中点，过作其外接球的截面，记为最大的截面面积，为最小的截面面积，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）在中，三内角、对应的边分别为、，且，.（）当，求角的大小； （）求面积最大值.18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，是直三棱柱，四边形是梯形，且，是的中点.（）求证：平面；（）当与平面所成角的正切值为时，求该几何体的体积.19.（本题满分12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.（）写出其中的、及和的值；（）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆：的离心率为，点是其右焦点，点是其左顶点， 且. （）求椭圆的方程；（）过点作不与轴重合的直线交椭圆于两点、，直线、分别交直线于点、. 试问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数. （）讨论函数的单调性；（）设. 若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围（注：为自然对数的底数）.请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，曲线的方程为. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数，）. （）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）设直线交曲线于、两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于、两点. 求四边形面积的最大值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数，满足. （）求证：；（）若至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围. 安庆市20162017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 123456789101112CBCBACABABAB1.【解析】，所以=.2.【解析】，故（B）不正确.3.【解析】由，得，所以.4.【解析】由，得，所以. 5.【解析】易知三个命题都正确.6.【解析】由题意可知，又，与的夹角为，所以 .7.【解析】设，.当曲线是椭圆时，所以；当曲线是双曲线时，所以. 8.【解析】. 因为点在圆内，所以当直线与圆心和点的连线垂直时，最短， .9.【解析】时，；时，；时，；时，；时，；时，；又的周期为，所以时的值与时的值相等.10.【解析】由、共线，得，其中.因为、共线，所以，所以.由于点在圆外，且、方向相反，所以故.11.【解析】当，；当，.12.（12）【解析】根据题设可得是周期为4的周期函数，且，.，所以.根据函数的性质可作出其图象(部分)，如图所示. 由图象可知方程在上的两个实数根关于对称，故其和等于. 根据周期性，可得方程在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于，在上无实数，在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于.所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.1314151613.【解析】，由得.14.【解析】展开式的通项公式为.由，得. 所以（），得.15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为，所以表示可行域内的点与点连线的斜率的一半. 由图可知，当点位于点时，斜率最大，故的最大值为.16.【解析】如图，设，为的中心，则，.由，可得. 当截面经过球心时，面积最大，所以.易知，所以当截面圆的直径为时，面积最小，所以.所以三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（）根据正弦定理，得. 因为，所以，故或. 6分（）根据余弦定理，及，得.因为，所以，所以，所以.故面积最大值为. 12分18.【解析】（）如图1所示，取的中点，连接、. 因为是的中点，所以. 又，所以，所以平面.因为，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，因此，从而平面.因为、平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 6分（）由（），又平面，所以平面，所以.在中，所以，所以.，如图2所示，连接，易知，又，所以平面，所以是几何体的高，所以， .所以. 12分19.【解析】（）由表可知第3组，第4组的人数分别为，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.所以第5组的人数为，且 ，. 4分（）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. 8分（）记第1组抽取的1人为A，第2组抽取的2人分别为B1，B2，第3组抽取的3人分别为C1，C2，C3.从这6人中随机抽取2人的情形有： A，B1 ； A，B2 ； A，C1 ； A，C2 ； A，C3 ； B1，B2 ； B1，C1 ；B1，C2； B1，C3；B2，C1 ；B2，C2； B2，C3； C1，C2； C1，C3； C2，C3 共15种.其中没有第3组人的情形有：A，B1 ； A，B2 ；B1，B2 共3种.所以这2人中没有第3组人的概率为. 12分20.【解析】（）依题意有 ，得，所以 所以椭圆的方程为. 4分（）根据题意可设直线的方程为，代入，整理得.设 ，则 ，.又易知，所以直线的方程为：，直线的方程为：，从而得，.所以.所以当，即或时，.故在轴上是存在定点或，使得. 12分21.【解析】（）（）.当时，；当时，.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分（）“函数在区间上有且仅有一个零点”等价于“函数的图象与直线在区间上有且仅有一个交点”.由（）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数有最小值. 又，.所以在区间附近，函数的大致图象如图所示.由图可知，所以当且仅当或时，函数的图象与直线在区间上有且仅有一个交点，从而函数在区间上有且仅有一个零点. 12分22.【解析】（）将方程的两边同乘以，得，所以，即为所求的曲线的直角坐标方程. 直线 （为参数，）.当，时，直线的普通方程是；当，时，消去参数，得直线的普通方程是. 4分（）将 代入，整理得.设两点、对应的参数分别为、，则所以.设直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）.同理可得.因为,所以，那么.所以.所以四边形面积为.因为 .故.四边形面积的最大值为. 10分23. 【解析】（）证法一、由，可得.又，所以.从而. 5分证法二、根据柯西不等式，有. 又，所以. 因为，所以.证法三、因为，所以，所以.因为，所以.（）因为，所以“若至少存在一个实数，使得成立”，则.因为，所以，所以，得.所以.故所求的的取值范围是. 10分15